Главная / Здоровье / Фрактальный анализ рынка. Фрактальный анализ рынка от профессионалов Рычаг фрактальный анализ финансовых рынков

Фрактальный анализ рынка. Фрактальный анализ рынка от профессионалов Рычаг фрактальный анализ финансовых рынков

М.В. Прудский. ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ. Рассмотрены основные свойства и природа фракталов, возможности их применения в повседневной жизни, а также преимущества фрактального подхода при моделировании финансовых рынков. Будут разобраны основные стохастические модели временных рядов и на примере курса доллара будет построена фрактальная ARIMA лог-приростов, определение которой будет основано на фрактальном R/S-анализе размерности графика курса доллара. Будет дана также интерпретация показателя Хёрста – результата R/S-анализа, позволяющего судить о возможности прогнозирования исследуемого финансового инструмента.

Изложение основного материала

В современном мире финансовые рынки привлекают довольно широкий общественный интерес. Круг людей, которые имеют дело с финансовой аналитикой, разнится от рядовых трейдеров, до аналитиков глобальных корпораций и государственных органов. Человечество давно интересуют законы поведения таких практически непредсказуемых объектов. Котировки акций, валютные курсы, цены на фьючерсы, опционы и прочие финансовые инструменты – это лишь малая часть того, на чём может заработать деньги квалифицированный человек. Существует множество способов анализа событий, происходящих на рынках. Это и технический анализ, и фундаментальный, и теория волн Эллиота, а также много различных менее известных методик. Но одна методика выделяется среди них своей простотой и оригинальностью – фрактальный анализ. Многие слышали о том, что такое фрактал, изучали в школах и университетах, видели простейшие одномерные и сложные дифференциальные многомерные фракталы, но мало кто знает об их истинной пользе. Изобретённые Мандельбротом, они нашли применение практически во всех сферах повседневной жизни. Фрактальную природу имеют форма раковины моллюска, турбулентные завихрения в воздухе, человеческие сосуды, крона дерева, форма листа, волны, береговая линия, трещины, молнии и многие другие всем знакомые объекты реального мира. Фрактальную природу имеют и графики котировок акций и валют. Если вычислить фрактальные свойства времени и пространства финансовых инструментов, становится возможным осуществлять точечные и интервальные прогнозы будущих значений с высокой точностью. Фракта?л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, т.е. составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Фактически не существует точного определения термина «фрактал». Бенуа Мандельброт, отец фрактальной геометрии, тоже не сформулировал точного определения. Фракталы имеют определенные особенности, которые измеримы, и свойства, которые являются желательными для целей моделирования. Первое свойство – самоподобие. Оно означает, что части в некотором роде связаны с целым. Это свойство самоподобия делает фрактал масштабно-инвариантным. Фрактальные зависимости имеют вид прямой на графиках, где обе оси имеют логарифмический масштаб. Модели, описываемые таким образом должны использовать степенную зависимость (вещественное число, возведенное в степень). Эта особенность масштабирования по степенному закону является вторым свойством фракталов, фрактальной размерностью, которая может описывать либо физическую структуру, такую как легкое, либо временной ряд . Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:

1. Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
2. Является самоподобной или приближённо самоподобной.
3. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Рисунок 1 – Пример фрактала

Фракталы – безусловно красивые математические причуды природы. Если взглянуть на график функции Вейерштрасса, то можно увидеть сходство с графиками курсов валют или котировок акций. Этот фрактал описывается функцией

где a – нечётное число, а b – число, меньшее единицы. Эта функция непрерывная и нигде не дифференцируемая. Применяется для моделирования временных рядов методом Монте-Карло .

Стохастические модели временных рядов Существует несколько процессов с кратковременной памятью, которыми обычно пользуются при прогнозировании цен на финансовых рынках. В их числе:
1. AR.
2. MA.
3. ARMA.
4. ARIMA.
5. ARFIMA.
Остановлюсь более подробно на фрактальной авторегрессии.

ARIMA ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average) – интегрированная модель авторегрессии - скользящего среднего – модель и методология анализа временных рядов, иногда называемые моделями (или методологией) Бокса-Дженкинса. Модель ARIMA(p,d,q) означает, что разности временного ряда порядка подчиняются модели ARMA(p,q) .

С использованием лагового оператора модель можно записать в таком виде:

Модели ARFIMA Данные модели предполагают использование дробных порядков разностей, поскольку теоретически порядок интегрированности d временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии –скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия d-ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных d (разложение в ряд Тейлора):

Кроме коэффициент при k-м члене ряда Тейлора = Гk-dГk+1Г-d. К полученным разностям применяется модель ARIMA. Таким образом, последняя модель является более точной в силу её фрактальных свойств .

R/S-анализ курса доллара к рублю. Прежде чем моделировать ряд курсов доллара, необходимо вычислить его фрактальную размерность. Для этого следует воспользоваться методикой R/S-анализа и вычислить показатель Хёрста. Для выполнения всех необходимых вычислений автором были использованы пакет статистического анализа «R 2.5.1», а также аналитический комплекс «Прогноз 5.26». Первым шагом станет преобразование исходного ряда в ряд лог-приростов, в дальнейшем все операции по моделированию будут происходить именно в отношении преобразованного ряда. На Рис. 2 можно увидеть преобразованный ряд.

На этом рисунке особенно видна хаотичность показателя в кризисный и послекризисный периоды. Однако на данном этапе при применении R/S-анализа можно столкнуться с серьёзной трудностью – данная методика требует независимости данных во времени. Известен факт, что дневные данные по курсам финансовых инструментов обладают очень высокой автокорреляцией первых порядков. Коррелированно может быть до 7-10 значений. Для устранения этой проблемы применяется методика вычисления AR(1)- разностей. Конечно, метод разностей первого порядка не устраняет всю линейную авторегрессионную зависимость и не учитывает разности более высоких порядков, но он позволяет свести её к минимуму, достаточному для применения анализа с начальным условием независимости. Внешне ряд лог-приростов, скорректированный на AR(1)-разности, почти ничем не отличается от исходного ряда, однако его автокорреляция значительно ниже. Для вычисления фрактальной размерности ряда было использовано 4500 значений курса рубля к доллару с начала его публикации Центральным банком России. С имеющимся в распоряжении рядом связано несколько трудностей: 1. До 2002 года (включительно) Центральный банк Российской Федерации фиксировал значения курса только до 2-го знака после запятой, что создавало ошибки и неточности округления. 2. Курс доллара динамически изменяется в течение дня и иногда округление создаёт фиксацию на одинаковом курсе в течение нескольких дней. (особенно актуально для предыдущего недостатка). Вследствие перечисленных проблем возникают целые последовательности нулевых лог-приростов в ряду значений. Наибольшая такая цепочка была обнаружена ближе к концу исследуемого периода – она составила 10 значений. Для проведения анализа необходимо было разбить ряд скорректированных лог-приростов на несколько групп рядов меньшей длины. Далее посчитать в каждой группе рядов R/S-статистику и усреднить на количество элементов. Длину необходимо постоянно увеличивать до половины начального ряда. Авторы советуют не брать длину меньше 10, поскольку она может исказить значение RS-статистики . В Таблица представлены результаты R/S-анализа курса доллара.

Таблица 1 - Результаты R/S-анализа/

Таким образом, первоначальными данными для регрессии и определения фрактальной размерности станут 2-й и 4-й столбцы Таблица. Для того чтобы узнать размерность ряда, необходимо решить уравнение, прологарифмировав его: RS=nH ec В итоге искомая регрессия будет иметь вид lnRS=c+H lnn. Решением этой регрессии будут следующие значения: С = -0.4617; H = 0.6294; R 2 полученной регрессии составляет 0.997529, что свидетельствует о высокой точности и правдоподобности полученных результатов. На Рис. 3 представлен график R/S-статистик и регрессии по шкале у. По шкале х показан логарифм длины подпериода (n).

Рисунок 3 – Результат R/S-анализа

Исходя из полученного значения показателя Хёрста, можно сделать вывод о персистентности ряда. Хотя уровень персистентности ряда низок (значение показателя ближе к 0.5, чем к 1, тем не менее лог-приросты курса доллара поддаются моделированию. Они обладают долговременной памятью и выводятся и прогнозируются из своих предыдущих значений. Это оказалось вполне естественным, поскольку персистентные временные ряды очень распространены в природе.

Построение фрактальной модели ARFIMA

Вычисление показателя Хёрста требовалось для определения параметра оператора дробного дифференцирования в модели ARFIMA. Дробно-интегрированные авторегрессионные модели скользящего среднего являются фрактальными и поэтому очень подходят для моделирования курса доллара. Параметр d для такой модели будет равен H-0,5 = 0,1294. Для построения такой модели сначала необходимо дробно дифференцировать исходный ряд курсов доллара по степени d. Далее моделирование будет происходить уже относительно этих разностей.

Для начала необходимо написать разложение разностного оператора 1+L0,1294 в ряд Тейлора. Данная разность будет учитывать значения в несколькие предыдущие периоды. Перед использованием коэффициентов ряда Тейлора необходимо доказать, что при степени d числовая последовательность коэффициентов при лаговых операторах сходится. Для этого воспользуемся признаком Лейбница: 1) докажем, что a1>a2>a3>…>an; 2) докажем, что an стремится к 0.

Доказательство:

1. limk>?-1k+1 j=0kd-j k!-1k j=0k-1d-j k+1!=k-dk=1-dk. При всех конечных значениях k отношение (k+1)-го и k-го членов ряда

2. Далее нужно сравнить его с рядом 1k, который превосходит его по значению, и при этом стремится к 0. Таким образом, можно сделать вывод, что числовая последовательность коэффициентов при ряде Тейлора также стремится к 0 по признаку Лейбница. Несмотря на то что курс доллара обладает бесконечной долговременной памятью, на мой взгляд, наиболее логичным и оптимальным решением будет ограничить количество членов ряда Тейлора для вычисления разностей, поскольку было бы неправильно оценивать завтрашний курс с учётом курса десятилетней давности.

Таким образом, решено ограничиться 30 предыдущими днями для вычисления каждой из разностей (месяц). В Таблица приведены результаты вычислений значений коэффициентов для каждого лага

Таблица 2 - Коэффициенты при лагах для фрактальных разностей

На Рис.4 приведены результаты вычисления разностей на всём исследуемом периоде.

Этот график почти не отличается от исходного по курсам доллара, однако модель этих разностей будет гораздо точнее, чем простая или целая интегрированная модель дневного курса доллара. Для моделирования предпочтительно взять последние 40 значений разностей, поскольку это не слишком превышает месячную динамику и в то же время делает модель значимой. Путём длительного перебора нескольких вариаций был установлен оптимальный вид авторегрессионной модели скользящего среднего (ARMA) для разностей. Ею оказалась модель ARMA(4,7). В Таблица представлены основные характеристики модели.

Таблица 3 - Статистика модели разностей ARMA(4,7)

Коэффициент детерминации говорит о том, что модель в целом, несмотря на некоторую пилообразность, хорошо объясняет динамику фрактальных разностей во времени. На Рис. 5 изображён график, показывающий модельный, исходный и прогнозный ряды

После моделирования и прогнозирования разностей наступает этап, когда требуется восстановить исходный ряд, имея в распоряжении значения разностей.

Построенная модель обладает способностью делать краткосрочные прогнозы курса доллара.

Выводы

После проведённого анализа и моделирования хочется заметить высокие перспективы применения фрактального анализа в изучении свойств финансовых рынков, поскольку, несмотря на то, что данные модели являются высокоточными и эффективными, они не являются вершиной достижений фрактального анализа. В данный момент существуют мультифрактальные модели, применяемые не только для имитации и прогнозирования финансовых рынков, но и в таких сферах, как предсказание землетрясений. Такие модели очень распространены в научных лабораториях Европы, поскольку смысл подобных моделей предполагает проникновение в саму суть и структуру того показателя, который подвергается изучению.

Список использованной литературы

1. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 353с.
2) Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2007. 504 с.
3) Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах The Misbehavior of Markets. М.: Вильямс, 2006. 400с.
4) Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. М.; Ижевск: Ин. компьютерных иссл., 2002. 160с.
5) Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004. 304с.
6) http://ru.wikipedia.org
7) http://www.nsu.ru/phpBB/viewtopic.php?t=19201
8) http://www.cbr.ru/
9) http://fraktals.ucoz.ru/publ/12-1-0-54

Движение цены имеет фрактальную природу, потому что действия и реакции людей на рынке повторяются. Задача заключается в распознавании этих повторяющихся моделей на графике цены. В данной статье мы подробно рассмотрим один из способов нахождения таких моделей.

Законы гравитации, емкости, инерции и цикличности являются важными движущими силами финансовых рынков. Все модели, поведение и динамику рынка можно рассматривать в качестве симптомов или результата действия этих законов. Эти базовые силы легко поддаются пониманию и интуитивному восприятию. Доказать их наличие можно, используя простую, неопровержимую логику, опирающуюся на эмпирические доказательства. В данной статье мы рассмотрим фрактальную структуру рынков, ее проявления и последствия, а также возможности, которые она дает проницательному и, в конечном итоге, успешному трейдеру.

Фракталы на финансовых рынках

Фракталы представляют собой естественное явление и в то же время - математические множества. Общее для них - их повторяющаяся модель, которую можно наблюдать на любом масштабе времени и пространства. Чтобы представить это в финансовом контексте, взгляните на рисунок 1, где изображены три свечных графика. Один из них - дневной график (одна свеча представляет один день торговли), другой - 5-минутный (одна свеча объединяет 5 минут торговли), а третий - недельный (все движения за неделю сжаты в одну свечу). Каждый график представляет различный тип финансовых активов - , индекс и товар. Кроме того, каждый из них охватывает различный период времени.

Рисунок 1

Но даже с учетом всего этого, все равно невозможно сказать, какой график к чему относится. Не имея цен по вертикальной оси и/или временных меток по горизонтальной, отличить их не удастся. Фактически, поскольку эти три графика показаны рядом друг с другом, их можно принять за один непрерывный график. Для тех, кому интересно, скажем: левый график - недельный таймфрейм по золоту, средний - дневной по S&P 500, а правый - 5-минутка Google, Inc. (GOOG).

Хорошей аналогией здесь может служить концепция числовой бесконечности. Есть два подхода к числовой бесконечности. Один заключается в том, что для каждого числа существуют соседние числа - меньшее и большее, для которых, в свою очередь, также имеются меньшее и большее соседние числа; и так - до бесконечности; это есть бесконечность размера. Другой подход заключается в том, что между любыми двумя числами существует бесконечное множество других чисел - это есть бесконечность точности. То же самое можно сказать о данных на финансовых рынках. Непрерывно поступают новые котировки, которые можно рассматривать на таймфреймах различной степени точности. Единственное исключение в этом сравнении заключается в том, что масштаб (если мы говорим о движении цены) не является бесконечным. На практике, наименьшим масштабом является одиночная операция. Но концепцию бесконечности все же можно использовать, чтобы увидеть фрактальную природу ценовых данных на финансовых рынках.

Рисунок 1 является примером нескончаемого потока эмпирических доказательств. Можно ли выдвинуть здравое объяснение, или универсальный закон, которое учитывало бы это явление? Если да, то это могло бы объяснить, как работает . Мы полагаем, что сформулировать универсальный закон можно. Любой график, отображающий поведение финансовых рынков, независимо от его таймфрейма или расположения во времени, является результатом прошлых операций. Мы имеем в виду операции, выполненные людьми в качестве реакции на различные импульсы. На диаграмме на рисунке 2 можно увидеть представление внешнего взгляда на финансовый рынок. Финансовый рынок состоит из новых для данной системы внешних импульсов (новости, отчеты и другие фундаментальные данные), а также из выходного сигнала, который внутренне возвращается в систему (люди, реагирующие на движение цены).

Рисунок 2

Графики - это ничто иное, как совокупный результат прошлых действий всех трейдеров или исполненных ордеров. Поскольку люди действуют и реагируют на то, что делает рынок, одинаковым образом и одинаковыми методами на всех таймфреймах, то их поведение, в конечном счете, проявляется в одинаковых моделях, независимо от масштаба.

Человеческие эмоции неизменны, какой бы таймфрейм мы ни рассматривали. То же относится и к вытекающему из этих эмоций поведению.

Фокальные точки

Трейдеры применяют одинаковые методы и индикаторы для поиска однотипных сигналов, независимо от таймфрейма, на котором они работают. Зная это, стоит в процессе торговли следить за несколькими таймфреймами. Нечто подобное сделал Александр Элдер, разработавший свою систему торговли по трем экранам, предполагающую, что трейдеру необходимо смотреть на один таймфрейм ниже и один таймфрейм выше того, на котором он торгует.

Как идеальный шторм начинается с невинного бриза, который в конечном итоге перерастает в ураган, точно так же можно постараться с пользой для себя уловить точки, где сигналы на различных таймфреймах начинают согласоваться. Чем больше число сигналов (разных или одинаковых) на всех таймфреймах, тем большую важность приобретает данный конкретный момент времени.

Количество графиков, на которых одновременно присутствуют схожие сигналы, определяет важность и глубину понимания рыночной динамики. Подумайте, сколько людей в этот момент наблюдают за данным графиком и данным сигналом, глядя на разные таймфреймы. Компьютер - идеальное средство для обработки такого большого объема информации. Например, вы можете просмотреть 50 возможных формаций или сигналов на 20 различных таймфреймах для конкретной акции, а затем повторить это еще для нескольких тысяч акций.

Затем мы придем к пониманию, что будущее любого графика определяется накопительным исполнением ордеров, которые еще даже не размещены. Невозможно заранее знать, будет ли данная внутридневной, краткосрочной, продлится несколько дней или недель, или же станет долгосрочной, которую вы будете удерживать от нескольких недель до нескольких месяцев. Каждая сделка развивается с эмбриональной стадии - это самая мелкая форма на самом мелком масштабе времени. Вот почему фракталы играют важную роль в торговле.

Атомы торговли

Каждый тренд, независимо от его длины, начинается с самого нижнего Low (в случае восходящего тренда) или с самого высокого High (в случае нисходящего). Каждое дно, при достаточном приближении, имеет V-образную форму, состоящую из трех баров. Аналогично, каждая вершина должна будет выглядеть, как перевернутая буква V, если рассмотреть ее самую верхнюю точку при достаточном увеличении. Это означает, что на самом базовом уровне, независимо от рассматриваемого таймфрейма, всегда присутствуют три бара, которые составляют этот атом - строительный элемент любого графика. Тренды и развороты всегда будут заканчиваться или начинаться тремя барами, средний из которых представлет собой крайнюю верхнюю или крайнюю нижнюю точку. Взгляните на рисунок 3. На левом графике вы видите модель из трех баров, которая называется "фрактал вниз с одним баром". "С одним баром" означает, что с каждой стороны от среднего бара есть по одному бару с более высокими High.

Рисунок 3

Рядом с этой моделью на диаграмме приведен фрактал вверх с двумя барами, т.е. с каждой стороны от среднего бара есть по два бара. Необходимо знать некоторые нюансы этих определений, встречающиеся в литературе по торговле. Например, для фрактала вверх с пятью барами, в большинстве источников есть требование, что с каждой стороны от вершины или дна должны быть хотя бы два бара, чтобы эта формация называлась фракталом. Существует расхождение во мнениях, поскольку некоторые считают, что окружающие бары не обязательно должны демонстрировать устойчивый восходящий или нисходящий тренд, а некоторые полагают иначе. Пример такой ситуации вы можете увидеть на третьей диаграмме на рисунка 3. Красный бар - это фрактал вверх с тремя барами, потому что справа от красного бара в самом деле есть три бара с более низкими High, несмотря на то, что третий выше второго. В некоторой литературе это называется фракталом вверх с тремя барами, потому что четвертый бар справа снова имеет более низкий High. Аналогично, если посмотреть на бары слева от зеленого, можно заметить, что третий бар слева имеет более высокий Low, чем зеленый бар, хотя его Low ниже, чем у второго бара слева от зеленого. В литературе присутствует довольно много путаницы в отношении определений фрактальных моделей и того, как их использовать. Поэтому в данном вопросе нужно пойти на один шаг дальше.

Фрактальный континуум

Помимо всех классификаций, учитывающих соседние бары, каждому бару можно присвоить набор из четырех цифр. Количество баров слева и справа от рассматриваемого бара, которые демонстрируют более высокие Low, чем у рассматриваемого, называется числом Chartmill поддержки данного бара слева/справа (CLS и CRS, соответственно) . Аналогично, число Chartmill сопротивления данного бара слева/справа (CLR и CRR, соответственно) учитывает количество баров слева и справа от данного бара с более низкими High. Эти числа четкие и позволяют избежать путаницы. Таймфрейм, который вы используете для анализа, не должен влиять на то, как вы определяете и анализируете фрактальную природу рынка. Важно иметь объективные индикаторы и сигналы. Более того, эти индикаторы и сигналы должны игнорировать любые характеристики визуального восприятия, например: масштаб времени на горизонтальной оси или линейность/логарифмичность оси. Только после этого можно создать объективные, не зависящие от графика индикаторы, которые можно применять алгоритмически, сканируя на наличие фокальных точек.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

Фрактальная теория рынка Forex – это попытка автора взглянуть на основания финансовых рынков сквозь призму таких понятий, как синергетика, хаос, множество Мандельброта, показатель Херста и броуновское движение. Книга поможет читателю раскрыть эти понятия в приложении к рынку Forex и изменит восприятие им таких вещей, как котировки и цены. Теорию фракталов можно с успехом применять в сочетании как с техническим, так и с фундаментальным анализом. А информация, которую получит читатель, изучая материал, даст ему прочный фундамент для интерпретации графиков курсов валют и ценных бумаг.

Алексей Алмазов. Фрактальная теория рынка Forex. – СПб: Admiral Markets, 2009. – 296 с.

Скачать конспект (краткое содержание) в формате или

Глава 1. Синергетика

В настоящее время, когда становится ясно, что финансовые рынки являются нелинейными системами, синергетика позволила распространить нелинейные концепции на экономический анализ рынков и более внятно объяснить их природу, в т.ч. пути их дальнейшей эволюции.

Самоорганизующаяся система не может быть замкнутой. Валютный рынок является открытой системой. Миллионы источников информации каждый день воздействуют на ход котировок. Другим условием самоорганизации является первоначальное отклонение от равновесия. Такое отклонение может быть следствием направленного воздействия извне, но может возникнуть и в самой системе случайным образом, стохастически. Третье условие: все процессы в системе (процессы, поддающиеся статистическому анализу) происходят кооперативно, самосогласованно. На рынке данное условие выполняется в согласовании временных масштабов. Графики в различных масштабах согласованы между собой.

Почему же система, развивающаяся по вполне определенным законам, ведет себя хаотически? Хаос порождается собственной динамикой нелинейной системы – ее свойством экспоненциально быстро разводить сколь угодно близкие траектории. В результате форма траекторий очень сильно зависит от начальных условий.

Поскольку в реальном физическом эксперименте задать начальные условия можно лишь с конечной точностью, предсказать поведение хаотических систем на длительное время невозможно. Анри Пуанкаре в своей работе «Наука и метод» (1908) говорит: «В неустойчивых системах «совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. (…) Предсказание становится невозможным».

Мандельброт, Пригожин и др. обнаружили, что на границе между конфликтами противоположных сил стоит не рождение хаотических, беспорядочных структур, как считалось ранее, а происходит спонтанное возникновение самоорганизации порядка более высокого уровня (см., например, ).

Теория волновой синергетики. Суть теории состоит в том, что график цены имеет определенную структуру поведения. В роли структуры выступает модель броуновского движения.

Глава 2. Линейная и нелинейная парадигмы на рынке Forex

Если система или организм хочет выжить, он должен эволюционировать и находиться далеко от равновесия. Поэтому здоровая экономика и рынок не стремятся к равновесию, они стремятся к росту и развитию.

Линейная парадигма утверждает, что рынки эффективны. Данная теория утверждает, что поскольку текущие цены отражают всю публичную информацию, ни один участник рынка не может иметь преимущество перед другим, тем самым, извлекая сверхприбыль. Однако Роберт Шиллер показал, что некоторые изменения цены происходят из-за изменений в фундаментальной информации и неопределенности будущих трендов потоков наличности. Только 27% волатильности объема прибылей на фондовых рынках США объясняется с позиций фундаментальной информации (см. ).

Считается, что трейдеры рациональны и подчиняются сделанным оценкам валютных курсов, при этом не учитываются психологические особенности участников. Линейная парадигма постулирует, что курсы валют описывают траектории случайного блуждания (броуновское движение), а их распределение нормально и имеет форму колокола. Ширина колокола (ее сигма, или стандартное отклонение) отображает, как далекие изменения цен отклоняются от среднего; события на краю рассматриваются, как чрезвычайно редкие.

Однако, финансовые данные не соответствуют таким предположениям. Величина ценовых движений может оставаться примерно постоянной в течение года, а затем внезапно изменчивость может надолго вырасти. Большие ценовые скачки стали обычными. Гауссова модель нормального распределения не отображает реальной картины, происходящей на финансовых рынках. Стоимость валют не постулируется теорией эффективного рынка.

На смену старым методам должны прийти новые, которые не предполагают независимости или нормальности. Новые методы должны включать фракталы и нелинейную динамику. Нелинейная парадигма должна допустить в теорию рынков концепцию долговременной памяти: событие может влиять на рынки долго. Невозможность развития в линейных системах происходит из-за того, что детерминированные статистические системы обладают небольшим числом степенной свободы, что заметно ограничивает их приспособительные возможности, они вынуждены уступать в процессе развития более адаптивным конкурентам.

Очень интересную теорию предложил Петерс в своей книге , согласно ей, рынки остаются стабильными, когда многие инвесторы на них участвуют и имеют различные инвестиционные горизонты (сроки вложения средств).

Гарольд Эдвин Херст (1880–1978) – английский физик, прославился исследованиями разливов Нила. Херст ввел новую статистическую технику, основанную на выражении R(t, d)/S(t, d). Этот метод был назван R/S анализ. Открытие Херста состоят в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но угол наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Различные кривы ведут себя очень по-разному, они располагаются вблизи некоторой прямой, угол наклона которой, Н , зачастую превосходит 0,5 (т.е. не соответствует нормальному распределению; рис. 1).

Рис. 1. Оценка показателя Херста

Волнистой линей изображен временной ряд (совокупность наблюдаемых параметров изучаемой системы во времени) цен. Прямая линия соответствует показателю Н (Херста). Когда Н = 0,5 график будет соответствовать нормальному распределению и являться случайным. При 0,5 < Н < 1, процесс является персистентным. Если мы наблюдаем восходящую тенденцию, то в будущем она продолжит свой рост. Когда Н возрастает от 0,5 до 1, устойчивость становится все заметнее. С практической точки зрения это выражается в том, что возникающие разнородные «циклы» различаются все яснее. В частности, большую важность становятся медленные циклы. Если 0 < Н < 0,5, то процесс является антиперсистентным. Когда восходящая тенденция сменяется нисходящей или наоборот.

Глава 3. Введение во фракталы

В 1975 году Бенуа Мандельброт впервые ввел понятие фрактала – от латинского слова fractus, сломанный камень, расколотый и нерегулярный. Оказывается, почти все природные образования имеют фрактальную структуру. Что это значит? Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части и т. п., то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково.

Фрактал – геометрическая форма, которая может быть разделена на части, каждая из которых — уменьшенная версия целого.

Свойства фракталов. Нерегулярность. Если фрактал описывать функцией, то свойство нерегулярности в математических терминах будет означать, что такая функция не дифференцируема, то есть не гладкая ни в какой точке. Самоподобие. Фрактал – рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом и воспроизводится в различных масштабах без видимых изменений. Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы.

В финансах движения акции или валюты внешне похожи, независимо от масштаба времени и цены. Наблюдатель не может сказать по внешнему виду графика, относятся ли данные к недельным, дневным или же часовым изменениям.

Третьим свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от евклидовой. Она носит имя размерность Хаусдорфа-Безиковича. Эта размерность увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией. Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум, т.е. заполнит почти всю плоскость. (рис. 2).

Рис. 2. (а) Сильноизогнутая линия способна заполнить собою плоскость; (б) переход от размерности 1 к размерности 1,5

В мультифракталах в роли показателя размерности выступает значение Н .

При фрактальной размерности менее 1,4, на систему влияет одна или несколько сил, двигающих систему в одном направлении. Если размерность около 1,5, то силы, действующие на систему, разнонаправлены, но более или менее компенсируют друг друга. Если же фрактальная размерность значительно более 1,6, система становится неустойчивой и готова перейти в новое состояние. Отсюда можно сделать вывод, что чем более сложную структуру мы наблюдаем, тем все более возрастает вероятность мощного движения (рис. 3).

Рис. 3. Смоделированные линии с различной размерностью

Когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное, т.е. полностью зависит от начальных условий и поддается четкому прогнозу. Вы самостоятельно можете выполнить одну из таких моделей в Excel. А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие. Именно такой системой и является межбанковский валютный рынок.

Глава 4. Теория волн Эллиота как основоположник теории фракталов

Технический анализ рынков – это методы прогнозирования дальнейшего поведения тренда цены, основанные на знании предыстории развития цены. Технический анализ для прогнозирования использует математические свойства трендов, а не экономические показатели различных стран, к которым принадлежит та или иная валютная пара. Технический анализ основан на 3 постулатах:

Рынок учитывает все.
Движение цен подчинено тенденциям. Бычий тренд – восходящее направление цены. Медвежий тренд – нисходящее направление цены. Флэт – боковое (горизонтальное) движение рынка.
История повторяется.

В теории Эллиота для обозначения пяти волнового тренда используют цифры, а для противоположного трех волнового – буквы. Если волна направлена в сторону основного тренда и состоит из пяти волновых движений, то она называется – импульсной. Если направление волны противоположно основному тренду, и она состоит из трех волновых движений, то она называется корректировочной (рис. 4).

Рис. 4. Волновой цикл Эллиота

Исходя из определения фрактала, Элиот первым заметил, что волны более мелкого порядка подобны волнам более высокого порядка и то, что система является самоподобной. Но когда большинство из нас сталкиваются с реальностью данных, а не с той простой схемой, что подробно описывается в волновой теории, многие приходят в разочарование в связи с тем, что не обнаруживают данного цикла в его изначальном виде.

Эллиот предложил самоподобную модель поведения цен, которая по своей сущности является фракталом, но она не отображает всех свойств присущих данному понятию и того, что в действительности происходит на финансовых рынках.

На валютном рынке время мультифракталыю, а в роли цены мы наблюдаем броуновское движение, обобщенное либо дробное!

Эллиот лишь заложил фундамент и предложил упрощенную форму поведения цены.

Глава 5. Модель Бенуа Мандельброта

Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Данная модель, которая получила название «Множество Мандельброта» положила начало к развитию фрактальной геометрии (рис. 5).

Рис. 5. Множество Мандельброта

Модель Мандельброта обладает характерными свойствами. Самоподобие, пожалуй, одно из самых важных свойств данной модели.

Следующим свойством, которым обладает наша модель, это ее размерность (детализация). Применительно к рынку можно увидеть, что недельный масштаб цен обладает наиболее детализованными данными, что делает его структуру более четкой, относительно минутных графиков (рис. 6).

Рис. 6. Размерность (детализация) модели: (а) недельный график, (б) минутный график

Характерным свойством множества Мандельброта является его нерегулярность. Модель Мандельброта случайным образом выбирает направление дальнейшего пути развития, которое выглядит как разделение траекторий. Обычно эту точку называют, точкой бифуркации . Самое удивительное свойство множества Мандельброта – бесконечная дисперсия.

При анализе графиков Forex может применяться золотое сечение и .

Глава 6. Генератор – Святой Грааль на рынке Forex

Под моделью мы будем подразумевать закономерно выстроенную структуру цен, образовавшуюся в законченном цикле. Графики Forex можно сгенерировать, используя диагональную самоаффинность. Преобразования называются аффинными, когда она используют операции переноса и редукции.

Все модели я строю на основе функции Вейерштрасса-Мандельброта:

Параметр b определяет, какая часть кривой видна, когда аргумент t изменяется в заданном интервале. Параметр D принимает значения 1 < D < 2 и является показателем размерности фрактальной кривой. Например, при D = 1,5 и b =1,5 мы имеем модель, названную мной, как «модель 1.5» (рис. 7).

Рис. 7. Модель 1.5

Понятие размерности вполне можно соотнести с волатильностью биржевых цен. То есть с помощью параметра D , мы, подбирая нашу модель к похожей на рынке, можем отрегулировать ее таким образом, чтобы волатильность цен и размерность модели стали практически идентичными.

Модели можно получать с помощью программы, которая может их генерировать, путем задаваемых параметров D и b . Наиболее близки к рыночным реалиям модели 1.43, 1.5, 1.6, 1.7, 1.9.

Глава 7. Начальные условия и основные этапы развития моделей

Для примера будем использовать модель 1.9 (рис. 8). Вертикальными линиями разграничены волны. Модель 1.9 включает в себя наиболее полный и стандартный перечень элементов. Все остальные модели являются производными от данной структуры.

Рис. 8. Структура модели 1.9

Для данной Origin характерны следующие особенности:

Начинается данная структура после нисходящего движения.
Как правило, последняя волна в волне origin достаточно выражена (на рис. показана стрелкой).
Откат от волны origin не должен пересекать ее основание.
Ключевым уровнем отмены данной структуры будет пробой 23.6 уровня Фибоначчи.

Основные черты волны trident:

В отличие от origin она не начинается от очередного минимума нисходящего тренда.
Точка бета никогда не должна пересекать основание волны origin.
Если угол наклона между точками альфа и бета крутой, то тренд будет достаточно мощным и импульсивным. Если пологий, то тренд будет идти не под углом, а в горизонтальном направлении.

Особенности волны impulse:

Является самой заметной из всех волн, что выражается в продолжительности и скорости ее хода.
Практически всегда достигает уровня 161.8 от волны origin.
Все индикаторы показывают максимальное значение на этапе окончания волны impulse.
Данная волна может состоять из двух циклов.

Характерные особенности волны revival:

В отличие от волны trident, в данной структуре точки альфа и бета не представляют особой важности, так как уровень бета может оказаться значительно ниже альфа, что не означает отмены восходящего движения.
В данной структуре очень важно следить за тем, чтобы максимумы revival не стали максимальными уровнями от всей модели в целом.

Для того чтобы научиться грамотно определять цикл, мы должны уметь варьировать временными масштабами. Умение работать с различными масштабами это начало пути к профессиональному трейдингу! Если мы не видим развитие модели на определенном масштабе цен, то перед нами часть, большего цикла. Вот почему не после каждого нисходящего (восходящего) движения мы будем наблюдать целую модель. Циклы, развивающиеся в характерном для них масштабе цен, обладают наиболее высокой размерностью, чем часть большего цикла, расположенного в том же масштабе.

Глава 8. Определение циклов на валютном рынке

Есть ли цикл на рынке? На этот вопрос по сей день, нет конкретного ответа. Вот как Мандельброт описывает наличие циклов на финансовых рынках: «…все периодичности суть «артефакты», не характеристика процесса, но, скорее, совокупный результат зависящий от собственно процесса, длины выборки и суждения экономиста или гидролога. Первый из упомянутых факторов является внешним по отношению к наблюдателю, второй (в зависимости от конкретного случая) может предполагаться заранее или выбираться произвольно, а третий субъективен во всех случаях, то есть представляет собой продукт человеческого восприятия и предмет разногласий. (Впрочем, эти разногласия зачастую касаются только деталей, что может представлять интерес с точки зрения теории восприятия.)».

Мандельброт предложил в качестве определения размерности самоаффинных процессов использовать показатель Херста:

(2) H = logP/logT

Фрактальная размерность в этом случае определяется как:

(3) D =D m – H

и характеризует то, как предмет заполняет пространство. Чем выше D, тем больше шума на графиках. минутный и часовой графики. Тени, которые мы наблюдаем на различных временных масштабах, определяют степень зашумленности временного ряда! Чем длиннее тени свечей, тем более зашумленной является пара, что выражается в отклонении цены в момент поступления новой информации от истинного значения (структуры). Отсюда можно сделать вывод, что масштабы на валютном рынке представляют собой некий фильтр, который отсеивает всю ненужную информацию и определяет более важную (рис. 9).

Рис. 9. Масштабы в роли фильтров

Отличительной чертой циклов, которые присутствуют на валютном рынке является их непериодичность. Это значит, что цикл не имеет определенной стандартной длины. Петерс в своей книге «Хаос и порядок на рынке капитала» дает следующее определение: «Средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях». Петерс делает попытку определить длину цикла с помощью R/S анализа. Он нашел, что средняя длина цикла по индексу S&P500 равна 4 года. Однако автор делает поправку на то, что это некий статистический цикл и, что для практической торговли он не представляет ровными счетом никакого интереса.

К рынку применима фрактальная теория и те неправильные кривые, которые мы ежедневно наблюдаем на экранах своих мониторах, есть ни что иное, как фрактальный временной ряд. Отсюда вытекает понятие мультифрактального биржевого времени. Эйнштейн нашел, что средний квадрат расстояния, на которое удаляется от исходной точки случайно блуждающая частица пропорционален времени. Средний квадрат расстояния для фрактальной среды оказывается пропорциональным некоторой дробной степени времени, показатель которой связан с фрактальной размерностью среды α :

(4) α = 1/Н

(5) dP ~ (dt) Н

Если Н = ½, модель характерна для эффективного рынка. Где постулируется, что процесс распределения цен соответствует гауссовскому. Здесь dP – изменение цены, соответствующее интервалу времени dt . Наиболее частое значение, показателя Херста для валютных рынков колеблется около 0,58 – 0,6, что соответствует α = 1,7 («модель 1.7»). Поскольку Н постоянно меняется, оно будет мультифрактальным . Приставка мульти означает, что мы имеем не одно, а несколько значений Н на различных временных интервалах.

Глава 9. Как совмещать фрактальную теорию с другими видами анализа

Выставляйте уровни поддержки и сопротивления ориентируясь на максимумы и минимумы цен. Расстояние между уровнем и тенями должно быть не менее 1–2 пунктов. Как узнать действительно ли это максимум цены или просто очередной всплеск? Это делается путем определения максимальных и минимальных уровней, которые цена делала в прошлом. Фрактальная теория рынка предполагает то, что прошлые значения цены коррелируют с ее будущими значениями.

Торгуя, на валютном рынке, трейдер даже не задумывается о взаимосвязи между отдельными валютами и ограничиваясь всего одной парой. Многие считают, что валютный рынок представляет из себя систему, поделенную на множество отдельных элементов (валютных пар) по сути, никак не связанных между собой! Вы упускаете огромные возможности, не используя структуру поведения различных валютных пар. Я не призываю вас к тому, чтобы открывать сделки по 2, 3, а уж тем более по 10 парам одновременно. Можно все время открывать сделки только по одной валютной паре, но сделать это так, чтобы сигналы на вход в рынок не противоречили другой валютной паре, связанной с ней.

Например, валютные пары Евро/Доллар и Фунт/Доллар являются однонаправленными, и мы наблюдаем схожую структуры движения цены. При этом у них различная волатильность, а значит и разные ключевые уровни. У одной из них уровни достигаются значительно быстрее, чем у схожей с ней валютой. Нам же остается только выставить ключевые уровни и ждать их пробоя. Как только они будут пробиты мы с полной уверенностью можем предполагать о том, что по той валюте, где еще цена даже не подошла к ним, возможен пробой ключевого уровня.

Сущностью рынка является ход цены, а вернее ее структура. Трейдер, который подвержен влиянию различных источников информации, а также пытается применить индикаторы, сильно рискует уйти от верного прогноза. Я вовсе не противник индикаторов и фундаментального анализа, я лишь призываю к тому, что, применяя данные инструменты, нам не нужно забывать о самом предмете. Применение фрактальной теории помогает определить направление цены, однако учитывая перепады в волатильности каждой пары в отдельности, индикаторы помогут наиболее точно сориентировать нас в текущей ситуации. Да они более удобны, в том плане, что с их помощью можно найти наиболее ключевые точки для входа или выхода с рынка. Но индикаторы очень плохо показывают общее направление цены, что является их существенным минусом.

Глава 11. Психология торговля

Работая на реальных счетах, человек уже не думает, он работает. Трейдеры незаметно для себя перестают разумно размышлять о своих проигрышах и выигрышах, для них начинает существовать только одна цель – заработать побольше и побыстрее. Данный синдром проявляет себя в следующем:

Осуществление большого количества сделок за короткий период.
Отсутствие понятия риск.
После успешно выполненной сделки, данный игрок открывает еще одну.
Происходит отвержение и не понимание теории. Работа на рынке происходит без предварительного разогрева.
Невозможность принять свое поражение.

Всем известно такой вид ордеров, как стоп-лосс и тейк-профит. Вы должны понять, что, если вы, до того, как хотите осуществить сделку не знаете, где ограничить свои потери и сколько прибыли вам нужно забрать, вы уже проиграли.

После того, как вы осуществляете успешную сделку вы находитесь в состоянии победителя, которому все по плечу, вы празднуете, а во время праздника человеку не свойственно трезво оценить ситуацию. Поэтому не спешите сразу открывать очередную сделку, отдохните, соберитесь с силами, и ваша торговля станет поистине профессиональной.

Литература

Давид Рюэль. . – Ижевск: РХД, 2001. – 192 с.

Бенуа Мандельброт. : фрактальная революция в финансах. – М.: Вильямс, 2006. – 408 с.

Бенуа Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. – Москва–Ижевск: ИКИ, 2002. – 656 с.

Бенуа Мандельброт. . – Ижевск: РХД, 2004. – 256 с.

Эдгар Петерс. . – М.: Интернет-трейдинг, 2004. – 304 с.

Фракталы занимает меня всё больше и больше. 🙂 Первое упоминание о них я встретил в книгах Насима Талеба и . А далее погрузился в предмет, прочитав книгу Бенуа Мандельброта . Под впечатлением этих произведений я даже предпринял несколько небольших исследований:

Представляю вам еще одну книгу на эту тему. Здесь больше математики, чем в предыдущих произведениях, но я постараюсь не переусердствовать…

Скачать краткий конспект в формате

Глава 1. Введение во фрактальные временные ряды

Западная культура долгое время была одержима гладким и симметричным. Фрактальная геометрия – геометрия Демиурга. В отличие от евклидовой геометрии она основывается на грубости и асимметрии. «Самоподобия» является определяющим свойством фракталов. Большинство естественных структур, особенно живые существа, обладают этим свойством. Вторая проблема, возникающая при применении евклидовой геометрии к нашему миру, – это проблема размерности. …восприятие размерности может изменяться в зависимости от нашего расстояния от объекта. Мы увидим разницу между гладкостью евклидового мира и грубостью нашего мира, что ограничивает пригодность евклидовой геометрии как метода описания.

Конфликт между симметрией евклидовой геометрии и асимметрией реального мира может быть далее продлен до нашего понятия времени . Традиционно, события рассматриваются либо как случайные, либо как детерминированные. Во фрактальном времени случайность и детерминизм, хаос и порядок сосуществуют. Кажется, что и великие события зависят от случая. Однако, подобные теории развивают параллельно несколько ученых. Это подразумевает, что этим открытиям было предназначено случиться. Этого требовала история.

Время не имело значения в ньютоновой механике; теоретически, время могло быть повернуто в обратную сторону, потому что уравнения Ньютона работали одинаково хорошо независимо от того, шло ли время вперед или назад. В тоже время такой процесс, как смешение жидкостей – процесс зависящий от времени и необратим . В термодинамике стрелка времени указывает только в будущее. Первый удар был нанесен по представлению о вселенной как о часовом механизме.

Второй удар был нанесен с появлением квантовой механики. Осознание того, что молекулярная структура вселенной может быть описана только состояниями вероятности, еще более подорвала детерминистическое представление. Но все еще оставалось сомнение. Вселенная детерминирована или случайна? Постепенно стало очевидным, что самые естественные системы характеризуются локальной случайностью и глобальным детерминизмом. Эти противоположные состояния должны сосуществовать. Детерминизм даст нам закон природы. Случайность привносит новшество и разнообразие. Здоровая, развивающаяся система – это та, которая не только может пережить случайные удары, но также может поглотить такие удары, чтобы улучшить всю систему, когда это станет целесообразно.

Мы подошли к третьему удару по детерминизму Ньютона: наука хаоса и фракталов, где случайность и необходимость сосуществуют. В этих системах энтропия высока, но никогда не достигает максимального состояния беспорядка из-за глобальною детерминизма. Хаотические системы экспортируют свою энтропию или «рассеивают» ее, аналогично тому, как механические устройства рассеивают часть своей энергии как трение.

Игра хаоса показывает, что локальная случайность и глобальный детерминизм могут сосуществовать, чтобы создать стабильную, самоподобную структуру, которую мы назвали фракталом.

Фактически не существует точного определения термина «фрактал». Бенуа Мандельброт, отец фрактальной геометрии, тоже не сформулировал точного определения. Фракталы имеют определенные особенности, которые измеримы, и свойства, которые являются желательными для целей моделирования. Первое свойство – самоподобие . Оно означает, что части в некотором роде связаны с целым. Это свойство самоподобия делает фрактал масштабно-инвариантным . Фрактальные зависимости имеют вид прямой на графиках, где обе оси имеют логарифмический масштаб. Модели, описываемые таким образом должны использовать степенную зависимость (вещественное число, возведенное в степень). Эта особенность масштабирования по степенному закону , является вторым свойством фракталов, фрактальной размерностью, которая может описывать либо физическую структуру, такую как легкое, либо временной ряд.

Фрактальная размерность характеризует то, как предмет заполняет пространство. Фрактальная размерность временного ряда измеряет, насколько изрезанным является временной ряд. Согласно ожиданиям прямая линия должна иметь, фрактальную размерность 1, равную ее евклидовой размерности (фрактальная размерность плоскости – 2). Фрактальная размерность случайною временного ряда составляет 1,5. …фрактальная размерность может быть решена как наклон графика в логарифмическом масштабе по обеим осям.

Фрактальная размерность временного ряда важна, потому что она признает, что процесс может быть где-то между детерминистическим (линия с фрактальной размерностью 1) и случайным (фрактальная размерность 1,5). Фактически, фрактальная размерность линии может находиться в пределах от 1 до 2. При значениях 1,5 < d < 2 временной ряд более зазубрен, чем случайная последовательность, или имеет больше инверсий. Само собой разумеется, статистика временного ряда с фрактальными размерностями, отличными от 1,5, сильно отличалась бы от гауссовой статистики и не обязательно находилась бы в пределах нормального распределения.

Глава 2. Несостоятельность гауссовой гипотезы

Фрактальная природа рынка акций выражается в том, что

а) кривые распределения прибылей существенно отличаются от гауссового колокола (рис. 1).

б) кривые 1-, 5-, 10-, 20-, 30- и 90-дневных прибылей выглядят одинаково: масштабно-инвариантны (рис. 2); видно, что для всех кривых характерен более высокий пик (вероятность средних значений выше, чем по нормальному распределению), провал чуть дальше от среднего значения (в районе 1–2 сигм), толстые хвосты – высокая вероятность экстремально больших отклонений (более 3 сигм).

Рис. 1. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, частотное распределение прибылей: 1888-1991 гг.; по оси абсцисс – число стандартных отклонений, по оси ординат – частота

Рис. 2. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, N-дневные прибыли за вычетом нормальной частоты; N = 1 (a), 10 (б), 20 (в), 30 (г)

Что это означает? Во-первых, риск наступления большого отклонения (черного лебедя) намного более высок, чем подразумевает нормальное распределение. Нормальное распределение говорит, что вероятность наступления события более трех стандартных отклонений составляет 0,5% или 5 на 1000. Рисунки же показывает, что фактическая вероятность составляет 2,4% или 24 на 1000. Во-вторых, однодневные трейдеры сталкиваются с тем же количеством событий шесть-сигма в своих временных рамках, с каким сталкиваются 90-дневные инвесторы в своих временных рамках.

Временная структура волатильности. Как правило, мы используем стандартное отклонение для измерения волатильности и предполагаем, что она подвергается масштабированию согласно квадратному корню из времени. Например, мы «пересчитываем на год» стандартное отклонение ежемесячных прибылей посредством умножения его на квадратный корень из 12. Эта практика происходит из наблюдения Эйнштейна, что расстояние, которое проходит частица в броуновском движении, увеличивается пропорционально квадратному корню из времени, затраченному на ее измерение.

Квадратный корень из времени показан сплошной 45-градусной линией на рис. 3. Волатильность сначала увеличивается более быстрым темпом, чем квадратный корень из времени, а при N > 1000 дней наклон сильно падает к 0,25. Если мы думаем о риске как о стандартном отклонении, инвесторы несут больше риска, чем подразумевается стандартным отклонением для инвестиционных горизонтов менее четырех лет. Однако инвесторы несут все меньше риска на инвестиционных горизонтах более четырех лет. Как всегда было известно, долгосрочные инвесторы несут меньше риска, чем краткосрочные инвесторы.

Рис. 3. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, временная структура волатильности: 1888-1990 гг.

С другой стороны, отношение прибыли к риску или «коэффициент Шарпа», названный по имени его создателя, Нобелевского лауреата Уильяма Шарпа, показывает, сколько прибыли получено на единицу риска, или стандартного отклонения. В течение периодов меньше 1000 дней или четырех лет коэффициент Шарпа постоянно уменьшается; на отметке в 1200 дней он резко увеличивается. Это означает, что долгосрочные инвесторы вознаграждены больше, на единицу риска, чем краткосрочные инвесторы.

Аналогично ведут себя и облигации. А вот валюта! …перед долгосрочными держателями валюты стоят постоянно возрастающие уровни риска по мере расширения их инвестиционного горизонта. В отличие от акций и облигаций валюта не предлагает никакого инвестиционного стимула для стратегии покупки и владения в течение длительного времени. В краткосрочной перспективе спекулянты на акциях, облигациях и на курсах валют сталкиваются со схожими рисками, но в долгосрочной перспективе риск инвесторов, вкладывающих капитал в акции и облигации, снижен.

Появление границ для акций и облигаций, но не для валюты, сначала озадачивает. Почему валюта является ценной бумагой, отличной от акций и облигаций? Этот вопрос уже содержит ответ. Валюта названа «ценной бумагой». Валюта – объект, которым торгуют, но она не является ценной бумагой. Она не имеет инвестиционной стоимости. Прибыль от валюты можно получить, только спекулируя на ее стоимости против стоимости другой валюты. Валюта, таким образом, эквивалентна чисто спекулятивным средствам, которые обычно приравниваются к акциям и облигациям. Акции и облигации не такие. Они имеют инвестиционную стоимость. Облигации приносят проценты, а стоимость акции привязана к росту ее дохода вследствие экономической деятельности. Совокупный фондовый рынок привязан к совокупной экономике. Валюта же не привязана к экономическому циклу. В 1950-х и 1960-х годах у нас была развивающаяся экономика и сильный доллар. В 1980-х годах у нас была развивающаяся экономика и падающий доллар. Валюта не имеет «фундаментальной» стоимости, которая обязательно связана с экономической деятельностью, хотя она может быть привязана к экономическим переменным, таким как процентные ставки.

Глава 3. Гипотеза фрактального рынка

что является формулой для стандартного отклонения. Нормированный размах был рассчитан путем первоначального изменения масштаба или «нормализации» данных, посредством вычитания выборочного среднего:

(4.4) Z r = (x r – x m); r = 1, … n

Полученный в результате ряд Z теперь имеет среднее, равное нулю.

Следующий шаг создает кумулятивный временной ряд Y:

То есть, r-тый член ряда Y равен сумме всех членов ряда Z, начиная с первого и заканчивая r-тым. Обратите внимание, что, по определению, последнее значение Y (Y n) всегда будет нулем, потому что Z имеет среднее значение, равное нулю. Скорректированный размах R n является разностью максимального и минимального значений ряда Y:

(4.6) R n = max(Y 1 , …, Y n) – min(Y 1 , …, Y n)

Нижний индекс n для R n теперь показывает, что это – скорректированный размах для x 1 , …, х n . Поскольку Y был скорректирован к среднему нулю, максимальное значение Y всегда будет больше или равно нулю, а минимальное значение всегда будет меньше или равно нулю. Следовательно, скорректированный размах R n всегда будет неотрицателен.

Этот скорректированный размах R n , является расстоянием, на которое перемещается система за показатель времени n . Если мы устанавливаем n = Т, мы можем применить уравнение (4.1) при условии, что временной ряд х независим для увеличения значений n . Однако уравнение (4.1) применимо только к временному ряду, который находится в броуновском движении: он имеет нулевое среднее и дисперсию, равную единице. Для применения этой концепции к временному ряду, который не находится в броуновском движении, нам необходимо обобщить уравнение (4.1) и принять во внимание системы, которые не являются независимыми. Херст обнаружил следующую более общую форму уравнения (4.1):

(4.7) (R/S) n = c*n H

Нижний индекс n для (R/S) n , относится к значению R/S для x 1 , …, х n ; с = константа.

Значение R/S уравнения (4.7) называется нормированным размахом, потому что оно имеет нулевое среднее и выражается в терминах местного стандартного отклонения. В общем, значение R/S изменяет масштаб по мере увеличения нами приращения времени n согласно показателю степенной зависимости, равному Н, который обычно называется показателем Херста. Это называется масштабированием со степенной зависимостью . Опять же, это является характерной, хотя и не исключительной, чертой фракталов.

Показатель Херста может быть найден посредством вычерчивания log(R/S) n против log(n) и вычисления наклона через простую регрессию методом наименьших квадратов. В частности мы работаем на основе следующего уравнения:

(4.8) log(R/S) n = log(c) + H*log(n)

Если бы система была независимо распределена, то Н = 0,5. Херст сначала изучат реку Нил. Он обнаружил, что Н =0,91! Нормированный размах увеличивался быстрее, чем квадратный корень из времени. Он увеличивался как 0,91 корня из времени, что подразумевало, что система (в данном случае диапазон высоты Нила) проходила большее расстояние, чем проходил бы случайный вероятностный процесс. Для прохождения большего расстояния было необходимо, чтобы изменения в ежегодных нильских разливах влияли друг на друга.

Согласно первоначальной теории Н = 0,5 подразумевало бы независимый процесс. Важно понять, что R/S-анализ не требует, чтобы основной процесс был гауссов, он требует только, чтобы он был независим. Это, конечно, включало бы нормальное распределение, но также и негауссовы независимые процессы наподобие t-Стъюдента, гаммы или любой другой формы. R/S-анализ является непараметрическим, поэтому он не содержит требования к форме лежащего в основе распределения.

0,5 < Н < 1,0 подразумевает персистентиый временной ряд, который характеризуется эффектами долговременной памяти. Теоретически, то, что происходит сегодня, воздействует на будущее. В терминах хаотической динамики существует чувствительная зависимость от начальных условий. Такая долговременная память имеет место независимо от масштаба времени. Все ежедневные изменения соотнесены со всеми будущими ежедневными изменениями; все еженедельные изменения соотнесены со всеми будущими еженедельными изменениями.

0 < Н < 0,5 означает антиперсистентность . Такая систем проходит меньшее расстояние, чем случайная система. Чтобы система прошла меньшее расстояние, она должна меняться чаще, чем вероятностный процесс.

Как мы видели, персистентный временной ряд является самым распространенным типом, встречающимся в природе. Он также является самым распространенным типом на рынках капитала и в экономике.

Глава 5. Проверка R/S-анализа

При анализе любого процесса мы всегда сталкиваемся с одним важным вопросом: «Откуда мы знаем, что мы не получили наши результаты случайно?» Проверка значимости в отношении вероятностных доверительных интервалов стала одной из главных тем статистики. …первоначальное предположение называют нулевой гипотезой. Мы выбрали гауссов случай в качестве нулевой гипотезы, потому что с математической точки зрения легче проверить, является ли процесс случайным блужданием и иметь возможность сказать, что он таковым не является, чем доказать существование какого-то иного процесса с долговременной памятью. Почему? Гауссов случай позволяет находить оптимальные решения и легко моделируется. Кроме того, в основе гипотезы эффективного рынка (ЕМН) лежит гауссов случай, который по умолчанию становится нулевой гипотезой. Моделирование методом Монте-Карло показало необоснованность нулевой гипотезы.

Глава 6. Нахождение циклов: периодических и непериодических

R/S-анализ может не только выявить персистентность, или долговременную память, во временном ряде, но может также оценить длину периодических или непериодических циклов. Он также является устойчивым относительно шума. Это делает R/S-анализ особенно привлекательным для изучения естественных временных рядов и, в частности, рыночных временных рядов.

Дальнейшее изложение является слишком специальным и, на мой взгляд, будет полезно лишь профессиональным исследователям рынков акций, облигаций и валюты. Приведу лишь любопытные выводы одной из глав и заключительную главу.

Глава 12. Валюта: истинный процесс Херста

Валюта имеет интересные статистические и фундаментальные характеристики, которые отличают ее от других процессов. По существу, валюта не является ценной бумагой, хотя в отношении нее осуществляется активная торговля. Крупнейшие участники, центральные банки не представляют собой максимизаторов доходности; их цели не обязательно соответствуют целям рациональных инвесторов. В то же время на рынках валюты мало признаков циклов, хотя они действительно имеют сильные тренды.

На основании этих характеристик, взятых вместе, мы полагаем, что валюта – истинный процесс Херста. То есть она характеризуется процессами бесконечной памяти. Долгосрочные инвесторы должны опасаться относиться к валюте так, как они относятся к другим активам. В частности, они не должны предполагать, что стратегия с покупкой и длительным владением будет выгодна в долгосрочной перспективе. Риск увеличивается во времени и не уменьшается со временем. Долгосрочному инвестору, который должен иметь валютный риск, следует рассмотреть активную торговлю такими активами. Они не предлагают никакого преимущества в долгосрочной перспективе.

Глава 18. Понимание рынков

Эта книга имела две цели. Во-первых, я планировал ее как руководство по применению R/S-анализа к рынку капитала, экономическим данным и данным других временных рядов. R/S-анализ существует уже в течение более 40 лет. Несмотря на его устойчивость и общую применимость, он остается в значительной степени неизвестным. Он заслуживает места в комплекте инструментов любого аналитика наряду с другими инструментами, которые были разработаны в традиционном анализе и анализе хаоса.

Моя вторая цель заключалась в описании общей гипотезы для синтезирования различных моделей в когерентное целое. Эта гипотеза должна была согласовываться с эмпирическими фактами, используя минимальное количество основополагающих предположений. Я назвал свою модель гипотезой фрактального рынка (FMH). Я полагаю, что эта гипотеза является первой попыткой разобраться в глобальной структуре рынков. Со временем FMH будет, несомненно, видоизменена и усовершенствована, если она выдержит тщательную проверку инвестиционного сообщества. Я использовал несколько различных методов проверки FMH; выдающимся инструментом был R/S-анализ, используемый в комбинации с другими методами.

Стала появляться убедительная картина. R/S-анализ и гипотеза фрактального рынка вместе появились под общим заголовком «фрактальный анализ рынка». Фрактальный анализ рынка использовал самоподобные распределения вероятности, называемые устойчивыми распределениями Леви, в сочетании с R/S-анализом для изучения и классификации долгосрочного поведения рынков. Мы очень многое узнали, но остается еще многое исследовать. Я убежден, что рынки имеют фрактальную структуру. Как и в отношении любой другой фрактальной, временной или пространственной структуры, чем тщательнее мы исследуем структуру, тем больше деталей мы видим. Как только мы начинаем объяснять некоторые загадки, обнаруживаются новые неизвестные. Перед нами классический пример того, что чем больше мы знаем, тем больше мы понимаем, что мы ничего не знаем.

ИНФОРМАЦИЯ И ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ГОРИЗОНТЫ

Мы обсуждали влияние информации на поведение инвестора. В традиционной теории информация рассматривается как родовое понятие. В большей или меньшей степени, она представляет собой все, что может затронуть воспринимаемую ценность ценной бумаги. Инвестор также является родовым понятием. В основном, инвестор – это любой, кто хочет купить, продать или держать ценную бумагу на основании доступной информации. Инвестор также считается рациональным – то есть кем-то, кто всегда хочет максимизировать прибыли и знает, как оценивать текущую информацию. Совокупный рынок является эквивалентом такого исходного рационального инвестора, так что рынок может немедленно оценивать информацию. Такой родовой подход, где информация и инвесторы являются общими случаями, также подразумевает, что все виды информации влияют на всех инвесторов одинаково. Вот здесь этот подход и терпит неудачу.

Рынок состоит из многих индивидуумов со многими различными инвестиционными горизонтами. Поведение дэйтрейдера существенно отличается от поведения пенсионного фонда. В первом случае инвестиционный горизонт измеряется в минутах; в последнем случае – в годах. Информация оказывает различное воздействие на различные инвестиционные горизонты. Основная деятельность дэйтрейдеров – торговля. Торговля обычно связана с поведением толпы и рассмотрением краткосрочных трендов. Дэйтрейдер будет более заинтересован технической информацией, что объясняет тот факт, почему многие технические специалисты говорят, что «рынок имеет свой собственный язык». Существует также большая вероятность того, что техники скажут, что фундаментальная информация имеет малую ценность. Большинство техников имеет короткие инвестиционные горизонты, и, в рамках их временного интервала, фундаментальная информация имеет малую ценность. В этом отношении они правы. Технические тренды имеют наибольшее значение для коротких горизонтов.

Наиболее фундаментальные аналитики и экономисты, которые также работают на рынках, имеют длинные инвестиционные горизонты. Они больше склонны иметь дело с экономическим циклом. Фундаментальные аналитики будут расположены думать о том, что технические тренды – это иллюзии, не представляющие пользы для долгосрочных инвесторов. Истинные инвестиционные прибыли могут быть получены только посредством оценки стоимости.

В этой структуре и техники, и фундаменталисты правы для своих определенных инвестиционных горизонтов, поскольку влияние информации в значительной степени зависит от инвестиционного горизонта каждого индивидуума.

СТАБИЛЬНОСТЬ

Стабильность рынка в значительной степени является вопросом ликвидности. Ликвидность доступна, когда рынок состоит из многих инвесторов со многими различными инвестиционными горизонтами. Таким образом, если поступает порция информации, которая вызывает серьезное снижение в цене в коротком инвестиционном горизонте, на рынок придут долгосрочные инвесторы, чтобы осуществить покупку, поскольку они не оценивают информацию так высоко. Тем не менее, когда рынок теряет эту структуру, и все инвесторы имеют один и тот же инвестиционный горизонт, рынок становится нестабильным, поскольку нет ликвидности. Ликвидность – это не то же самое, что и объем торговли. Это, напротив, балансирование спроса и предложения. Потеря долгосрочных инвесторов заставляет весь рынок торговать, основываясь на одном и том же информационном множестве, которое, прежде всего, является техническим, или на явлении поведения толпы. Как правило, рыночный горизонт становится краткосрочным, когда долгосрочная перспектива становится очень неопределенной – то есть, когда происходит некоторое событие (часто политическое), которое делает текущее долгосрочное информационное множество ненадежным или воспринимаемым как бесполезное. Долгосрочные инвесторы или прекращают участвовать, или становятся краткосрочными инвесторами и начинают торговать также на основании технической информации.

Рыночная стабильность полагается на разнообразие инвестиционных горизонтов участников. Стабильный рынок – это тот рынок, на котором многие инвесторы с различными инвестиционными горизонтами торгуют одновременно. Рынок устойчив, потому что различные горизонты оценивают информационный поток по-разному и могут обеспечить ликвидность, если происходит крах или паническое изъятие вкладов в одном из многих инвестиционных горизонтов.

Каждый инвестиционный горизонт похож на поколение ответвлений дерева. Диаметр любой ветви – случайная функция с конечной дисперсией. Однако каждая ветвь, взятая в контексте всего дерева, является частью глобальной структуры с неизвестной дисперсией, потому что размерность каждого дерева различна. Это зависит от многих переменных, таких как его вид и размер.

Каждый инвестиционный горизонт также является случайной функцией с конечной дисперсией, зависящей от предыдущей дисперсии. Поскольку риск в каждом инвестиционном горизонте должен быть одинаковым, при внесении поправки на масштаб форма частотного распределения прибылей одинакова. Однако общая, глобальная статистическая структура рынка имеет бесконечную дисперсию; долгосрочная дисперсия не стремится к устойчивому значению.

Глобальная статистическая структура фрактальна, поскольку она имеет самоподобную структуру, и ее характеристический показатель a (который также представляет собой фрактальную размерность) является дробным, варьируясь в пределах от 0 до 2. Случайное блуждание, которое характеризуется нормальным распределением, самоподобно. Однако оно не фрактально; его фрактальная размерность – целое число: a = 2,0.

Форма этих фрактальных распределений в сравнении с нормальным распределением характеризуется высоким пиком и толстыми хвостами. Толстые хвосты имеют место, поскольку крупное событие происходит в результате процесса усиления. Тот же самый процесс вызывает бесконечную дисперсию. Хвосты никогда не стремятся к асимптоте y = 0,0, даже в бесконечности. Кроме того, когда происходят большие события, они имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми. Таким образом, фрактальные распределения имеют еще одну фрактальную характеристику: прерывистость. Тенденция к «катастрофам» была названа Мандельбротом эффектом Ноя, или, более формально, синдромом бесконечной дисперсии. На рынках толстые хвосты вызываются крахами и паническими бегствами, которые имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми, как предсказано моделью.

ДОЛГОВРЕМЕННАЯ ПАМЯТЬ

В идеальном мире традиционного анализа временных рядов все системы являются случайными блужданиями или могут быть преобразованы в случайные блуждания. В таком случае может быть применен «высший закон Неразумности», и могут быть найдены ответы. Вследствие такого наложения порядка на беспорядок естественные системы могут быть сведены к нескольким разрешимым уравнениям и одному основному частотному распределению – нормальному распределению.

Реальная жизнь не так проста. Дети Демиурга сложны и не могут быть классифицированы в соответствии с несколькими простыми характеристиками. Мы нашли, что на рынках капитала большинство рядов характеризуется эффектами долговременной памяти, или смещениями; сегодняшняя рыночная деятельность смещает будущую деятельность на очень долгое время. Подобный эффект Иосифа может вызвать серьезные проблемы для традиционного анализа временных рядов. Долговременная память вызывает появление трендов и циклов. Эти циклы могут быть ложными, поскольку они являются просто функцией эффекта долговременной памяти и случайного изменения в смещении рынка.

Посредством R/S-анализа было показано, что такой эффект долговременной памяти существует и является процессом черного шума. Цвет шума который вызывает эффект Иосифа, будет важен далее, когда мы будем обсуждать волатильность.

Долгое время существовало подозрение, что рынки имеют циклы, но убедительных доказательств не было обнаружено. Используемые методы искали правильные, периодические циклы – то есть циклы, созданные Благом. Демиург создал непериодические циклы – циклы, которые имеют средний, но не точный период. Используя R/S-анализ, мы смогли показать, что непериодические циклы вероятны для рынков. Такие непериодические циклы длятся в течение многих лет, так что существует вероятность того, что они являются последствием долгосрочной экономической информации. Мы нашли, что подобные непериодические циклы существуют для нелинейных динамических систем, или детерминированного хаоса.

Мы не нашли убедительного доказательства краткосрочных непериодических циклов. Большинство более коротких циклов, которые популярны среди техников, происходят, вероятно, вследствие эффекта Иосифа. Циклы не имеют средней длины, и смешение, которым они вызваны, может измениться в любое время – наиболее вероятно, резким и прерывистым образом.

Среди более интересных результатов можно выделить тот факт, что валюта не имеет долгосрочного цикла. Это подразумевает, что она представляет собой дробный шумовой процесс и в краткосрочной, и в долгосрочной перспективе. Акции и облигации, с другой стороны, являются дробным шумом в краткосрочной перспективе (отсюда самоподобные частотные распределения), но хаотичны в долгосрочной перспективе.

ВОЛАТИЛЬНОСГЬ

Было показано, что волатилыюсть антиперсистентна – это часто изменяющийся процесс розового шума. Однако она не является возвратной к среднему. Возвратность к среднему подразумевает, что волатилыюсть имеет устойчивое математическое ожидание, к которому, в конечном счете, стремится. Мы видели доказательства того, что это не так. Эти доказательства согласуются с теорией, поскольку производной процесса черного шума является розовый шум. Рыночные прибыли представляют собой черный шум, так что не удивительно, что волатильность (которая является вторым моментом курсов акций) является розовым шумом.

Процесс розового шума характеризуется функциями вероятности, которые не только имеют бесконечную дисперсию, но также и бесконечное среднее; то есть не существует математического ожидания, к которому можно возвратиться. В контексте того представления, что рыночные прибыли являются черным шумом, это имеет смысл. Если рыночные прибыли имеют бесконечную дисперсию, то среднее дисперсии курсов акций само должно быть бесконечным. Это все является частью одной большой структуры, и эта структура имеет глубокие последствия для опционных трейдеров и других индивидуумов, покупающих и продающих волатильность.

К БОЛЕЕ ПОЛНОЙ РЫНОЧНОЙ ТЕОРИИ

Большая масть обсуждений в этой книге была попыткой согласовать рациональный подход традиционного количественного управления с практическим опытом фактического взаимодействия с рынками. В течение некоторого времени мы не могли привести их в соответствие. Практикующие менеджеры по регулированию денежных операций, которые имеют количественный опыт, вынуждены прививать практический опыт к теории. Когда практика не соответствует теории, мы просто признавали, что в этой точке теория терпит неудачу. Наша точка зрения была подобна принятию физиками «сингулярностей», то есть событий, где теория терпит неудачу. Большой взрыв – одна из таких сингулярностей. В момент Большого взрыва физические законы терпят неудачу и не могут объяснить это событие. Мы были вынуждены думать о рыночных крахах, как о сингулярностях теории рынка капитала. Они представляют собой периоды, когда не действует никакое обобщение гипотезы эффективного рынка (ЕМН).

Теория хаоса и фрактальная статистика предлагают нам модель, которая может объяснить такие особенности. Даже если события, такие как аварии, оказываются непредсказуемыми, они не неожиданны. Они не становятся «выбросами» в теории. Наоборот, они – часть системы. Во многом они являются той ценой, которую мы платим за то, чтобы быть капиталистами. В моей предыдущей книге, я отметил, что для того чтобы остаться живыми, рынки должны быть далеки от равновесия. Я пытался сказать, что капиталистическая система (либо рынок капитала, либо вся экономика) должна динамически развиваться. Случайные события должны происходить, чтобы стимулировать новшества. Если бы мы точно знали, что должно произойти, мы бы перестали экспериментировать. Мы перестали бы учиться. Мы перестали бы вводить новшества. Поэтому у нас должны быть циклы, а циклы подразумевают, что всегда будет период подъема и период спада.

Для исследователей стал обычным поиск аномалий, или карманов неэффективности, где можно получить прибыль при небольшом риске. Было справедливо указано, что большой рынок будет устранять такие аномалии, как только они становятся общеизвестными. FMH не такая. Она не находит карман неэффективности, в котором немногие могут получить прибыль. Вместо этого, она говорит о том, что, поскольку информация на различных частотах обрабатывается по-разному, тренды и циклы будут на всех инвестиционных горизонтах. Некоторые будут стохастическими, некоторые будут нелинейными детерминированными. В обоих случаях точная структура трендов изменяется во времени. Она предсказуема, но она никогда не будет совершенно предсказуема и именно это сохраняет рынки устойчивыми. Теория хаоса и фрактальная статистика предлагают нам новый способ понимания того, как функционируют рынки и экономики. Нет никаких гарантий того, что благодаря им нам будет легче зарабатывать деньги. Тем не менее, мы будем более приспособлены к разработке стратегий и оценке рисков.

Гипотеза эффективного рынка (efficient market hypothesis, EMH)

Актуальность теории означает то, что она должна соответствовать современным тенденциям и должна быть потенциально востребована, потому что является попыткой решения научной проблемы, которая подвергается исследованию. Актуальность фрактальной теории не вызывает сомнений.

Смотреть

Всегда существует необходимость предложить трейдеру подход для анализа ситуации на рынке, который годится именно для него. Возможность применить метод фрактального анализа миру подарил .

История возникновения подхода. Происхождение понятия фрактал.

Бенуа Мандельброт считается одним из основателей фрактальной геометрии. Именно ему принадлежит право считаться основоположником фрактального анализа . Который набирает силу в последнее время. До сих пор он не получил широкого распространения.

Ученый занимался исследованиями экономики. Однажды он заметил и изучил естество колебаний цены на рынке. Выяснилось, что они не имеют произвольного характера. При этом они не могут быть описаны стандартными кривыми. Но они могут поддаваться другому математическому описанию, которое искажается во времени.

Сделав это открытие, Мандельброт занялся изучением статистики цен хлопка за столетний период. Тогда он сделал открытие, которое говорило о симметрии длительных и краткосрочных валютных колебаний. Это достижение сыграло важную роль при развитии фрактального анализа.

Современные наблюдения показывают, что фракталы можно найти, где угодно вокруг нас. Это и очертания гор и извилистая линия морского берега.

Иногда мы может наблюдать непрерывно меняющиеся фракталы, например, в движущихся облаках или в мерцающем пламени. В это время, другие сохраняют свою структуру, которую они приобрели в процессе эволюции. Это относится к деревьям или сосудистой системе.

Понятие фрактала было введено в 1975 году французским учёным Бенуа Мандельбротом, чтобы обозначить нерегулярные, но самоподобные структуры, которыми он занимался.

Его работы используют результаты исследования других ученых, которые изучали бликие теме вопросы в 1875 – 1925 года. Это Пуанкаре, Кантор, Жюли, Хаусдорф.

А в наши дни все результаты исследований были объединены воедино. В результате было дано определение фрактала, как структуры, которая состоит из частей. Эти части в некотором смысле подобны целому.

Термин фрактал образуется от причастия латинского языка fractus. Ему соответствует глагол frangere, который можно перевести, как разламывать, ломать. Это значит создавать фрагменты с неправильной формой.

Основы фрактального анализа или свойства фракталов на рынке.

Фрактальные свойства помогают нам различать и предсказывать особенности окружающей действительности. До появления теории фракталов эти особенности оценивались приблизительно или на глаз.

Сегодня метода фрактального анализа помогает медикам при анализе фрактальных размерностей сложных сигналов, например энцефалограмм или шумов сердца помогают диагностировать тяжёлые заболевания на начальной стадии. Это способствует излечению больного до того, как болезнь станет неизлечимой. Также аналитики сравнивая поведение цен, может предвидеть будущее развитие, не допустив грубой ошибки прогнозирования.

Нерегулярность фракталов.

Первое свойство фракталов – это нерегулярность. Если фрактал описывается функцией, то нерегулярность описывает её свойство негладкости ни в какой точке.

Мы можем легко подтвердить наличие этого свойство фракталов на рынке, потому что, колебания цен, порой, бывают так и подвержены такому резкому изменению, что это приводит большинство трейдеров к замешательству. Наша же задача разобраться в этом хаосе, приведя его к порядку.

Самоподобие фракталов.

Вторым свойством считают самоподобность фракталов, как объёктов. Говорят, что модель фракталов рекурсивна. Каждая её часть повторяет по развитию всю модель в целом и воспроизводит её в разных масштабах без особых изменений. Но изменения всё же присутствуют, и это значит, что мы может по-другому воспринять сам объект.

Самоподобие показывает, что объект не характеризуется масштабом. Потому, что если бы он был, то мы бы сразу отличили увеличенную часть фрагмента от исходника. Такие объёкты могут иметь бесконечное количество масштабов на любой вкус.

Фрактальный анализ и теория эффективности рынка.

Если мы используем фрактальный анализ для работы на рынке, то значительно облегчаем себе работу. Фрактальный анализ, будучи достаточно сложным предметом, тем не менее, может помочь прогнозировать рост или падение цен, а, значит, ценообразование и движение рынка не будет для вас абсолютно непредсказуемым.

Но для освоения фрактального анализа необходимо усомниться в теории эффективности рынка.

Эта теория утверждает, что рыночная цена верно и практически без задержки отражает всю известную информацию и все ожидания рыночных участников.

Эта теория говорит о том, что рынок обыграть невозможно. Потому, что новая информация поступает случайно, а реакция рынка мгновенна. Поэтому, цена на бумаги в любой момент времени совершенно справедлива. А значит, бумаги не возможно ни переоценить, ни недооценить. Поэтому извлечь прибыль не возможно.

Из теории следует, что никакой анализ, фундаментальный или технический, не могут помочь увеличить доходность операции, так как цена уже вобрала в себя весь поток информации и не может отреагировать по-другому. Также, теория считает, что прошлые данные не влияют на будущие.

Это значит, что исследовать исторические данные техническим или бессмысленно.

Однако, теория не уточняет, что ожидания множества инвесторов основаны на прошлых ценах. Не говорится там, о том, что они пользовались и информацией об успехах компании для принятия решения об инвестициях. Раз цены определялись ожиданиями, то очевидно, что прошлые цены влияют на будущие.

В этом теория фракталов отличается от теории эффективности рынка. Теория фракталов позволяет уловить связь в приемлемых графических структурах.

Теорию фракталов вы можете проверить пользуясь услугами .