Déterminez quelle ligne définit l’équation en ligne. Concept d'équation de ligne

définit une courbe sur le plan. Un groupe de termes est appelé forme quadratique, – forme linéaire. Si une forme quadratique ne contient que des carrés de variables, alors cette forme est dite canonique, et les vecteurs d'une base orthonormée dans laquelle la forme quadratique a une forme canonique sont appelés axes principaux de la forme quadratique.
Matrice est appelée une matrice de forme quadratique. Ici un 1 2 = un 2 1. Pour réduire la matrice B sous forme diagonale, il faut se baser sur les vecteurs propres de cette matrice, puis , où λ 1 et λ 2 sont les valeurs propres de la matrice B.
Sur la base des vecteurs propres de la matrice B, la forme quadratique aura la forme canonique : λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Cette opération correspond à la rotation des axes de coordonnées. Ensuite, l’origine des coordonnées est décalée, éliminant ainsi la forme linéaire.
La forme canonique de la courbe du second ordre : λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, et :
a) si λ 1 >0 ; λ 2 >0 est une ellipse, en particulier lorsque λ 1 = λ 2 c'est un cercle ;
b) si λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) nous avons une hyperbole ;
c) si λ 1 =0 ou λ 2 =0, alors la courbe est une parabole et après rotation des axes de coordonnées elle a la forme λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (ici λ 2 =0). En complément d'un carré complet, nous avons : λ 1 x 2 2 =b 1 y 2.

Exemple. L'équation de la courbe 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 est donnée dans le système de coordonnées (0,i,j), où i =(1,0) et j =(0,1) .
1. Déterminez le type de courbe.
2. Amenez l'équation sous forme canonique et construisez une courbe dans le système de coordonnées d'origine.
3. Trouvez les transformations de coordonnées correspondantes.

Solution. On ramène la forme quadratique B=3x 2 +10xy+3y 2 aux axes principaux, c'est-à-dire à la forme canonique. La matrice de cette forme quadratique est . On retrouve les valeurs propres et vecteurs propres de cette matrice :

Équation caractéristique :
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Type de forme quadratique : .
L'équation originale définit une hyperbole.
Notez que la forme de la forme quadratique est ambiguë. Vous pouvez écrire 8x 1 2 -2y 1 2 , mais le type de courbe reste le même : une hyperbole.
On retrouve les axes principaux de la forme quadratique, c'est-à-dire les vecteurs propres de la matrice B. .
Vecteur propre correspondant au nombre λ=-2 à x 1 =1 : x 1 =(1,-1).
Comme vecteur propre unitaire, nous prenons le vecteur , où est la longueur du vecteur x 1 .
Les coordonnées du deuxième vecteur propre correspondant à la deuxième valeur propre λ=8 sont trouvées à partir du système
.
1 ,j1).
Selon les formules (5) du paragraphe 4.3.3. Passons à une nouvelle base :
ou

; . (*)

On rentre les expressions x et y dans l'équation d'origine et, après transformations, on obtient : .
Sélection de carrés complets : .
Nous effectuons une translation parallèle des axes de coordonnées vers une nouvelle origine : , .
Si l'on introduit ces relations dans (*) et résout ces égalités pour x 2 et y 2, on obtient : , . Dans le système de coordonnées (0*, i 1, j 1) cette équation a la forme : .
Pour construire une courbe, on en construit une nouvelle dans l'ancien système de coordonnées : l'axe x 2 =0 est spécifié dans l'ancien système de coordonnées par l'équation x-y-3=0, et l'axe y 2 =0 par l'équation x+ y-1=0. L'origine du nouveau système de coordonnées 0 * (2,-1) est le point d'intersection de ces lignes.
Pour simplifier la perception, nous diviserons le processus de construction d'un graphique en 2 étapes :
1. Transition vers un système de coordonnées avec des axes x 2 =0, y 2 =0, spécifiés dans l'ancien système de coordonnées par les équations x-y-3=0 et x+y-1=0, respectivement.

2. Construction d'un graphique de la fonction dans le système de coordonnées résultant.

La version finale du graphique ressemble à ceci (voir. Solution:Télécharger la solution

Exercice. Déterminez que chacune des équations suivantes définit une ellipse et trouvez les coordonnées de son centre C, son demi-axe, son excentricité et ses équations directrice. Dessinez une ellipse sur le dessin, indiquant les axes de symétrie, les foyers et les directrices.
Solution.

§ 9. Le concept de l'équation d'une droite.

Définir une droite à l'aide d'une équation

Égalité de la forme F (x, y) = 0 appelé une équation à deux variables X, ouais, si ce n'est pas vrai pour toutes les paires de nombres x, y. Ils disent deux chiffres X = X 0 , y = y 0, satisfaire une équation de la forme F(x, y)=0, si en remplaçant ces nombres au lieu de variables X Et à dans l'équation, son côté gauche disparaît.

L'équation d'une ligne donnée (dans un système de coordonnées désigné) est une équation à deux variables satisfaite par les coordonnées de chaque point situé sur cette ligne, et non satisfaite par les coordonnées de chaque point qui ne s'y trouve pas.

Dans ce qui suit, au lieu de l'expression « on donne l'équation de la droite F(x, y) = 0" on dira souvent en bref : étant donné une ligne F (x, y) = 0.

Si les équations de deux droites sont données F(x, y) = 0 Et Ф(x, y) = Q, alors la solution commune du système

Donne tous leurs points d'intersection. Plus précisément, chaque paire de nombres qui est une solution conjointe de ce système détermine l'un des points d'intersection.

1)X 2 +o 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +o 2 -16X+4à+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +o 2 -2X+4à -3 = 0, X 2 + oui 2 = 25;

4) X 2 +o 2 -8X+10у+40 = 0, X 2 + oui 2 = 4.

163. Les points sont donnés dans le système de coordonnées polaires

Déterminez lesquels de ces points se trouvent sur la droite définie par l'équation en coordonnées polaires  = 2 cos , et lesquels ne s'y trouvent pas. Quelle droite est déterminée par cette équation ? (Dessinez-le sur le dessin :)

164. Sur la droite définie par l'équation  =
, trouver les points dont les angles polaires sont égaux aux nombres suivants : a) ,b) - ,c) 0,d) . Quelle droite est définie par cette équation ?

(Construisez-le sur le dessin.)

165. Sur la droite définie par l'équation  =
, trouvez les points dont les rayons polaires sont égaux aux nombres suivants : a) 1, b) 2, c)
. Quelle droite est définie par cette équation ? (Construisez-le sur le dessin.)

166. Établissez quelles lignes sont déterminées en coordonnées polaires par les équations suivantes (construisez-les sur le dessin) :

1)  = 5 ; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2 ; 5)  péché  = 1 ;

6)  = 6 cos  ; 7)  = 10 péché  ; 8) péché  =

Considérons la fonction donnée par la formule (équation)

Cette fonction, et donc l'équation (11), correspond à une droite bien définie sur le plan, qui est le graphique de cette fonction (voir Fig. 20). De la définition du graphique d'une fonction, il s'ensuit que cette ligne est constituée de ceux et seulement de ces points du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation (11).

Laisse-le maintenant

La droite, qui est le graphique de cette fonction, est constituée de ceux et seulement de ces points du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation (12). Cela signifie que si un point se trouve sur la ligne spécifiée, alors ses coordonnées satisfont à l'équation (12). Si le point ne se trouve pas sur cette ligne, alors ses coordonnées ne satisfont pas à l'équation (12).

L'équation (12) est résolue par rapport à y. Considérons une équation contenant x et y et non résolue pour y, comme l'équation

Montrons que cette équation dans le plan correspond aussi à une droite, à savoir un cercle de centre à l'origine et de rayon égal à 2. Réécrivons l'équation sous la forme

Son côté gauche est le carré de la distance du point à l'origine (voir § 2, paragraphe 2, formule 3). De l'égalité (14) il résulte que le carré de cette distance est égal à 4.

Cela signifie que tout point dont les coordonnées satisfont à l'équation (14), et donc à l'équation (13), est situé à une distance de 2 de l'origine.

L'emplacement géométrique de ces points est un cercle de centre à l'origine et de rayon 2. Ce cercle sera la droite correspondant à l'équation (13). Les coordonnées de n’importe lequel de ses points satisfont évidemment à l’équation (13). Si le point ne se trouve pas sur le cercle que nous avons trouvé, alors le carré de sa distance à l'origine sera soit supérieur, soit inférieur à 4, ce qui signifie que les coordonnées d'un tel point ne satisfont pas à l'équation (13).

Donnons maintenant, dans le cas général, l'équation

sur le côté gauche de laquelle se trouve une expression contenant x et y.

Définition. La ligne définie par l'équation (15) est le lieu géométrique des points du plan dont les coordonnées satisfont à cette équation.

Cela signifie que si la ligne L est déterminée par une équation, alors les coordonnées de tout point L satisfont à cette équation, mais les coordonnées de tout point du plan situé à l'extérieur de L ne satisfont pas à l'équation (15).

L'équation (15) est appelée équation linéaire

Commentaire. Il ne faut pas penser qu’une équation détermine une droite. Par exemple, l’équation ne définit aucune droite. En fait, pour toute valeur réelle de et y, le côté gauche de cette équation est positif et le côté droit est égal à zéro, et par conséquent, cette équation ne peut être satisfaite par les coordonnées d'aucun point du plan.

Une droite peut être définie sur un plan non seulement par une équation contenant des coordonnées cartésiennes, mais aussi par une équation en coordonnées polaires. Une droite définie par une équation en coordonnées polaires est le lieu géométrique des points du plan dont les coordonnées polaires satisfont à cette équation.

Exemple 1. Construisez une spirale d'Archimède en .

Solution. Faisons un tableau pour quelques valeurs de l'angle polaire et les valeurs correspondantes du rayon polaire.

Nous construisons un point dans le système de coordonnées polaires, qui coïncide évidemment avec le pôle ; puis, en traçant l'axe selon un angle par rapport à l'axe polaire, nous construisons un point avec une coordonnée positive sur cet axe, après quoi nous construisons de la même manière des points avec des valeurs positives de l'angle polaire et du rayon polaire (les axes de ces points sont non indiqué sur la Fig. 30).

En reliant les points, nous obtenons une branche de la courbe, indiquée sur la Fig. 30 avec une ligne grasse. Lors du passage de 0 à cette branche de la courbe comporte un nombre infini de tours.

Une égalité de la forme F(x, y) = 0 est appelée une équation à deux variables x, y si elle n'est pas vraie pour toutes les paires de nombres x, y. Ils disent que deux nombres x = x 0, y = y 0 satisfont une équation de la forme F(x, y) = 0 si, en substituant ces nombres au lieu des variables x et y dans l'équation, son côté gauche devient nul .

L'équation d'une ligne donnée (dans un système de coordonnées désigné) est une équation à deux variables satisfaite par les coordonnées de chaque point situé sur cette ligne et non satisfaite par les coordonnées de chaque point qui ne s'y trouve pas.

Dans ce qui suit, au lieu de l'expression « étant donné l'équation de la droite F(x, y) = 0 », on dira souvent plus brièvement : étant donné la droite F(x, y) = 0.

Si les équations de deux droites sont données : F(x, y) = 0 et Ф(x, y) = 0, alors la solution commune du système

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

donne tous leurs points d'intersection. Plus précisément, chaque paire de nombres solution conjointe de ce système détermine l'un des points d'intersection,

157. Points donnés *) M 1 (2 ; -2), M 2 (2 ; 2), M 3 (2 ; - 1), M 4 (3 ; -3), M 5 (5 ; -5), M6 (3 ; -2). Déterminez lesquels des points donnés se trouvent sur la droite définie par l'équation x + y = 0 et lesquels ne s'y trouvent pas. Quelle droite est définie par cette équation ? (Dessinez-le sur le dessin.)

158. Sur la droite définie par l'équation x 2 + y 2 = 25, trouvez les points dont les abscisses sont égales aux nombres suivants : 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7 ; sur la même ligne trouvez les points dont les ordonnées sont égales aux nombres suivants : 5) 3, 6) -5, 7) -8. Quelle droite est définie par cette équation ? (Dessinez-le sur le dessin.)

159. Déterminez quelles droites sont déterminées par les équations suivantes (construisez-les sur le dessin) : 1)x - y = 0 ; 2) x + y = 0 ; 3) x-2 = 0 ; 4)x + 3 = 0 ; 5) oui - 5 = 0 ; 6) oui + 2 = 0 ; 7) x = 0 ; 8) oui = 0 ; 9) x 2 - xy = 0 ; 10) xy + y 2 = 0 ; 11) x 2 - y 2 = 0 ; 12) xy = 0 ; 13) oui 2 - 9 = 0 ; 14) x 2 - 8x + 15 = 0 ; 15) y 2 + par + 4 = 0 ; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0 ; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0 ; 20) x + |y| = 0 ; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16 ; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16 ; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9 ; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4 ; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1 ; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0 ; 29) x 2 + 2y 2 = 0 ; 30) 2x 2 + 3 ans 2 + 5 = 0 ; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Lignes données : l)x + y = 0 ; 2)x - y = 0 ; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0 ; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0 ; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Déterminez lesquels d'entre eux passent par l'origine.

161. Lignes données : 1) x 2 + y 2 = 49 ; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25 ; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25 ; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9 ; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0 ; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0 ; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Trouver leurs points d'intersection : a) avec l'axe Ox ; b) avec l'axe Oy.

162. Trouvez les points d'intersection de deux droites :

1) x 2 + y 2 - 8 ; x-y =0 ;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0 ; x + y = 0 ;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0 ; x 2 + y 2 = 25 ;

4) x 2 + y 2 - 8 ans + 10 ans + 40 = 0 ; x 2 + y 2 = 4.

163. Dans le système de coordonnées polaires, les points M 1 (l ; π/3), M 2 (2 ; 0), M 3 (2 ; π/4), M 4 (√3 ; π/6) et M 5 ( 1 ; 2/3π). Déterminez lesquels de ces points se trouvent sur la ligne définie en coordonnées polaires par l'équation p = 2cosΘ, et lesquels ne s'y trouvent pas. Quelle droite est déterminée par cette équation ? (Dessinez-le sur le dessin.)

164. Sur la droite définie par l'équation p = 3/cosΘ, trouvez les points dont les angles polaires sont égaux aux nombres suivants : a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Quelle droite est définie par cette équation ? (Construisez-le sur le dessin.)

165. Sur la droite définie par l'équation p = 1/sinΘ, trouvez les points dont les rayons polaires sont égaux aux nombres suivants : a) 1 6) 2, c) √2. Quelle droite est définie par cette équation ? (Construisez-le sur le dessin.)

166. Déterminez quelles lignes sont déterminées en coordonnées polaires par les équations suivantes (construisez-les sur le dessin) : 1) p = 5 ; 2) Θ = π/2 ; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2 ; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ ; 8) sinΘ = 1/2 ; 9) péché = 1/2.

167. Construisez les spirales d'Archimède suivantes sur le dessin : 1) p = 20 ; 2) p = 50 ; 3) p = Θ/π ; 4) p = -Θ/π.

168. Construisez les spirales hyperboliques suivantes sur le dessin : 1) p = 1/Θ ; 2) p = 5/Θ ; 3) p = π/Θ ; 4) р= - π/Θ

169. Construisez les spirales logarithmiques suivantes sur le dessin : 1) p = 2 Θ ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Déterminer les longueurs des segments dans lesquels la spirale d'Archimède p = 3Θ est coupée par une poutre sortant du pôle et inclinée par rapport à l'axe polaire d'un angle Θ = π/6. Faites un dessin.

171. Sur la spirale d'Archimède p = 5/πΘ, on prend le point C dont le rayon polaire est de 47. Déterminez en combien de parties cette spirale coupe le rayon polaire du point C. Faites un dessin.

172. Sur la spirale hyperbolique P = 6/Θ, trouvez un point P dont le rayon polaire est 12. Faites un dessin.

173. Sur une spirale logarithmique p = 3 Θ, trouvez un point P dont le rayon polaire est 81. Faites un dessin.

Considérons une relation de la forme F(x, y)=0, connexion des variables X Et à. Nous appellerons égalité (1) équation à deux variables x, y, si cette égalité n'est pas vraie pour toutes les paires de nombres X Et à. Exemples d'équations : 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

péché x + péché y – 1 = 0.

Si (1) est vrai pour toutes les paires de nombres x et y, alors on l'appelle identité. Exemples d'identités : (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Nous appellerons l'équation (1) équation d'un ensemble de points (x; y), si cette équation est satisfaite par les coordonnées X Et à n'importe quel point de l'ensemble et ne sont satisfaits par les coordonnées d'aucun point n'appartenant pas à cet ensemble.

Un concept important en géométrie analytique est le concept d’équation d’une droite. Soit un système de coordonnées rectangulaires et une certaine ligne sur le plan α.

Définition. L'équation (1) est appelée l'équation linéaire α (dans le système de coordonnées créé), si cette équation est satisfaite par les coordonnées X Et à n'importe quel point situé sur la ligne α , et ne satisfont pas les coordonnées d'un point ne se trouvant pas sur cette ligne.

Si (1) est l'équation de la droite α, alors nous dirons que l'équation (1) définit (ensembles) doubler α.

Doubler α peut être déterminé non seulement par une équation de la forme (1), mais aussi par une équation de la forme

F (P, φ) = 0 contenant des coordonnées polaires.

• équation d'une droite avec un coefficient angulaire ;

Soit une ligne droite, non perpendiculaire, à l'axe. OH. Appelons angle d'inclinaison donné une ligne droite à l'axe OH coin α , vers lequel l'axe doit être tourné OH de sorte que la direction positive coïncide avec l’une des directions de la droite. Tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe OH appelé pente cette ligne et est désignée par la lettre À.

	K=tg α
		(1)

Dérivons l'équation de cette droite si nous connaissons sa À et la valeur dans le segment OB, qu'il coupe sur l'axe UO.

(2)

y=kx+b

Notons par M"point d'avion (x; oui). Si on dessine droit NE Et N.M., parallèlement aux axes, alors rBNM – rectangulaire. T. MC CBM <=>, lorsque les valeurs N.M. Et NE satisfaire à la condition : . Mais NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> compte tenu de (1), on obtient que le point M(x;y)C sur cette ligne<=>, lorsque ses coordonnées satisfont l'équation : =>

L'équation (2) est appelée équation d'une droite avec un coefficient angulaire. Si K=0, alors la droite est parallèle à l'axe OH et son équation est y = b.

• équation d'une droite passant par deux points ;

(4)

Donnons deux points M 1 (x 1; y 1) Et M 2 (x 2; y 2). Prendre au (3) point M(x;y) derrière M 2 (x 2; y 2), on a oui 2 -oui 1 =k(x 2 - x 1). Définir kà partir de la dernière égalité et en la substituant dans l'équation (3), nous obtenons l'équation souhaitée de la droite : . C'est l'équation si oui 1 ≠ oui 2, peut s'écrire :

Si oui 1 = oui 2, alors l'équation de la droite souhaitée a la forme y = y 1. Dans ce cas, la droite est parallèle à l’axe OH. Si x1 = x2, puis la droite passant par les points M1 Et M2, parallèle à l'axe UO, son équation a la forme x = x1.

• équation d'une droite passant par un point donné avec une pente donnée ;

(3)

Аx + Вy + С = 0

Théorème. Dans un système de coordonnées rectangulaires Ohoo toute droite est donnée par une équation du premier degré :

et, inversement, l'équation (5) pour les coefficients arbitraires A, B, C (UN Et B ≠ 0 simultanément) définit une certaine ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaires Ooh.

Preuve.

Tout d’abord, prouvons la première affirmation. Si la ligne n'est pas perpendiculaire Oh, alors il est déterminé par l'équation du premier degré : y = kx + b, c'est à dire. équation de la forme (5), où

A = k, B = -1 Et C = b. Si la ligne est perpendiculaire Oh, alors tous ses points ont la même abscisse, égale à la valeur α segment coupé par une droite sur l'axe Oh.

L'équation de cette droite a la forme x = α, ceux. est aussi une équation du premier degré de la forme (5), où A = 1, B = 0, C = -α. Cela prouve la première affirmation.

Démontrons l'énoncé inverse. Soit l'équation (5) et au moins un des coefficients UN Et B ≠ 0.

Si B ≠ 0, alors (5) peut s'écrire sous la forme . Plat , on obtient l'équation y = kx + b, c'est à dire. une équation de la forme (2) qui définit une ligne droite.

Si B = 0, Que UNE ≠ 0 et (5) prend la forme . Désignant par α, on a

x = α, c'est à dire. équation d'une droite perpendiculaire Oh.

Les droites définies dans un système de coordonnées rectangulaires par une équation du premier degré sont appelées lignes de première commande.

Équation de la forme Hache + Wu + C = 0 est incomplet, c'est-à-dire Certains coefficients sont égaux à zéro.

1) C = 0 ; Ah + Wu = 0 et définit une ligne droite passant par l'origine.

2) B = 0 (UNE ≠ 0); l'équation Hache + C = 0 OU.

3) UNE = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 et définit une droite parallèle Oh.

L'équation (6) est appelée l'équation d'une droite « en segments ». Nombres UN Et b sont les valeurs des segments que la droite coupe sur les axes de coordonnées. Cette forme d’équation convient à la construction géométrique d’une droite.

• équation normale d'une droite ;

Аx + Вy + С = 0 est l'équation générale d'une certaine droite, et (5) X parce que α + y péché α – p = 0(7)

son équation normale.

Puisque les équations (5) et (7) définissent la même droite, alors ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 Et

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) les coefficients de ces équations sont proportionnels. Cela signifie qu'en multipliant tous les termes de l'équation (5) par un certain facteur M, nous obtenons l'équation MA x + MV y + MS = 0, coïncidant avec l'équation (7), c'est-à-dire

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Pour trouver le facteur M, on met au carré les deux premières de ces égalités et on ajoute :

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)