Среднеквадратичное приближение. Среднеквадратическое приближение таблично заданных функций Условие наилучшего среднеквадратичного приближения имеет вид

Пусть в таблице заданы значения функции, полученные, например, из эксперимента, т. е. измеренные с погрешностью. Тогда приближение с использованием аппарата интерполяции , в основе которого приравнивание значений многочлена в узлах интерполяции табличным значениям, нецелесообразно.

При такой постановке задачи следует выполнить приближение в среднем, т. е. описать таблично заданную функцию некоторой достаточно простой аналитической зависимостью, имеющей небольшое количество параметров. Оптимальный выбор этих параметров и позволит выполнить среднеквадратичное приближение функции, заданной таблицей.

Выбор типа аналитической зависимости следует начинать с нанесения табличных данных на координатную плоскость - так будет сформировано поле экспериментальных точек. Сквозь поле этих точек проводится плавная кривая так, чтобы часть точек легли на эту кривую, часть точек были выше, а часть точек оказались ниже проведённой кривой. По виду этой кривой и следует определить тип аналитической зависимости – линейная ли она, степенная, гиперболическая или какая- либо иная.

Однако по графику на глаз весьма трудно выбрать тип аналитической зависимости. Поэтому был предложен способ ориентировочной оценки и выбора типа аналитической зависимости. Этот способ действительно приблизительный и неточный, так как и кривую можно провести по-разному сквозь поле экспериментальных точек, и в таблице взять разные опорные точки для расчёта да и неизвестна точность предлагаемой методики. Вместе с тем в качестве ориентировочного способа выбора типа зависимости его можно рассмотреть.

Предлагается следующий алгоритм действий.

1. В исходной таблице выбрать две далеко отстоящие друг от друга точки с координатами (x 1 ,y 1) и (x n ,y n) - опорные точки, и для каждой пары координат вычислить среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое.

2. На кривой, проведённой через поле экспериментальных точек, найти три ординаты, соответствующие найденным абсциссам x ар,x геом,x гарм:

3. Выполнить сравнение найденных на кривой с вычисленными путём вычисления следующих модулей разностей:

4. Из найденных значений выбирается минимальное:

5. Выводы: если минимальным оказалось

Зависимость линейная

Зависимость показательная

Зависимость дробно-линейная

Зависимость логарифмическая

Зависимость степенная

Зависимость гиперболическая

Зависимость дробно-рациональная

Любую из этих зависимостей можно свести к линейной, выполнив преобразование координат или так называемое выравнивание данных.
Таким образом, первый этап завершается выбором вида аналитической зависимости, параметры которой не определены.

Второй этап состоит в определении наилучших значений коэффициентов выбранной аналитической зависимости. Для этого применяют математический метод наименьших квадратов.

В основе метода – минимизация суммы квадратов отклонений заданных табличных значений () от вычисленных по теоретической зависимости (): .

Пусть выбранная зависимость – прямая линия: . Подставим в функционал : . Тогда минимизируется функционал:

Для нахождения наилучших значений коэффициентов и надо найти частные производные от по и и приравнять их нулю:

После преобразований система уравнений приобретает вид:

Решение этой системы линейных уравнений позволяет найти наилучшие значения коэффициентов и линейной зависимости.

Если выбранной зависимостью является квадратичная парабола:

то минимизируется функционал: .

Парабола имеет три варьируемых коэффициента - , наилучшие значения которых следует найти, приравняв нулю частные производные от минимизируемого функционала по искомым коэффициентам . Это позволяет получить следующую систему трёх линейных уравнений для нахождения коэффициентов :

Пример 1. Определить вид зависимости, заданной следующей таблицей.

X
Y	0,55	0,64	0,78	0,85	0,95	0,98	1,06	1,11

Решение.

На координатную плоскость следует нанести заданные в таблице точки – образуется поле экспериментальных данных. Сквозь это поле проводится гладкая кривая.

По таблице выбираются две опорных точки с координатами (3;0,55) и (10;1,11) и для каждой пары абсцисс и ординат вычисляются среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое:

Для трёх вычисленных абсцисс по кривой, проведённой через поле экспериментальных точек, определяются три соответствующих ординаты:

Обратить внимание на ориентировочность проводимых вычислений. Далее определяются семь модулей разности:

Получены три минимальных, близких друг к другу значения

На втором этапе следует для каждой из этих зависимостей определить наилучшие значения коэффициентов, применив метод наименьших квадратов, а затем вычислить среднее квадратичное отклонение от заданных табличных значений.

Окончательный выбор аналитической зависимости выполняют по минимальной величине среднего квадратичного отклонения.

Пример 2. В таблице приведены результаты экспериментальных исследований, которые можно аппроксимировать прямой линией. Найти наилучшие значения коэффициентов прямой, применив метод наименьших квадратов.

Решение.

k	X k	Y k	X k Y k	X k 2	Y k теор	Y k -Y k теор	(Y k -Y k теор) 2
		66,7			67,50	0,20	0,0400
		71,0	284,0		70,98	0,02	0,0004
		76,3	763,0		76,20	0,10	0,0100
		80,6	1209,0		80,55	0,05	0,0025
		85,7	1799,7		85,77	- 0,07	0,0049
		92,9	2694,1		92,73	0,17	0,0289
		99,4	3578,4		98,82	0,58	0,3364
		113,6	5793,6		111,87	1,73	2,9929
		125,1	8506,8		126,66	- 1,56	2,4336
суммы		811,3	24628,6				5,8496

Общее уравнение прямой: .

Система линейных уравнений, из которой следует определять наилучшие значения коэффициентов и , руководствуясь методом наименьших квадратов, имеет вид:

Подставим в систему уравнений вычисленные суммы из 2-го, 3-го, 4-го и 5-го столбцов последней строки таблицы:

Откуда определены коэффициенты линейной зависимости Значит уравнение теоретической прямой имеет вид:

. (*)

В шестом столбце таблицы приведены вычисленные по теоретическому уравнению значений функции для заданных значений аргумента. В седьмом столбце таблицы приведены значения разностей между заданными значениями функции (3-ий столбец) и теоретическими значениями (6-ой столбец), вычисленными по уравнению (*).

В восьмом столбце приведены квадраты отклонений теоретических значений от экспериментальных и определена сумма квадратов отклонений. Теперь можно найти

Пример 3. Пусть данные эксперимента, приведённые в таблице, аппроксимируются квадратичной параболой: Найти наилучшие значения коэффициентов параболы, применив метод наименьших квадратов.

Решение.

k	X k	Y k	X k 2	X k 3	X k 4	X k Y k	X k 2 Y k	Y k теор	Y k -Y k теор
		29,8						29,28	0,52	0,2704
		22,9				45,8	91,6	22,22	0,68	0,4624
		17,1				68,4	273,6	17,60	-0,50	0,2500
		15,1				75,5	377,5	15,56	-0,46	0,2116
		10,7				85,6	684,8	11,53	-0,83	0,6889
		10,1				101,0	1010,0	10,60	-0,50	0,2500
		10,6				127,2	1526,4	11,06	-0,46	0,2116
		15,2				228,0	3420,0	14,38	0,82	0,6724
Сум		122,5				731,5	7383,9			3,0173

Система линейных уравнений для определения коэффициентов параболы имеет вид:

Из последней строки таблицы в систему уравнений подставляют соответствующие суммы:

Решение системы уравнений позволяет определить значения коэффициентов:

Итак, заданная таблицей зависимость на отрезке аппроксимируется квадратичной параболой:

Расчёт по приведённой формуле для заданных значений аргумента позволяет сформировать девятый столбец таблицы, содержащий теоретические значения функции.

Сумма квадратов отклонений теоретических значений от экспериментальных приведена в последней строке 11-го столбца таблицы. Это позволяет определить среднее квадратичное отклонение:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3

Тема: Методы решения систем уравнений

Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных – относится к группе точных методов, и если бы отсутствовала погрешность вычислений, можно было бы получить точное решение.

При ручных расчётах вычисления целесообразно вести в таблице, содержащей столбец контроля. Ниже представлен общий вариант такой таблицы для решения системы линейных уравнений 4-го порядка.

				Свободные члены	Столбец контроля

				Свободные члены	Столбец контроля

Пример 1. Методом Гаусса решить систему уравнений 4-го порядка:

Эти приближённые значения корней можно подставить в исходную систему уравнений и вычислить невязки - , являющиеся разностями между правой и левой частями каждого уравнения системы при подстановке в левую часть найденных корней. Затем подставляются в качестве свободных членов системы невязки и получают поправки

корней - :

Для того чтобы сгладить дискретные функции Альтмана, и тем самым внести в теорию идею непрерывности, применялось среднеквадратичное интегральное приближение многочленом разных степеней.

Известно, что последовательность интерполяционных многочленов по равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции, если даже функция бесконечно дифференцируема. Для приближаемой функций с помощью подходящего расположения узлов удаётся снизить степень полинома. . Структура функций Альтмана такова, что удобнее использовать приближение функции не с помощью интерполяции, а с построением наилучшего среднеквадратичного приближения в нормированном линейном пространстве. Рассмотрим основные понятия и сведения при построении наилучшего приближения . Задачи приближения и оптимизации ставятся в линейных нормированных пространствах.

Метрические и линейные нормированные пространства

К наиболее широким понятиям математики относятся "множество" и "отображение". Понятие "множество", "набор", "совокупность", "семейство", "система", "класс" в нестрогой теории множеств считаются синонимами.

Термин "оператор" тождествен термину "отображение". Термины "операция", "функция", "функционал", "мера" - частные случаи понятия "отображение" .

Термины "структура", "пространство" при аксиоматическом построении математических теорий также приобрёл в настоящее время основополагающую значимость. К математическим структурам принадлежат теоретико-множественные структуры (упорядоченные и частично упорядоченные множества); абстрактно-алгебраические структуры (полугруппы, группы, кольца, тела, поля, алгебры, решетки); дифференциальные структуры (внешние дифференциальные формы, расслоенные пространства) , , , , , , .

Под структурой понимается конечный набор, состоящий из множеств носителя (основное множество), числового поля (вспомогательное множество) и отображение, заданных на элементах носителя и числах поля. Если в качестве носителя взято множество комплексных чисел, то оно играет роль и основного, и вспомогательного множества. Термин "структура" тождественен понятию "пространство" .

Чтобы задать пространство, необходимо прежде всего задать множество-носителя со своими элементами (точками), обозначаемых латинскими и греческими буквами

В качестве носителя могут выступать множества элементов действительных (или комплексных): чисел; векторов, ; Матриц, ; Последовательностей, ; Функций;

В качестве элементов носителя могут выступать также множества: действительной оси, плоскости, трёхмерного (и многомерного) пространства, перестановки, движения; абстрактные множества.

Определение. Метрическое пространство есть структура, образующая тройку, где отображение есть неотрицательная действительная функция двух аргументов для любых x и y из M и удовлетворяющая трём аксиомам.

• 1-- неотрицательность; , при.
• 2- - симметричность;
• 3- - аксиома рефлексивности.

где - это расстояния между элементами.

В метрическом пространстве задаётся метрика и формируется понятие о близости двух элементов из множества носителя.

Определение. Действительное линейное (векторное) пространство есть структура, где отображение - аддитивная операция сложения элементов, принадлежащих, а отображение - операция умножения числа на элемент из.

Операция означает, что для любых двух элементов однозначно определен третий элемент, называемый их суммой и обозначаемый через, причем выполняются следующие аксиомы.

Коммутативное свойство.

Ассоциативное свойство.

В существует особый элемент, обозначаемый через такой, что для любого выполняется.

для любого существует, такой, что.

Элемент называется противоположным к и обозначается через.

Операция означает, что для любого элемента и любого числа определен элемент, обозначаемый через и выполняется аксиомы:

Элемент (точки) линейных пространства называется также векторами. Аксиомами 1 - 4 задаётся группа (аддитивная), называемая модулем и представляющая собой структуру.

Если операция в структуре не подчиняется никакими аксиомам, то такую структуру называют группоидом. Эта структура предельно бедна; в ней нет ни одной аксиоме ассоциативности, то структура называется моноидом (полугруппа).

В структуре с помощью отображения и аксиомами 1-8 задаётся свойство линейности.

Итак, линейное пространство является групповым модулем, в структуру которого добавлена еще одна операция - умножения элементов носителя на число с 4 аксиомами. Если вместо операции задать наряду с еще одну групповую операцию умножения элементов с 4 аксиомами и постулировать аксиому дистрибутивности, то возникает структуру, называемая полем.

Определение. Линейное нормированное пространство есть структура, в которой отображение удовлетворяет следующие аксиомами:

• 1. причём тогда и только тогда, когда.
• 2. , .
• 3. , .

И так в всего 11 аксиом.

Например, если в структуру поля вещественных чисел, где - действительные числа, добавить модуль, обладающий всеми тремя свойствами нормы, то поле вещественных чисел становится нормированным пространством

Распространены два способа введения нормы: либо путём явного задания интервального вида однородно-выпуклого функционала , , либо путём задания скалярного произведение , .

Пусть, тогда вид функционала можно задать бесчисленным количеством способов, меняя величину:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Второй распространённый способ приём задания состоит в том, что в структуру пространства вводится ещё одного отображение (функция двух аргументов, обычно обозначаемое через и называемое скалярным произведением).

Определение. Евклидово пространство есть структура в которой скалярное произведение содержит норму и удовлетворяет аксиомам:

• 4. , причём тогда и только тогда, когда

В евклидовом пространстве норма порождается формулой

Из свойств 1 - 4 скалярного произведения следует, что выполняются все аксиомы нормы. Если скалярное произведение в виде, то норма будет вычисляться по формуле

Норму пространства невозможно задать с помощью скалярного произведения , .

В пространствах со скалярным произведением появляются такие качества, которые отсутствуют в линейных нормированных пространствах (ортогональность элементов, равенство параллелограмма, теорема Пифагора, тожество Аполлония, неравенство Птолемея . Введение скалярного произведения даёт способы более эффективного решения задач аппроксимации.

Определение. Бесконечная последовательность элементов в линейном нормированном пространстве называется сходящейся по норме (просто сходящейся или имеющей предел в), если существует такой элемент, что для любого найдется номер, зависящий от такой, что при выполняется

Определение. Последовательность элементов в называется фундаментальной, если для любого существует номер, зависящий от, что любого и выполняются (Треногин Колмогоров, Канторович, с 48)

Определение. Банаховым пространством называется такая структура, в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме.

Определение. Гильбертовым пространством называется такая структура в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме, порождённой скалярным произведением.

Возьмем полуквадратичную систему координат. Это такая система координат, у которой по оси абсцисс шкала квадратичная, т. е. значения делений откладываются согласно выражению , здесь m – масштаб в каких-либо единицах длины, например, в см.

По оси ординат откладывается линейная шкала в соответствии с выражением

Нанесем на эту систему координат опытные точки. Если точки этого графика располагаются приблизительно по прямой, то это подтверждает наше предположение, что зависимость y от x хорошо выражается функцией вида (4.4). Для отыскания коэффициентов a и b можно теперь применить один из рассмотренных выше способов: способ натянутой нити, способ выбранных точек или способ средней.

Способ натянутой нити применяется также, как и для линейной функции.

Способ выбранных точек можем применить так. На прямолинейном графике возьмем две точки (далекие друг от друга). Координаты этих точек обозначим и (x, y ). Тогда можем записать

Из приведенной системы двух уравнений найдем a и b и подставим их в формулу (4.4) и получим окончательный вид эмпирической формулы.

Можно и не строить прямолинейного графика, а взять числа , (x,y ) прямо из таблицы. Однако полученная при таком выборе точек формула будет менее точна.

Процесс преобразования криволинейного графика в прямолинейный называется выравниванием.

Способ средней . Он применяется аналогично как в случае с линейной зависимостью. Разбиваем опытные точки на две группы с одинаковым (или почти одинаковым) числом точек в каждой группе. Равенство (4.4) перепишем так

Находим сумму невязок для точек первой группы и приравниваем нулю. То же делаем для точек второй группы. Получим два уравнения с неизвестными a и b . Решая систему уравнений, найдем a и b .

Заметим, что при применении этого способа не требуется строить приближающую прямую. Точечный график в полуквадратичной системе координат нужен только для проверки того, что функция вида (4.4) подходит для эмпирической формулы.

Пример. При исследовании влияния температуры на ход хронометра получены следующие результаты:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

При этом нас интересует не сама температура, а ее отклонение от . Поэтому за аргумент примем , где t – температура в градусах Цельсия обычной шкалы.

Нанеся на декартову систему координат соответствующие точки, замечаем, что за приближающую кривую можно принять параболу с осью, параллельной оси ординат (рис.4). Возьмем полуквадратичную систему координат и нанесем на нее опытные точки. Видим, что эти точки достаточно хорошо укладываются на прямой. Значит, эмпирическую формулу

можно искать в виде (4.4).

Определим коэффициенты a и b по методу средней. Для этого разобьем опытные точки на две группы: в первой группе – первые три точки, во второй – остальные четыре точки. Используя равенство (4.5) находим сумму невязок по каждой группе и приравниваем каждую сумму нулю.

Часто значения интерполируемой функции у, у 2 , ..., у„ определяются из эксперимента с некоторыми ошибками, поэтому пользоваться точным приближением в узлах интерполяции неразумно. В этом случае более естественно приближать функцию не по точкам, а в среднем, т. е. в одной из норм L p .

Пространство 1 р - множество функций д(х), определенных на отрезке [а,Ь] и интегрируемых по модулю с р-й степенью, если определена норма

Сходимость в такой норме называется сходимостью в среднем. Пространство 1,2 называется гильбертовым, а сходимость в нем - среднеквадратичной.

Пусть заданы функция Дх) и множество функций ф(х) из некоторого линейного нормированного пространства. В контексте проблемы интерполирования, аппроксимации и приближения можно сформулировать следующие две задачи.

Первая задача - это аппроксимация с заданной точностью, т. е. по заданному е найти такую ф(х), чтобы выполнялось неравенство |[Дх) - ф(х)|| г..

Вторая задача - это поиск наилучшего приближения, т. е. поиск такой функции ф*(х), которая удовлетворяет соотношению:

Определим без доказательства достаточное условие существования наи- лучшего приближения. Для этого в линейном пространстве функций выберем множество, параметризованное выражением

где набор функций ф[(х), ..., ф„(х) будем считать линейно независимым.

Можно показать , что в любом нормированном пространстве при линейной аппроксимации (2.16) наилучшее приближение существует, хотя нс во всяком линейном пространстве оно единственно.

Рассмотрим гильбертово пространство ЬгСр) действительных функций, интегрируемых с квадратом с весом р(х) > 0 на [ , где скалярное произведение (g,h ) определено по

формуле:

Подставляя в условие наилучшего приближения линейную комбинацию (2.16), находим

Приравнивая к нулю производные по коэффициентам (Д, k = 1, ..., П, получим систему линейных уравнений

Определитель системы уравнений (2.17) называется определителем Гра- ма. Определитель Грама отличен от нуля, поскольку считается, что система функций ф[(х), ..., ф„(х) линейно независима.

Таким образом, наилучшее приближение существует и единственно. Для его получения необходимо решить систему уравнений (2.17). Если система функций ф1(х), ..., ф„(х) ортогонализирована, т. е. (ф/,ф,) = 5у, где 5, = 1, 8у = О, Щ, ij = 1, ..., п, то система уравнений может быть решена в виде:

Найденные согласно (2.18) коэффициенты Q, ..., й п называются коэффициентами обобщенного ряда Фурье.

Если набор функций ф t (X), ..., ф„(х),... образует полную систему, то в силу равенства Парсеваля при П -» со норма погрешности неограниченно убывает. Это означает, что наилучшсс приближение среднеквадратично сходится к Дх) с любой заданной точностью.

Отметим, что поиск коэффициентов наилучшего приближения с помощью решения системы уравнений (2.17) практически нсреализуем, поскольку с ростом порядка матрицы Грама ее определитель быстро стремится к нулю, и матрица становится плохо обусловленной. Решение системы линейных уравнений с такой матрицей приведет к значительной потере точности. Проверим это.

Пусть в качестве системы функций ф„ i =1, ..., П, выбираются степени, т. е. ф* = X 1 ", 1 = 1, ..., п, тогда, полагая в качестве отрезка аппроксимации отрезок , находим матрицу Грама

Матрицу Грама вида (2.19) называют еще матрицей Гильберта. Это классический пример так называемой плохо обусловленной матрицы.

С помощью MATLAB рассчитаем определитель матрицы Гильберта в форме (2.19) для некоторых первых значений п. В листинге 2.5 приведен код соответствующей программы.

Листинг 23

%Вычисление определителя матриц Гильберта %очищаем рабочую область clear all;

%выберем максимальное значение порядка %матрицы Гильберта птах =6;

%строим цикл для формирования матриц %Гильберта и вычисления их определителей

for n = 1: птах d(n)=det(hi I b(п)); end

%выводим значения определителей %матриц Гильберта

f о г та t short end

После отработки кода листинга 2.5, в командном окне MATLAB должны появиться значения детерминантов матриц Гильберта для первых шести матриц. В таблице ниже приведены соответствующие численные значения порядков матриц (п) и их определителей (d). Из таблицы отчетливо видно, сколь быстро определитель матрицы Гильберта стремится к нулю при росте порядка и, уже начиная с порядков 5, 6, становится неприемлемо малым.

Таблица значений определителя матриц Гильберта

Численная ортогонализация системы функций ф, i = 1, ..., П также приводит к заметной потере точности, поэтому чтобы учитывать большое число членов в разложении (2.16), необходимо либо проводить ортогонализацию аналитически, т. е. точно, либо пользоваться уже готовой системой ортогональных функций.

Если при интерполяции обычно используют в качестве системы базисных функций степени, то при аппроксимации в среднем в качестве базисных функций выбирают многочлены, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребительными из них являются многочлены Якоби, частным случаем которых являются многочлены Лежандра и Чебышева. Используют также полиномы Лагсрра и Эрмита. Более подробно об этих полиномах можно узнать, например, в приложении Ортогональные полиномы книги .

В предыдущей главе подробно рассмотрен один из самых распространенных способов приближения функций – интерполирование. Но этот способ не единственный. При решении разнообразных прикладных задач и построении вычислительных схем нередко используют и другие способы. В этой главе мы рассмотрим способы получения среднеквадратических приближений. Название приближений связано с метрическими пространствами, в которых рассматривается задача приближения функции. В главе 1 мы ввели понятия «метрическое линейное нормированное пространство» и «метрическое евклидово пространство» и увидели, что погрешность приближения определяется метрикой пространства, в котором рассматривается задача приближения. В разных пространствах понятие погрешности имеет разный смысл. Рассматривая погрешность интерполяции, мы не акцентировали на этом внимание. А в этой главе нам придется этим вопросом заняться более подробно.

5.1. Приближения тригонометрическими многочленами и многочленами Лежандра Пространство l2

Рассмотрим множество функций , интегрируемых с квадратом по Лебегу на отрезке
, то есть таких, что должен существовать интеграл
.

Поскольку выполняется очевидное неравенство , из интегрируемости с квадратом функций
и
должна следовать и интегрируемость с квадратом любой их линейной комбинации
, (где
и
 любые вещественные числа), а также интегрируемость произведения
.

Введем на множестве функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу на отрезке
, операцию скалярного произведения

. (5.1.1)

Из свойств интеграла следует, что введенная операция скалярного произведения обладает почти всеми свойствами скалярного произведения в евклидовом пространстве (см. параграф 1.10, с. 57):

Только первое свойство выполняется не до конца, то есть не будет выполнено условие.

В самом деле, если
, то отсюда не следует, что
на отрезке
. Для того чтобы введенная операция обладала этим свойством, в дальнейшем договоримся не различать (считать эквивалентными) функции
и
, для которых

.

С учетом последнего замечания, мы убедились, что множество интегрируемых с квадратом по Лебегу функций (точнее множество классов эквивалентных функций) образует евклидово пространство, в котором определена операция скалярного произведения по формуле (5.1.1). Это пространство называют пространством Лебега и обозначают
или короче.

Поскольку всякое евклидово пространство автоматически является и нормированным и метрическим, пространство
также является нормированным, и метрическим пространством. Норма (величина элемента) и метрика (расстояние между элементами) в нем обычно вводятся стандартным способом:

(5.1.2)

(5.1.3)

Свойства (аксиомы) нормы и метрики приведены в параграфе 1.10. Элементами пространства
являются не функции, а классы эквивалентных функций. Функции, принадлежащие одному классу, могут иметь разные значения на любом конечном или даже счетном подмножестве
. Поэтому приближения в пространстве
определяются неоднозначно. Эта неприятная особенность пространства
окупается удобствами использования скалярного произведения.