Que signifie trouver la plus grande valeur de fonction. Les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur un segment

Soit la fonction $ z = f (x, y) $ définie et continue dans un domaine fermé borné $ D $. Supposons que la fonction donnée dans cette région ait des dérivées partielles finies du premier ordre (sauf, peut-être, un nombre fini de points). Pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction de deux variables dans une zone fermée donnée, trois étapes d'un algorithme simple sont nécessaires.

Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction $ z = f (x, y) $ dans le domaine fermé $ D $.

1. Trouvez les points critiques de la fonction $ z = f (x, y) $ qui appartiennent au domaine $ D $. Calculer les valeurs de la fonction aux points critiques.
2. Étudiez le comportement de la fonction $ z = f (x, y) $ sur la frontière du domaine $ D $, en trouvant les points de valeurs maximales et minimales possibles. Calculer les valeurs de la fonction aux points obtenus.
3. Parmi les valeurs de la fonction obtenues dans les deux paragraphes précédents, choisissez la plus grande et la plus petite.

Quels sont les points de basculement ? afficher \ masquer

Sous points critiques désigne les points où les deux dérivées partielles du premier ordre sont nulles (i.e. $ \ frac (\ partial z) (\ partial x) = 0 $ et $ \ frac (\ partial z) (\ partial y) = 0 $) ou au moins une dérivée partielle n'existe pas.

Souvent, les points auxquels les dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro sont appelés points fixes... Ainsi, les points stationnaires sont un sous-ensemble de points critiques.

Exemple 1

Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $ dans une région fermée délimitée par les lignes $ x = 3 $, $ y = 0 $ et $ y = x + 1$.

Nous suivrons ce qui précède, mais nous traiterons d'abord du dessin de la zone donnée, que nous désignerons par la lettre $ D $. On nous donne les équations de trois droites, qui limitent cette zone. La droite $ x = 3 $ passe par le point $ (3; 0) $ parallèle à l'axe des ordonnées (axe Oy). La droite $ y = 0 $ est l'équation de l'axe des abscisses (l'axe Ox). Eh bien, pour construire la droite $ y = x + 1 $, nous trouvons deux points par lesquels nous traçons cette droite. Vous pouvez, bien sûr, substituer quelques valeurs arbitraires au lieu de $ x $. Par exemple, en substituant $ x = 10 $, nous obtenons : $ y = x + 1 = 10 + 1 = 11 $. Nous avons trouvé un point $ (10; 11) $ situé sur la droite $ y = x + 1 $. Cependant, il est préférable de trouver les points auxquels la droite $ y = x + 1 $ coupe les droites $ x = 3 $ et $ y = 0 $. Pourquoi est-ce mieux ? Parce que nous ferons d'une pierre deux coups : nous obtiendrons deux points pour construire la droite $ y = x + 1 $ et découvrirons en même temps en quels points cette droite coupe d'autres droites qui délimitent la donnée Région. La droite $ y = x + 1 $ coupe la droite $ x = 3 $ au point $ (3; 4) $, et la droite $ y = 0 $ - au point $ (- 1; 0) $. Afin de ne pas encombrer le cours de la solution d'explications auxiliaires, je poserai la question de l'obtention de ces deux points dans une note.

Comment les points $ (3 ; 4) $ et $ (- 1 ; 0) $ ont-ils été obtenus ? afficher \ masquer

Commençons par le point d'intersection des droites $ y = x + 1 $ et $ x = 3 $. Les coordonnées du point souhaité appartiennent à la fois à la première et à la deuxième ligne droite. Par conséquent, pour trouver les coordonnées inconnues, vous devez résoudre le système d'équations :

$$ \ left \ (\ begin (aligned) & y = x + 1; \\ & x = 3. \ end (aligned) \ right. $$

La solution d'un tel système est triviale : en substituant $ x = 3 $ dans la première équation, nous aurons : $ y = 3 + 1 = 4 $. Le point $ (3; 4) $ est le point d'intersection souhaité des droites $ y = x + 1 $ et $ x = 3 $.

Trouvons maintenant le point d'intersection des droites $ y = x + 1 $ et $ y = 0 $. Composons à nouveau et résolvons le système d'équations :

$$ \ left \ (\ begin (aligned) & y = x + 1; \\ & y = 0. \ end (aligned) \ right. $$

En substituant $ y = 0 $ dans la première équation, on obtient : $ 0 = x + 1 $, $ x = -1 $. Le point $ (- 1; 0) $ est le point d'intersection souhaité des droites $ y = x + 1 $ et $ y = 0 $ (axe des abscisses).

Tout est prêt pour la construction d'un dessin, qui ressemblera à ceci :

La question d'une note semble évidente, car tout se voit sur la photo. Cependant, il convient de rappeler qu'un dessin ne peut pas servir de preuve. La figure est juste une illustration pour plus de clarté.

Notre zone a été spécifiée en utilisant les équations des lignes qui la délimitent. Évidemment, ces lignes définissent un triangle, non ? Ou n'est-ce pas tout à fait évident ? Ou peut-être qu'on nous donne une zone différente, délimitée par les mêmes lignes droites :

Bien sûr, la condition dit que la région est fermée, donc le chiffre affiché est incorrect. Mais pour éviter de telles ambiguïtés, il vaut mieux définir des régions avec des inégalités. On s'intéresse à la partie du plan située sous la droite $ y = x + 1 $? Ok, donc $ y x + 1 $. Notre zone doit être située au-dessus de la ligne $ y = 0 $? Super, donc $ y 0 $. Soit dit en passant, les deux dernières inégalités peuvent être facilement combinées en une seule : $ 0 y ≤ x + 1 $.

$$ \ left \ (\ begin (aligned) & 0 y ≤ x + 1; \\ & x ≤ 3. \ end (aligned) \ right. $$

Ces inégalités définissent le domaine $ D $, et elles le définissent sans ambiguïté, sans permettre aucune ambiguïté. Mais en quoi cela nous aide-t-il dans la question indiquée au début de la note ? Cela aidera aussi :) Nous devons vérifier si le point $ M_1 (1; 1) $ appartient à la zone $ D $. Substituer $ x = 1 $ et $ y = 1 $ dans le système d'inégalités qui définissent ce domaine. Si les deux inégalités sont satisfaites, alors le point se situe à l'intérieur de la région. Si au moins une des inégalités échoue, alors le point de la région n'appartient pas. Donc:

$$ \ left \ (\ begin (aligned) & 0 1 ≤ 1 + 1; \\ & 1 ≤ 3. \ end (aligned) \ right. \; \; \ left \ (\ begin (aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2; \\ & 1 ≤ 3. \ fin (aligné) \ à droite. $$

Les deux inégalités sont vraies. Le point $ M_1 (1; 1) $ appartient à la zone $ D $.

Maintenant, le tour est venu d'étudier le comportement de la fonction à la frontière de la région, c'est-à-dire aller à. Commençons par la ligne $ y = 0 $.

La droite $ y = 0 $ (axe des abscisses) limite l'aire $ D $ sous la condition $ -1 x ≤ 3 $. Substituez $ y = 0 $ dans la fonction donnée $ z (x, y) = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. La fonction d'une variable $ x $ obtenue à la suite d'une substitution est notée $ f_1 (x) $ :

$$ f_1 (x) = z (x, 0) = x ^ 2 + 2x \ cdot 0-0 ^ 2-4x = x ^ 2-4x. $$

Maintenant pour la fonction $ f_1 (x) $ vous devez trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites sur le segment $ -1 ≤ x ≤ 3 $. Trouvons la dérivée de cette fonction et égalisons-la à zéro :

$$ f_ (1) ^ ("") (x) = 2x-4; \\ 2x-4 = 0; \; x = 2. $$

La valeur $ x = 2 $ appartient au segment $ -1 x ≤ 3 $, ajoutez donc $ M_2 (2; 0) $ à la liste des points. De plus, on calcule les valeurs de la fonction $ z $ aux extrémités du segment $ -1 ≤ x ≤ 3 $, c'est-à-dire aux points $ M_3 (-1; 0) $ et $ M_4 (3; 0) $. Soit dit en passant, si le point $ M_2 $ n'appartenait pas au segment considéré, alors, bien sûr, il n'y aurait pas besoin de calculer la valeur de la fonction $ z $ qu'il contient.

Calculons donc les valeurs de la fonction $ z $ aux points $ M_2 $, $ M_3 $, $ M_4 $. Vous pouvez, bien sûr, substituer les coordonnées de ces points dans l'expression originale $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. Par exemple, pour le point $ M_2 $ on obtient :

$$ z_2 = z (M_2) = 2 ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot 0-0 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4. $$

Cependant, les calculs peuvent être un peu simplifiés. Pour ce faire, il convient de rappeler que sur le segment $ M_3M_4 $ nous avons $ z (x, y) = f_1 (x) $. Je vais l'écrire en détail :

\ begin (aligned) & z_2 = z (M_2) = z (2,0) = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4; \\ & z_3 = z (M_3) = z (- 1,0) = f_1 (-1) = (- 1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \\ & z_4 = z (M_4) = z (3,0) = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. \ fin (aligné)

Bien sûr, il n'y a généralement pas besoin de telles notes détaillées, et à l'avenir, nous écrirons tous les calculs de manière plus courte :

$$ z_2 = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4; \; z_3 = f_1 (-1) = (- 1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5;\; z_4 = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. $$

Passons maintenant à la ligne $ x = 3 $. Cette ligne limite la région $ D $ sous la condition $ 0 y ≤ 4 $. Remplacez $ x = 3 $ dans la fonction donnée $ z $. À la suite de cette substitution, nous obtenons la fonction $ f_2 (y) $ :

$$ f_2 (y) = z (3, y) = 3 ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot y-y ^ 2-4 \ cdot 3 = -y ^ 2 + 6y-3. $$

Pour la fonction $ f_2 (y) $, vous devez trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites sur le segment $ 0 y ≤ 4 $. Trouvons la dérivée de cette fonction et égalisons-la à zéro :

$$ f_ (2) ^ ("") (y) = - 2y + 6; \\ -2y + 6 = 0; \; y = 3. $$

La valeur $ y = 3 $ appartient au segment $ 0 ≤ y ≤ 4 $, ajoutez donc $ M_5 (3; 3) $ aux points trouvés précédemment. De plus, il faut calculer la valeur de la fonction $ z $ aux points aux extrémités du segment $ 0 ≤ y 4 $, c'est-à-dire aux points $ M_4 (3; 0) $ et $ M_6 (3; 4) $. Au point $ M_4 (3; 0) $, nous avons déjà calculé la valeur de $ z $. Calculons la valeur de la fonction $ z $ aux points $ M_5 $ et $ M_6 $. Je vous rappelle que sur le segment $ M_4M_6 $ on a $ z (x, y) = f_2 (y) $, donc :

\ begin (aligned) & z_5 = f_2 (3) = - 3 ^ 2 + 6 \ cdot 3-3 = 6; & z_6 = f_2 (4) = - 4 ^ 2 + 6 \ cdot 4-3 = 5. \ fin (aligné)

Et enfin, considérons la dernière frontière de la région $ D $, c'est-à-dire ligne droite $ y = x + 1 $. Cette ligne limite l'aire $ D $ sous la condition $ -1 ≤ x ≤ 3 $. En substituant $ y = x + 1 $ dans la fonction $ z $, nous aurons :

$$ f_3 (x) = z (x, x + 1) = x ^ 2 + 2x \ cdot (x + 1) - (x + 1) ^ 2-4x = 2x ^ 2-4x-1. $$

Encore une fois, nous avons une fonction d'une variable $ x $. Et encore une fois, vous devez trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de cette fonction sur le segment $ -1 x ≤ 3 $. Trouvez la dérivée de la fonction $ f_ (3) (x) $ et égalisez-la à zéro :

$$ f_ (3) ^ ("") (x) = 4x-4; \\ 4x-4 = 0; \; x = 1. $$

La valeur $ x = 1 $ appartient au segment $ -1 ≤ x ≤ 3 $. Si $ x = 1 $, alors $ y = x + 1 = 2 $. Ajoutons $ M_7 (1; 2) $ à la liste des points et cherchons à quoi la valeur de la fonction $ z $ est égale à ce point. Points aux extrémités du segment $ -1 x ≤ 3 $, c'est-à-dire points $ M_3 (-1; 0) $ et $ M_6 (3; 4) $, ont été considérés plus tôt, nous avons déjà trouvé la valeur de la fonction en eux.

$$ z_7 = f_3 (1) = 2 \ cdot 1 ^ 2-4 \ cdot 1-1 = -3. $$

La deuxième étape de la solution est terminée. Nous avons sept valeurs :

$$ z_1 = -2; \; z_2 = -4; \; z_3 = 5; \; z_4 = -3; \; z_5 = 6; \; z_6 = 5; \; z_7 = -3. $$

Tournons-nous vers. En choisissant les valeurs les plus grandes et les plus petites parmi les nombres obtenus dans le troisième paragraphe, nous aurons :

$$ z_ (min) = - 4; \; z_ (max) = 6. $$

Le problème est résolu, il ne reste plus qu'à écrire la réponse.

Réponse: $ z_ (min) = - 4; \; z_ (max) = 6 $.

Exemple n°2

Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction $ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y $ dans la région $ x ^ 2 + y ^ 2 25 $.

Construisons d'abord le plan. L'équation $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $ (il s'agit de la limite de la zone donnée) définit un cercle centré à l'origine (c'est-à-dire au point $ (0; 0) $) et de rayon 5. À l'inégalité $ x ^ 2 + y ^ 2 25 $ satisfont tous les points à l'intérieur et sur le cercle mentionné.

Nous agirons selon. Trouvons les dérivées partielles et découvrons les points critiques.

$$ \ frac (\ partiel z) (\ partiel x) = 2x-12; \ frac (\ partiel z) (\ partiel y) = 2y + 16. $$

Il n'y a aucun point auquel les dérivées partielles trouvées n'existent pas. Voyons en quels points les deux dérivées partielles sont simultanément égales à zéro, c'est-à-dire trouver des points fixes.

$$ \ left \ (\ begin (aligned) & 2x-12 = 0; \\ & 2y + 16 = 0. \ end (aligned) \ right. \; \; \ left \ (\ begin (aligned) & x = 6; \\ & y = -8. \ Fin (aligné) \ à droite. $$

Nous avons obtenu le point stationnaire $ (6; -8) $. Cependant, le point trouvé n'appartient pas à la région $ D $. C'est facile à montrer sans même dessiner un dessin. Vérifions si l'inégalité $ x ^ 2 + y ^ 2 25 $ est vraie, qui définit notre domaine $ D $. Si $ x = 6 $, $ y = -8 $, alors $ x ^ 2 + y ^ 2 = 36 + 64 = 100 $, c'est-à-dire l'inégalité $ x ^ 2 + y ^ 2 25 $ n'est pas satisfaite. Conclusion : le point $ (6 ; -8) $ n'appartient pas à la zone $ D $.

Donc, il n'y a pas de points critiques à l'intérieur de la région $ D $. Passons à. Nous devons étudier le comportement de la fonction à la frontière d'une zone donnée, c'est-à-dire sur le cercle $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $. Vous pouvez, bien sûr, exprimer $ y $ en termes de $ x $, puis substituer l'expression résultante dans notre fonction $ z $. De l'équation du cercle on obtient : $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ ou $ y = - \ sqrt (25-x ^ 2) $. En substituant, par exemple, $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ dans la fonction donnée, nous aurons :

$$ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y = x ^ 2 + 25-x ^ 2-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2) = 25-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2); \; \; -5≤ x ≤ 5. $$

La suite de la solution sera tout à fait identique à l'étude du comportement de la fonction sur la frontière de la région dans l'exemple précédent #1. Cependant, il me semble plus raisonnable d'appliquer la méthode de Lagrange dans cette situation. Nous ne nous intéresserons qu'à la première partie de cette méthode. Après avoir appliqué la première partie de la méthode de Lagrange, nous obtenons les points auxquels nous examinons la fonction $ z $ pour les valeurs minimales et maximales.

On compose la fonction de Lagrange :

$$ F = z (x, y) + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2-25) = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2 -25). $$

On trouve les dérivées partielles de la fonction de Lagrange et on compose le système d'équations correspondant :

$$ F_ (x) ^ (") = 2x-12 + 2 \ lambda x; \; \; F_ (y) ^ (") = 2y + 16 + 2 \ lambda y. \\ \ left \ (\ begin (aligné) & 2x-12 + 2 \ lambda x = 0; \\ & 2y + 16 + 2 \ lambda y = 0; \\ & x ^ 2 + y ^ 2-25 = 0. \ end (aligné) \ droite. \; \; \ gauche \ (\ begin (aligné) & x + \ lambda x = 6; \\ & y + \ lambda y = -8; \\ & x ^ 2 + y ^ 2 = 25. \ fin (aligné) \ à droite. $$

Pour résoudre ce système, indiquons immédiatement que $ \ lambda \ neq -1 $. Pourquoi $\lambda\neq -1$ ? Essayons de substituer $ \ lambda = -1 $ dans la première équation :

$$ x + (- 1) \ cdot x = 6; \; x-x = 6 ; \; 0 = 6. $$

La contradiction résultante $ 0 = 6 $ indique que la valeur $ \ lambda = -1 $ est invalide. Sortie : $\lambda\neq -1 $. Exprimons $ x $ et $ y $ en termes de $ \ lambda $ :

\ begin (aligned) & x + \ lambda x = 6; \; x (1+ \lambda) = 6;\; x = \frac (6) (1+\lambda). \\ & y + \ lambda y = -8; \; y (1+ \lambda) = - 8;\; y = \ frac (-8) (1+ \ lambda). \ fin (aligné)

Je crois qu'il devient évident ici pourquoi nous avons spécifiquement stipulé la condition $ \ lambda \ neq -1 $. Cela a été fait pour placer en douceur l'expression $ 1 + \ lambda $ dans les dénominateurs. C'est-à-dire pour être sûr que le dénominateur est 1 $ + \ lambda \ neq 0 $.

Substituez les expressions obtenues pour $ x $ et $ y $ dans la troisième équation du système, c'est-à-dire à $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $ :

$$ \ gauche (\ frac (6) (1+ \ lambda) \ droite) ^ 2 + \ gauche (\ frac (-8) (1+ \ lambda) \ droite) ^ 2 = 25; \\ \ frac ( 36) ((1+ \ lambda) ^ 2) + \ frac (64) ((1+ \ lambda) ^ 2) = 25; \\ \ frac (100) ((1+ \ lambda) ^ 2) = 25 ; \; (1+ \ lambda) ^ 2 = 4. $$

De l'égalité obtenue il résulte que $ 1 + \ lambda = 2 $ ou $ 1 + \ lambda = -2 $. On a donc deux valeurs du paramètre $\lambda$, à savoir : $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -3$. En conséquence, nous obtenons deux paires de valeurs $ x $ et $ y $ :

\ begin (aligned) & x_1 = \ frac (6) (1+ \ lambda_1) = \ frac (6) (2) = 3; \; y_1 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_1) = \ frac (-8) (2) = - 4. \\ & x_2 = \ frac (6) (1+ \ lambda_2) = \ frac (6) (- 2) = - 3; \; y_2 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_2) = \ frac (-8) (- 2) = 4. \ fin (aligné)

Ainsi, nous avons obtenu deux points d'un extremum conditionnel possible, c'est-à-dire $ M_1 (3; -4) $ et $ M_2 (-3; 4) $. Retrouvons les valeurs de la fonction $ z $ aux points $ M_1 $ et $ M_2 $ :

\ begin (aligned) & z_1 = z (M_1) = 3 ^ 2 + (- 4) ^ 2-12 \ cdot 3 + 16 \ cdot (-4) = - 75; \\ & z_2 = z (M_2) = (- 3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) +16 \ cdot 4 = 125. \ fin (aligné)

Vous devez choisir les valeurs les plus grandes et les plus petites parmi celles que nous avons obtenues lors des première et deuxième étapes. Mais dans ce cas, le choix est petit :) On a :

$$ z_ (min) = - 75 ; \; z_ (max) = 125. $$

Réponse: $ z_ (min) = - 75 ; \; z_ (max) = 125 $.

L'algorithme standard pour résoudre de tels problèmes suppose, après avoir trouvé les zéros de la fonction, la détermination des signes de la dérivée sur les intervalles. Ensuite, le calcul des valeurs aux points trouvés du maximum (ou du minimum) et à la frontière de l'intervalle, en fonction de la question dans la condition.

Je vous conseille de faire un peu différemment. Pourquoi? J'ai écrit à ce sujet.

Je propose de résoudre ces tâches comme suit :

1. Trouvez la dérivée.
2. Trouvez les zéros de la dérivée.
3. Déterminez lesquels d'entre eux appartiennent à l'intervalle donné.
4. Calculez les valeurs de la fonction aux limites de l'intervalle et des points de l'élément 3.
5. Nous tirons une conclusion (nous répondons à la question posée).

Au cours de la résolution des exemples présentés, la solution des équations quadratiques n'a pas été examinée en détail, vous devriez pouvoir le faire. Vous devez également savoir.

Considérons quelques exemples :

77422. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y = x 3 –3х + 4 sur le segment [–2; 0].

Trouvez les zéros de la dérivée :

Le point x = –1 appartient à l'intervalle indiqué dans la condition.

On calcule les valeurs de la fonction aux points –2, –1 et 0 :

La plus grande valeur de la fonction est 6.

Réponse : 6

77425. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y = x 3 - 3x 2 + 2 sur le segment.

Trouvons la dérivée de la fonction donnée :

Trouvez les zéros de la dérivée :

Le point x = 2 appartient à l'intervalle indiqué dans la condition.

On calcule les valeurs de la fonction aux points 1, 2 et 4 :

La plus petite valeur de la fonction est –2.

Réponse : -2

77426. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y = x 3 - 6x 2 sur le segment [–3; 3].

Trouvons la dérivée de la fonction donnée :

Trouvez les zéros de la dérivée :

Le point x = 0 appartient à l'intervalle spécifié dans la condition.

On calcule les valeurs de la fonction aux points -3, 0 et 3 :

La plus petite valeur de la fonction est 0.

Réponse : 0

77429. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y = x 3 - 2x 2 + x +3 sur le segment.

Trouvons la dérivée de la fonction donnée :

3x 2 - 4x + 1 = 0

On obtient les racines : x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Seul x = 1 appartient à l'intervalle spécifié dans la condition.

Retrouvons les valeurs de la fonction aux points 1 et 4 :

Nous avons obtenu que la plus petite valeur de la fonction est 3.

Réponse : 3

77430. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y = x 3 + 2x 2 + x + 3 sur le segment [- 4; -1].

Trouvons la dérivée de la fonction donnée :

Trouvez les zéros de la dérivée, résolvez l'équation quadratique :

3x 2 + 4x + 1 = 0

On obtient les racines :

L'intervalle indiqué dans la condition appartient à la racine x = –1.

Trouvez les valeurs de la fonction aux points –4, –1, –1/3 et 1 :

Nous avons obtenu que la plus grande valeur de la fonction est 3.

Réponse : 3

77433. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y = x 3 - x 2 - 40x +3 sur le segment.

Trouvons la dérivée de la fonction donnée :

Trouvez les zéros de la dérivée, résolvez l'équation quadratique :

3x 2 - 2x - 40 = 0

On obtient les racines :

L'intervalle indiqué dans la condition appartient à la racine x = 4.

On retrouve les valeurs de la fonction aux points 0 et 4 :

Nous avons obtenu que la plus petite valeur de la fonction est -109.

Réponse : –109

Considérez une méthode pour déterminer les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions sans dérivée. Cette approche peut être utilisée si vous avez de gros problèmes avec la définition de la dérivée. Le principe est simple - nous substituons toutes les valeurs entières de l'intervalle à la fonction (le fait est que dans tous ces prototypes, la réponse est un nombre entier).

77437. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y = 7 + 12x – x 3 sur le segment [–2; 2].

Remplacez les points de –2 à 2: Voir la solution

77434. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y = x 3 + 2x 2 - 4x + 4 sur le segment [–2; 0].

C'est tout. Succès à vous !

Meilleures salutations, Alexandre Krutitskikh.

P.S : Je vous serais reconnaissant de nous parler du site sur les réseaux sociaux.

La plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction est la plus grande (la plus petite) valeur acceptée de l'ordonnée sur l'intervalle considéré.

Pour trouver la valeur la plus grande ou la plus petite d'une fonction, vous avez besoin de :

1. Vérifiez quels points stationnaires sont inclus dans le segment donné.
2. Calculer la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points stationnaires à partir du point 3
3. Sélectionnez la valeur la plus élevée ou la plus faible parmi les résultats obtenus.

Pour trouver les points maximum ou minimum, vous devez :

1. Trouver la dérivée de la fonction $ f "(x) $
2. Trouver des points stationnaires en résolvant l'équation $ f "(x) = 0 $
3. Factoriser la dérivée de la fonction.
4. Tracez une ligne de coordonnées, placez-y des points fixes et déterminez les signes de la dérivée dans les intervalles obtenus, en utilisant la notation du point 3.
5. Trouvez les points maximum ou minimum selon la règle : si à un point la dérivée change de signe de plus en moins, alors ce sera le point maximum (si de moins en plus, alors ce sera le point minimum). En pratique, il est commode d'utiliser l'image des flèches par intervalles : à l'intervalle où la dérivée est positive, la flèche est tracée et inversement.

Table de dérivée de quelques fonctions élémentaires :

Règles de base pour la différenciation

1. La dérivée de la somme et de la différence est égale à la dérivée de chaque terme

$ (f (x) ± g (x)) ′ = f (x) ± g ′ (x) $

Trouver la dérivée de la fonction $ f (x) = 3x ^ 5 - cosx + (1) / (x) $

La dérivée de la somme et de la différence est égale à la dérivée de chaque terme

$ f ′ (x) = (3x ^ 5) ′ - (cosx) ′ + ((1) / (x)) "= 15x ^ 4 + sinx- (1) / (x ^ 2) $

2. Dérivé de l'œuvre.

$ (f (x) g (x)) ′ = f ′ (x) ∙ g (x) + f (x) ∙ g (x) ′ $

Trouver la dérivée $ f (x) = 4x ∙ cosx $

$ f (x) = (4x) ′ ∙ cosx + 4x ∙ (cosx) ′ = 4 ∙ cosx-4x ∙ sinx $

3. Dérivée du quotient

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f ^" (x) g (x) -f (x) ∙ g (x) ") / (g ^ 2 (x) ) $

Trouver la dérivée $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" ∙ e ^ x-5x ^ 5 ∙ (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 ∙ e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction externe par la dérivée de la fonction interne

$ f (g (x)) ′ = f ′ (g (x)) ∙ g ′ (x) $

$ f ′ (x) = cos ′ (5x) ∙ (5x) ′ = - sin (5x) ∙ 5 = -5sin (5x) $

Trouver le point minimum de la fonction $ y = 2x-ln⁡ (x + 11) + 4 $

1. Trouvons la fonction ODZ : $ x + 11> 0 ; x> -11 $

2. Trouvez la dérivée de la fonction $ y "= 2- (1) / (x + 11) = (2x + 22-1) / (x + 11) = (2x + 21) / (x + 11) $

3. Trouvez des points stationnaires en égalant la dérivée à zéro

$ (2x + 21) / (x + 11) = 0 $

La fraction est nulle si le numérateur est nul et le dénominateur n'est pas nul

$ 2x + 21 = 0 ; x ≠ -11 $

4. Tracez une ligne de coordonnées, placez-y des points fixes et déterminez les signes de la dérivée dans les intervalles obtenus. Pour ce faire, nous substituons dans la dérivée n'importe quel nombre de la région la plus à droite, par exemple, zéro.

$ y "(0) = (2 0 + 21) / (0 + 11) = (21) / (11)> 0 $

5. Au point minimum, la dérivée change de signe de moins à plus, par conséquent, le point $ -10,5 $ est le point minimum.

Réponse : $ -10,5 $

Trouvez la plus grande valeur de la fonction $ y = 6x ^ 5-90x ^ 3-5 $ sur le segment $ [- 5; 1] $

1. Trouvez la dérivée de la fonction $ y ′ = 30x ^ 4-270x ^ 2 $

2. Égalons la dérivée à zéro et trouvons les points stationnaires

$ 30x ^ 4-270x ^ 2 = 0 $

Sortez le facteur commun de $ 30x ^ 2 $ en dehors des parenthèses

$ 30x ^ 2 (x ^ 2-9) = 0 $

$ 30x ^ 2 (x-3) (x + 3) = 0 $

Mettre chaque facteur à zéro

$ x ^ 2 = 0 ; x-3 = 0 ; x + 3 = 0 $

$ x = 0 ; x = 3 ; x = -3 $

3. Choisissez des points stationnaires qui appartiennent au segment donné $ [- 5; 1] $

Les points fixes $ x = 0 $ et $ x = -3 $ nous conviennent

4. On calcule la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points stationnaires à partir du point 3

Dans la tâche B14 de l'examen de mathématiques, il est demandé de trouver la plus petite ou la plus grande valeur d'une fonction d'une variable. Il s'agit d'un problème assez trivial d'après l'analyse mathématique, et c'est pour cette raison que chaque diplômé du secondaire peut et doit apprendre à le résoudre normalement. Analysons quelques exemples que les écoliers ont résolus lors du travail de diagnostic en mathématiques, qui a eu lieu à Moscou le 7 décembre 2011.

Selon l'intervalle sur lequel vous souhaitez trouver la valeur maximale ou minimale de la fonction, l'un des algorithmes standards suivants est utilisé pour résoudre ce problème.

I. Algorithme pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un segment :

• Trouvez la dérivée de la fonction.
• Sélectionnez parmi les points suspects d'un extremum, ceux qui appartiennent au segment donné et au domaine de la fonction.
• Calculer des valeurs les fonctions(pas dérivé !) à ces points.
• Parmi les valeurs obtenues, choisissez la plus grande ou la plus petite, ce sera celle souhaitée.

Exemple 1. Trouver la plus petite valeur de fonction
oui = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 sur le segment.

Solution: on agit selon l'algorithme pour trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un segment :

• La portée de la fonction n'est pas limitée : D (a) = R.
• La dérivée de la fonction est : ouais = 3X 2 – 36X+ 81. Le domaine de définition de la dérivée d'une fonction n'est pas non plus limité : D (y') = R.
• Zéros dérivés : ouais = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, donc X 2 – 12X+ 27 = 0, d'où X= 3 et X= 9, notre intervalle ne comprend que X= 9 (un point suspect d'un extremum).
• Trouver la valeur de la fonction en un point suspect d'un extremum et aux bords de l'intervalle. Pour la commodité des calculs, nous représentons la fonction sous la forme : oui = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
  • oui(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31 ;
  • oui(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23 ;
  • oui(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Ainsi, parmi les valeurs obtenues, la plus petite est 23. Réponse : 23.

II. Algorithme pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur de fonction :

• Trouvez le domaine de la fonction.
• Trouvez la dérivée de la fonction.
• Déterminer les points suspects d'un extremum (les points où la dérivée de la fonction s'annule et les points où il n'y a pas de dérivée finie bilatérale).
• Marquez ces points et le domaine de la fonction sur la droite numérique et déterminez les signes dérivé(pas de fonctions !) sur les intervalles résultants.
• Définir des valeurs les fonctions(pas la dérivée !) aux points minimum (ces points auxquels le signe de la dérivée passe du moins au plus), la plus petite de ces valeurs sera la plus petite valeur de la fonction. S'il n'y a pas de points minimum, alors la fonction n'a pas la plus petite valeur.
• Définir des valeurs les fonctions(pas la dérivée !) aux points maximum (ces points auxquels le signe de la dérivée passe de plus à moins), la plus grande de ces valeurs sera la plus grande valeur de la fonction. S'il n'y a pas de points maximum, alors la fonction n'a pas de valeur maximum.

Exemple 2. Trouvez la plus grande valeur de la fonction.

Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un segment :

1) Trouver tous les points critiques de la fonction qui appartiennent au segment ;

2) Calculer les valeurs de la fonction en ces points et aux extrémités du segment ;

3) À partir des valeurs obtenues, sélectionnez la plus grande et la plus petite.

Exemple 8.1. Trouver les valeurs de fonction les plus grandes et les plus petites
sur le segment
.

Solution. 1) Trouver les points critiques de la fonction.

,




.

Sur le segment
le dénominateur ne disparaît pas. Par conséquent, la fraction est nulle si et seulement si le numérateur est nul :




.

Moyens,
- le point critique de la fonction. Il appartient à ce segment.

Trouvons la valeur de la fonction au point critique :

2) Trouver les valeurs de la fonction aux extrémités du segment :

, .

3) À partir des valeurs obtenues, sélectionnez la plus grande et la plus petite :

,
.

9. Tâches pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites des quantités

Lors de la résolution de problèmes pour calculer les valeurs les plus petites et les plus grandes des quantités, il faut tout d'abord déterminer pour quelle quantité dans le problème il est nécessaire de trouver la valeur la plus petite ou la plus grande. Cette valeur sera la fonction étudiée. Ensuite, l'une des valeurs, dont dépend l'application de la fonction, doit être prise comme variable indépendante et la fonction doit être exprimée à travers elle. Dans ce cas, il faut choisir la valeur par laquelle la fonction étudiée s'exprime de la manière la plus simple en tant que variable indépendante. Après cela, le problème est résolu pour trouver la plus petite et la plus grande valeur de la fonction obtenue dans un certain intervalle de variation de la variable indépendante, qui est généralement établi à partir de l'essence même du problème.

Exemple 9.1. Trouver la hauteur du cône du plus grand volume qui puisse s'inscrire dans une boule de rayon .

R Solution. Désignant respectivement le rayon de la base, la hauteur et le volume du cône ,et , nous écrivons
... Cette égalité exprime la dépendance de deux variables et ; exclure l'une de ces quantités, à savoir ... Pour ce faire, à partir d'un triangle rectangle
on en déduit (par le théorème sur le carré de la perpendiculaire descendue du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse) :

Figure 6 - Illustration par exemple 9.1.

ou
.

Substituer la valeur dans la formule du volume du cône, on obtient :

.

On voit que le volume un cône inscrit dans une boule de rayon , il existe une fonction de la hauteur de ce cône ... Pour trouver la hauteur à laquelle le cône inscrit a un grand volume, cela signifie trouver un tel pour laquelle la fonction a un maximum. Nous recherchons la fonction maximale :

1)
,

2)
,
,
, où
ou
,

3)
.

Substituer au lieu de en premier
, puis
, on a:

Dans le premier cas, on a un minimum (
à
), dans le second, le maximum souhaité (puisque
à
).

Par conséquent, pour
cône inscrit dans une boule de rayon , a le plus grand volume.

N.-É. Exemple 9.2. Il est nécessaire de clôturer avec un treillis métallique d'une longueur de 60 m zone rectangulaire adjacente au mur de la maison (Fig. 7). Quelle devrait être la longueur et la largeur de la section pour avoir la plus grande surface?

Solution. Laissez la largeur de la section m et la région m 2 , alors:

Figure 7 - Illustration pour le paragraphe 9.2.

Les valeurs et ne peut pas être négatif, donc le facteur
, une
.

Carré il y a une fonction , on définit les intervalles de son augmentation et de sa diminution :

.
, et la fonction augmente lorsque
;
, et la fonction diminue lorsque
... D'où le point
est le point maximum. Puisque c'est le seul point appartenant à l'intervalle
, puis au point
la fonction compte le plus.

Par conséquent, la superficie du site est la plus grande (maximum) si la largeur
m, et la longueur m.

Exemple 9.3. Quelles devraient être les dimensions d'une pièce rectangulaire dont la superficie 36 mètres 2 pour que son périmètre soit le plus petit ?

Solution... Soit la longueur m, alors la largeur du rectangle est m, et le périmètre :

.

Périmètre est fonction de la longueur défini pour toutes les valeurs positives :
.

Définissons les intervalles de son augmentation et de sa diminution :

Le signe de la dérivée est déterminé par le signe de la différence
... Dans l'intervalle

, et entre

.

D'où le point
est le point minimum. Puisque c'est le seul point appartenant à l'intervalle :
, puis au point
fonction a la moindre valeur.

Par conséquent, le périmètre du rectangle a la plus petite valeur (minimum) si sa longueur 6 m et largeur m = 6 m, c'est-à-dire quand il est carré.