Дискретные и непрерывные модели лекция. Понятие о модельном времени

Лекция 1

Объектами изучения данного курса являются процессы и аппараты химической технологии.

Процессы химической технологии представляют собой физико-химические системы, которые характеризуются сложным взаимодействием фаз и компонентов. В ходе протекания технологических процессов в каждой точке фаз и на границе их раздела происходит перенос импульса, энергии или массы. Процессы химической технологии протекают в аппаратах, имеющих конкретные геометрические характеристики, которые в свою очередь, оказывают значимое влияние на течение процесса.

Для изучения различных физико-химических процессов, проверки научных гипотез и получения экспериментального материала издавна использовалось моделирование реальных объектов.

Моделированием называют исследование объекта путем создания и изучения его модели.

Моделирование является методом изучения объектов, при котором вместо объекта–оригинала исследование проводят на модели, а результаты исследования распространяют на объект–оригинал.

Различают два основных типа моделей – физические модели и математические модели. Соответственно, различают два метода моделирования: физическое и математическое.

Физическая модель в большинстве случаев представляет собой масштабированную копию реального объекта, которая сохраняет физическую природу протекающих в исследуемом объекте.

При использовании метода физического моделирования, должны выполняться два основных требования:

1. Эксперимент, проводимый на модели должен быть проще, экономичнее или безопаснее, эксперимента проводимого на реальном объекте.

2. Должны быть известны закономерности, связывающие модель и реальный объект.

Для объектов химической технологии такими закономерностями являются определённые соотношения, называемые критериями подобия: критерии Рейнольдса, Прандтля, Архимеда и т.д.

Согласно теории подобия необходимое физическое подобие модели и объекта обеспечивается при равенстве всех однотипных определяющих критериев подоби я.

Если количество рассматриваемых при изучении объекта явлений велико, то соответственно увеличивается необходимое количество определяющих критериев подобия. В таком случае бывает практически невозможно обеспечить равенство значений всех определяющих критериев подобия модели и объекта.

Отсюда следует, что возможности физического моделирования, основанного на теории подобия, существенно ограничены сложностью изучаемого объекта.

Для объектов, в которых физическое моделирование ограничено трудностями исследования, опасностью экспериментов, техническими сложностями или дороговизной создания физических моделей, используют математическое моделирование.

Математическая модель описывает процессы, происходящие в реальном объекте в символьном виде, т.е. в виде математических выражений.

Изучение объекта методом математического моделирования заключается в решении системы уравнений математического описания объекта.

Существуют различные виды математических моделей, которые можно условно классифицировать по следующим признакам:

1. По характеру временного описания:

непрерывные и дискретные.

Непрерывные модели позволяют получить характеристики объекта в каждый текущий момент времени;

дискретные модели позволяют получить характеристики объекта в фиксированной последовательности промежутков времени.

Дискретной называется система, которая может переходить из одного состояния в другое только в определенные моменты времени. Дискретные системы распространены очень широко. Например, цифровой компьютер является дискретной системой. Если модель непрерывной системы является дифференциальное уравнение, то моделью дискретной системы является разностное уравнение. Дискретные системы можно представить также в пространстве состояний или с помощью передаточной функции. Предположим, что мы используем компьютер для управления неким объектом (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Цифровая система управления

Поскольку компьютер является цифровым устройством, работающим в реальном времени, он может принимать информацию в дискретные моменты времени. Пусть эти моменты отстоят друг от друга на постоянную величину. Этот интервал времени называется шагом дискретизации.

Тогда сигнал, поступающий в компьютер, можно представить в виде числовой последовательности, которую мы обозначим как. Очень часто параметр опускают, и тогда обозначение превращается в.

Выходной сигнал также является числовой последовательностью. Компьютер обладает памятью, поэтому мы можем запоминать входные и выходные сигналы в прошедшие моменты времени. Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами и -го порядка выглядит следующим образом

Порядок уравнения определяет «глубину памяти» системы.

В рассматриваемом нами случае разностное уравнение (5.1) описывает динамику регулятора, в качестве которого используется цифровой компьютер. Однако оно может служить и моделью объекта, если тот является линейной дискретной системой.

Решить разностное уравнение означает найти последовательность. Такую последовательность называют решетчатой функцией. Существует три основных метода решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Первый (классический) метод состоит в нахождении общего и частного решений подобно тому, как это делается при классическом решении линейных дифференциальных уравнений. Этот метод мы рассматривать не будем. Второй метод является рекуррентным; он используется при решении разностных уравнений с помощью цифрового компьютера. Мы рассмотрим его на примере.

Пример 5.1. Получим решение следующего разностного уравнения

Причем, . Решения для можно получить, положив сначала в разностном уравнении, затем, затем и т.д. В результате получим

Используя этот метод, можно определить для любых значений. При больших значениях подобная процедура очень трудоемка, поэтому лучше выполнить ее на компьютере. Последний пример для решается с помощью следующей программы «MATLAB»:

mkminus1=0; ekminus1=0; ek=1;

mk=ek-ekminus1-mkminus1;

В этой программе ekminus1 соответствует значению, ek - значению, mkminus1 - значению, а mk - значению.

В качестве второго примера применения рекуррентного метода решения разностных уравнений рассмотрим численное интегрирование дифференциального уравнения по методу Эйлера. Дано дифференциальное уравнение первого порядка:

Для малого значения производную можно представить как

Тогда дифференциальное уравнение приближенно примет вид:

Переходя к дискретному времени, получим разностное уравнение

Таким образом, интегрирование дифференциального уравнения методом Эйлера сводится к получению разностного уравнения. Вообще любой метод численного интегрирования может быть сведен к разностному уравнению и запрограммирован для решения на цифровом компьютере.

Третий метод решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами основан на использовании -преобразования, которое эквивалентно преобразованию Лапласа для непрерывных систем. Рассмотрим следующее разностное уравнение -го порядка, считая входную последовательность известной

Преобразование данного уравнения выглядит следующим образом:

где - параметр -преобразования, - параметр преобразования Лапласа,

Шаг дискретизации,

Изображение входного сигнала,

Изображение выходного сигнала.

Преобразование основано на теореме операционного исчисления о запаздывании. Если, то.

Уравнение (5.3) можно переписать следующим образом

Поскольку известно, то можно найти, применив обратное -преобразование к выражению (5.4).

Пример 5.2. Рассмотрим разностное уравнение из предыдущего примера

Найдем -преобразование этого уравнения

Отсюда следует

Изображение входного сигнала можно представить в виде

Решетчатая функция равна коэффициентам полученного ряда

В программе имитационного моделирования «Simulink», которая является частью языка технического программирования «MATLAB», модель дискретной системы задается в виде рациональной передаточной функции

где - коэффициенты (вещественные или комплексные).

Конечное множество чисел: () называется полюсами, а множество () - нулями системы (5.4). Полюса (и нули) могут быть действительными, либо комплексными. В последнем случае они образуют пару комплексно-сопряженных чисел. Если система устойчивая, то модули всех ее полюсов меньше единицы. В противном случае - система неустойчивая.

Пример 5.3. Дискретная система первого порядка (инерционное звено) имеет передаточную функцию

где и - коэффициенты (- полюс системы).

Пример 5.4. Дискретная система второго порядка имеет передаточную функцию

где и - полюса системы, .

Пример 5.5. Построим в «MATLAB» модель дискретной системы второго порядка, показанной на рис. 5.2. На рис. 5.3 приведена реакция этой системы на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 5.2. Устойчивая дискретная система второго порядка

Рис. 5.3. Реакция устойчивой дискретной системы второго порядка на ступенчатый входной сигнал

Пример 5.6. Построим в «MATLAB» модель дискретной системы второго порядка, показанной на рис. 5.4. На рис. 5.5 приведена реакция этой системы на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 5.4. Неустойчивая дискретная система второго порядка

Рис. 5.5. Реакция неустойчивой дискретной системы второго порядка на ступенчатый входной сигнал

Дискретная система, также как и непрерывная, может быть представлена в пространстве состояний:

Уравнение состояния;

Уравнение наблюдения, где

· - входной сигнал;

· - выходной сигнал;

· - вектор состояний;

· A, B, C, D - параметрические матрицы.

Пример 5.7. Система первого порядка может быть описана такими параметрами:

Пример 5.8. Система второго порядка может иметь следующие матрицы.

Для описания динамики моделируемых процессов в имитационном моделировании реализован механизм задания модельного времени. Эти механизмы встроены в управляющие программы любой системы моделирования.

Если бы на ЭВМ имитировалось поведение одной компоненты системы, то выполнение действий в имитационной модели можно было бы осуществить последовательно, по пересчету временной координаты. Чтобы обеспечить имитацию параллельных событий реальной системы вводят некоторую глобальную переменную (обеспечивающую синхронизацию всех событий в системе) t0, которую называют модельным (или системным) временем.

Существуют два основных способа изменения t 0 :

• пошаговый (применяются фиксированные интервалы изменения модельного времени);
• no-событийный (применяются переменные интервалы изменения модельного времени, при этом величина шага измеряется интервалом до следующего события).

В случае пошагового метода продвижение времени происходит с минимально возможной постоянной длиной шага (принцип t). Эти алгоритмы не очень эффективны с точки зрения использования машинного времени на их реализацию.

По-событийный метод (принцип "особых состояний"). В нем координаты времени меняются только когда изменяется состояние системы. В по-событийных методах длина шага временного сдвига максимально возможная. Модельное время с текущего момента изменяется до ближайшего момента наступления следующего события. Применение по-событийного метода предпочтительно в случае, если частота наступления событий невелика, тогда большая длина шага позволит ускорить ход модельного времени. На практике по-событийный метод получил наибольшее распространение.

Способ фиксированного шага применяется:

если закон изменения от времени описывается интегро-дифференциальными уравнениями. Характерный пример: решение интегро-дифференциальных уравнений численным методом. В подобных методах шаг моделирования равен шагу интегрирования. При их использовании динамика модели является дискретным приближением реальных непрерывных процессов; когда события распределены равномерно и можно подобрать шаг изменения временной координаты; когда сложно предсказать появление определенных событий; когда событий очень много и они появляются группами.

В остальных случаях применяется по-событийный метод. Он предпочтителен, когда события распределены неравномерно на временной оси и появляются через значительные временные интервалы.

Таким образом, вследствие последовательного характера обработки информации в ЭВМ, параллельные процессы, происходящие в модели, преобразуются с помощью рассмотренного механизма в последовательные. Такой способ представления носит название квазипараллельного процесса.

Простейшая классификация на основные виды имитационных моделей связана с применением двух этих способов продвижения модельного времени. Различают имитационные модели:

Непрерывные;

Дискретные;

Непрерывно-дискретные.

В непрерывных имитационных моделях переменные изменяются непрерывно, состояние моделируемой системы меняется как непрерывная функция времени, и, как правило, это изменение описывается системами дифференциальных уравнений. Соответственно продвижение модельного времени зависит от численных методов решения дифференциальных уравнений.

В дискретных имитационных моделях переменные изменяются дискретно в определенные моменты имитационного времени (наступления событий). Динамика дискретных моделей представляет собой процесс перехода от момента наступления очередного события к моменту наступления следующего события.

Поскольку в реальных системах непрерывные и дискретные процессы часто невозможно разделить, были разработаны непрерывно-дискретные модели, в которых совмещаются механизмы продвижения времени, характерные для этих двух процессов.

Дискретные и непрерывные модели.

Структурные и функциональные модели.

В случае если в моделях первого вида отражается структура (устройство) изучаемой системы, представляющая собой набор взаимосвязанных элементов системы, то в функциональных моделях внимание уделяется не описанию структуры системы, а количественному описанию того, как данная система реагирует на внешние воздействия. В этом случае полученную модель называют "черным ящиком". Структурные модели, как правило, строятся для хорошо структуризованных систем. Функциональные модели строятся, в основном, для хорошо структуризованных процессов. Возможно, так же сочетание этих двух видов моделœей, в результате чего может получиться гибридная модель, позволяющая описывать слабо структуризованные системы и процессы. Примером таких моделœей являются системно-динамические модели, предназначенные для описания эколого-экономических процессов. Структурные модели используются, к примеру, в теории фирмы при изучении монополии или потребительского выбора. Примером применения функциональных моделœей может служить теория производственных функций.

Такое делœение моделœей исходит из делœения всœех величин на дискретные, принимающих значения в конечном числе точек выбранного интервала и непрерывные, принимающие значения на всœем интервале. Конечно, возможен и промежуточный случай. Как правило, большинство математических моделœей допускают как дискретную, так и непрерывную интерпретацию. В случае если в дискретном случае описание моделœей ведется на языке сумм и конечных разностей, то в непрерывных моделях - на языке интегралов и бесконечно-малых приращений. В качестве примера дискретных экономико-математических моделœей можно привести широко распространенные модели, связанные с целочисленным программированием, математической теорией игр, сетевым планированием. К числу непрерывных моделœей относятся различные модели математической экономики, в том числе рыночного равновесия, многие оптимизационные модели.

Линœейные и нелинœейные модели. Такое делœение моделœей исходит от характера взаимосвязей между элементами системы. В случае если в линœейных моделях предполагается линœейная зависимость между переменными, описывающими модель, то в нелинœейных моделях присутствуют связи между элементами, задаваемые нелинœейными функциями. Примером использования линœейных и нелинœейных моделœей в экономике является решение задач линœейного и соответственно нелинœейного программирования. В случае если линœейными моделями, как правило, описываются простые системы, то нелинœейными моделями, к числу которых относится большинство системно-динамических моделœей, описываются сложные системы. Возможно, также выделœение смешанных моделœей, примером которых бывают слабо нелинœейные модели.

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, У, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т. е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т. е. непрерывность и дискрет­ность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных со­вокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, y)= Іx-y І. Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования (х у) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены естественные операции, например, линейные: х+у, х-у. Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (2.1) -(2.3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Так мы приходим, например, к линейным моделям: , du/dt = ay + bu и т.д., являющимся простейшими моделями многих процессов.

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y . Кроме того, для статических систем исчезает разница между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические - динамические», «дискретные - непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в табл. 1.3, где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.

Пример 1. Рассмотрим работу турникета на входе в метро. В первом, «грубом» приближении множество значений входа этой системы имеет два элемента: человек с жетоном (u 1) и человек без жетона , т.е. U={ u 1 }. После небольшого размышления становится ясно, что следует включить еще отсутствие пассажира (u 0), т.е. U ={u 0 , u 1 , }. Множество значений выхода содержит элементы «открыто» (y 0) и «за­крыто» (y 1). Таким образом, Y={y 0 , y 1 } и система является дискретной. В простейшем случае можно пренебречь памятью системы и описывать ее статической моделью, имеющей вид таблицы или графа:

При необходимости хранить ММ системы в ЭВМ ее можно представить (закодировать) в виде матрицы или более экономно, в виде списка (0, 0, 1), в котором на i -м месте стоит j , если значению входа соответствует значение выхода y i .

Пример 2. Если нас интересует более детально устройство самого турникета (т.е. системой является турникет), то придется учесть, что входными воздействиями (сигналами) для него являются опускание пятака и прохождение человека через турникет. Таким образом, система имеет два входа, каждый из которых может принимать два значения («есть» или «нет»).

Пренебрегая возможностью одновременного опускания жетона и прохождения, вводим три значения входа: и 0 - «нет воздействия», и 1 - «опускание жетона», и 2 - «прохождение». Множество Y можно задать так же, как и в примере 1. Однако теперь значение выхода y (t )не определяется только значением входа и (t ),а зависит еще и оттого, был ли опущен жетон раньше, т.е. от значений u(s) при sСистема имеет «память». Простейший тип ММ для описания дискретных систем с памятью - это конечный автомат . Для его построения вводится конечное множество внутренних состояний системы X , определяющее «память». В данном случае в X достаточно включить два элемента х 0 - «жетон не был брошен», x 1 - «жетон был брошен». Значения состояния системы в следующий момент времени I выхода в текущий момент зависят от текущих значений состояния и входа, т.е.

x (k+1)=F (x(k), и (k)), y (k) = G (x(k), и (к)), (2.4]

где k - номер момента времени такта. Отметим, что, выделив «текущий» и «следующий» моменты времени, мы незаметно ввели предположение о дискретности времени, которое при более детальном исследовании может оказаться неправомерным см. ниже п. 2.2.3). Функцию переходов F (х, и)и функцию выходов G (x, и )можно задать таблично:

Можно также построить графы переходов и выходов:

Пример 3. Рассмотрим простейшую электрическую цепь - RС -цепочку (рис. 1.6). Входом системы является напряжение источника u(t )=E 0 (t ), выходом - напряжение на конденсаторе y (t )=E 1 (t ). Закон Ома дает ММ системы в виде диф­ференциального уравнения 1-го порядка

у=и - у ,(2.5)

где -RC - постоянная времени цепочки. ММ (2.5) полностью непрерывна: U==Y=T=R 1 . Если исследователя ин­тересует поведение системы в статических режимах, т.е. при E 0 (t )= const, то нужно положить в (2.5) у= 0и получить статическую модель

y (t )=u (t ).(2.6)

Моделью (2.6) можно пользоваться как приближенной в I случае, когда вход E 0 (t )изменяется достаточно редко или медленно (по сравнению с ).

Пример 4. Рассмотрим экологическую систему, состоящую из двух взаимодействующих популяций ,существующих на некоторой территории. Предположим, что система автономна, т.е. внешними воздействиями (входами) можно пренебречь; за выходы системы примем численности популя­ций (видов) y 1 (t ), y 2 (t ). Пусть 2-й вид является пищей для 1-го, т.е. система относится к классу «хищник - жертва» (например, у 1 - численность лис в лесу, а у 2 - численность зайцев; или у 1 - концентрация бактерий-возбудителей заболевания в городе, а у 2 - число заболевших и т.д.). В дан­ном случае у 1 , у 2 - целые числа и, на первый взгляд, в ММ системы множество Y должно быть дискретным. Однако для построения ММ удобнее считать, что у 1 , у 2 могут принимать произвольные вещественные значения, т.е. перейти к непрерывной модели (при достаточно больших у 1 , у 2 этот переход не внесет существенной погрешности). При этом мы сможем пользоваться такими понятиями, как скорости изменения выходных переменных у 1 , у 2 . Простейшая модель динамики по­пуляции получается, если предположить, что:

При отсутствии хищников численность жертв растет экспоненциально;

При отсутствии жертв численность хищников убывает экспоненциально;

Численность «съеденных» жертв пропорциональна величине у 1 , у 2 .

При этих предположениях динамика системы, как нетрудно видеть, описывается так называемой моделью Лотки - Вольтерра:

где а, Ь, с, d - положительные параметры. Если есть возможность изменять параметры, то они превращаются во входные переменные, например, когда изменяются коэффициенты рождаемости и смертности видов, коэффициенты размножения бактерий (при введении лекарств) и т.д.