Quelle équation s'appelle l'équation de cette droite. Un travail sympa02/04/12

Passons en revue * Quelle équation est dite quadratique ? * Quelles équations sont appelées équations quadratiques incomplètes ? * Quelle équation quadratique est dite réduite ? * Qu'appelle-t-on la racine d'une équation quadratique ? * Que signifie résoudre une équation quadratique ? Quelle équation est dite quadratique ? Quelles équations sont appelées équations quadratiques incomplètes ? Quelle équation quadratique est dite réduite ? Quelle est la racine d’une équation quadratique ? Que signifie résoudre une équation quadratique ? Quelle équation est dite quadratique ? Quelles équations sont appelées équations quadratiques incomplètes ? Quelle équation quadratique est dite réduite ? Quelle est la racine d’une équation quadratique ? Que signifie résoudre une équation quadratique ?

Algorithme pour résoudre une équation quadratique : 1. Déterminer la manière la plus rationnelle de résoudre une équation quadratique 2. Choisir la manière la plus rationnelle de résoudre 3. Déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique 4. Trouver les racines d'une équation quadratique Pour mieux mémorisation, remplissez le tableau... Pour une meilleure mémorisation, remplissez le tableau... Pour une meilleure mémorisation, remplissez le tableau...

Condition supplémentaire Racines d'équation Exemples 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1,2 = ±(c/a), où c/a 0. b) si c/a 0, alors il n'y a pas de solutions 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, où D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – nombre pair (b = 2k), a 0, en 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, où k = 6. Le théorème inverse du théorème de Vieta x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Méthodes spéciales 7. Méthode d'isolement du carré d'un binôme. Objectif : Réduire une équation générale à une équation quadratique incomplète. Remarque : la méthode est applicable à toutes les équations quadratiques, mais n'est pas toujours pratique à utiliser. Utilisé pour prouver la formule des racines d'une équation quadratique. Exemple : résoudre l'équation x 2 -6 x+8=0 8. Méthode de « transfert » du coefficient le plus élevé. Les racines des équations quadratiques ax 2 + bx + c = 0 et y 2 +by+ac=0 sont liées par les relations : et Remarque : la méthode convient aux équations quadratiques avec des coefficients « pratiques ». Dans certains cas, il permet de résoudre oralement une équation quadratique. Exemple : résoudre l'équation 2 x 2 -9 x-5=0 Basé sur des théorèmes : Exemple : résoudre l'équation 157 x x-177=0 9. Si dans une équation quadratique a+b+c=0, alors l'un des les racines sont 1, et la seconde, selon le théorème de Vieta, est égale à c / a 10. Si dans une équation quadratique a + c = b, alors l'une des racines est égale à -1, et la seconde, selon le théorème de Vieta théorème, est égal à -c / a Exemple : résoudre l'équation 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Méthodes générales de résolution d'équations 11. Méthode de factorisation. Objectif : Réduire une équation quadratique générale à la forme A(x)·B(x)=0, où A(x) et B(x) sont des polynômes par rapport à x. Méthodes : Retirer le facteur commun des parenthèses ; Utiliser des formules de multiplication abrégées ; Méthode de regroupement. Exemple : résoudre l'équation 3 x 2 +2 x-1=0 12. Méthode d'introduction d'une nouvelle variable. Un bon choix d'une nouvelle variable rend la structure de l'équation plus transparente Exemple : résoudre l'équation (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8

Égalité de la forme F (x, y) = 0 appelé une équation à deux variables X, ouais, si ce n'est pas vrai pour toutes les paires de nombres x, y. Ils disent deux chiffres X = X 0 , y = y 0, satisfaire une équation de la forme F(x, y)=0, si en remplaçant ces nombres au lieu de variables X Et à dans l'équation, son côté gauche disparaît.

L'équation d'une ligne donnée (dans un système de coordonnées désigné) est une équation à deux variables satisfaite par les coordonnées de chaque point situé sur cette ligne et non satisfaite par les coordonnées de chaque point qui ne s'y trouve pas.

Dans ce qui suit, au lieu de l'expression « on donne l'équation de la droite F(x, y) = 0" on dira souvent en bref : étant donné une ligne F (x, y) = 0.

Si les équations de deux droites sont données F(x, y) = 0 Et Ф(x, y) = Q, alors la solution conjointe du système

donne tous leurs points d'intersection. Plus précisément, chaque paire de nombres qui est une solution conjointe de ce système détermine l'un des points d'intersection.

*) Dans les cas où le système de coordonnées n'est pas nommé, on suppose qu'il est rectangulaire cartésien.

157. Les points sont attribués *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3 ; -2). Déterminer quels points publiés se trouvent sur la ligne définie par l'équation X+ y = 0, et lesquels ne mentent pas dessus. Quelle droite est définie par cette équation ? (Dessinez-le sur le dessin.)

158. Sur la droite définie par l'équation X 2 +y 2 =25, trouver les points dont les abscisses sont égales aux nombres suivants : a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7 ; sur la même droite trouvez les points dont les ordonnées sont égales aux nombres suivants : e) 3, f) - 5, g) - 8. Quelle droite est déterminée par cette équation ? (Dessinez-le sur le dessin.)

159. Déterminez quelles droites sont déterminées par les équations suivantes (construisez-les sur le dessin) :

1) x-y = 0 ; 2) x + y = 0 ; 3) X- 2 = 0; 4) X+ 3 = 0;

5) oui - 5 = 0 ; 6) oui+ 2 = 0; 7) x = 0 ; 8) oui = 0;

9) X 2 - xy = 0 ; 10) xy+ oui 2 = 0 ; onze) X 2 - oui 2 = 0; 12) xy= 0;

13) oui 2 - 9 = 0 ; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0 ; 15) y 2 +5y+4 = 0 ;

16) X 2 oui - 7xy + 10oui = 0; 17) y =|X|; 18) X =|à|; 19)oui + |X|=0;

20) x +|à|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) oui = |X+ 2|; 23) X 2 + à 2 = 16;

24) (X-2) 2 +(oui-1) 2 =16; 25) (X+ 5) 2 +(oui- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + oui 2 = 4; 27) X 2 +(oui + 3) 2 = 1; 28) (X -3) 2 + oui 2 = 0;

29) X 2 + 2oui 2 = 0; 30) 2X 2 + 3oui 2 + 5 = 0

31) (X- 2) 2 + (oui + 3) 2 + 1=0.

160. Lignes données :

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) X 2 + oui 2 - 36 = 0;

4) X 2 +oui 2 -2X==0; 5) X 2 +oui 2 + 4X-6oui-1 =0.

Déterminez lesquels d’entre eux passent par l’origine.

161.Lignes données :

1) X 2 + oui 2 = 49; 2) (X- 3) 2 + (oui+ 4) 2 = 25;

3) (X+ 6) 2 + (oui - 3) 2 = 25 ; 4) ( X + 5) 2 + (oui - 4) 2 = 9 ;

5) X 2 +oui 2 - 12x + 16y = 0 ; 6) X 2 +oui 2 - 2x + 8à+ 7 = 0;

7) X 2 +oui 2 - 6x + 4oui + 12 = 0.

Trouver leurs points d'intersection : a) avec l'axe Oh; b) avec un axe OU.

162.Trouver les points d'intersection de deux lignes ;

1)X 2 +o 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +o 2 -16X+4à+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +o 2 -2X+4à -3 = 0, X 2 + oui 2 = 25;

4) X 2 +o 2 -8X+10у+40 = 0, X 2 + oui 2 = 4.

163. Les points sont donnés dans le système de coordonnées polaires

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) Et M 5 (1; )

Déterminez lesquels de ces points se trouvent sur la droite définie par l'équation en coordonnées polaires  = 2 cos , et lesquels ne s'y trouvent pas. Quelle droite est déterminée par cette équation ? (Dessinez-le sur le dessin :)

164. Sur la droite définie par l'équation  = , trouver les points dont les angles polaires sont égaux aux nombres suivants : a) ,b) - , c) 0, d) . Quelle droite est définie par cette équation ?

(Construisez-le sur le dessin.)

165.Sur la droite définie par l'équation  = , trouvez les points dont les rayons polaires sont égaux aux nombres suivants : a) 1, b) 2, c)
. Quelle droite est définie par cette équation ? (Construisez-le sur le dessin.)

166. Établissez quelles lignes sont déterminées en coordonnées polaires par les équations suivantes (construisez-les sur le dessin) :

1)  = 5 ; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2 ; 5)  péché  = 1 ;

6)  = 6 cos  ; 7)  = 10 péché  ; 8) péché  = 9) péché  =

167. Construisez les spirales d'Archimède suivantes sur le dessin :

1)  = 5, 2)  = 5 ; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Construisez les spirales hyperboliques suivantes sur le dessin :

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Construisez les spirales logarithmiques suivantes sur le dessin :

,
.

170. Déterminer les longueurs des segments dans lesquels coupe la spirale d'Archimède

rayon émergeant du pôle et incliné par rapport à l'axe polaire selon un angle
. Faites un dessin.

171. Sur la spirale d'Archimède
point pris AVEC, dont le rayon polaire est 47. Déterminez de combien de parties cette spirale coupe le rayon polaire du point AVEC, Faites un dessin.

172. Sur une spirale hyperbolique
trouver un point R, dont le rayon polaire est 12. Faites un dessin.

173. Sur une spirale logarithmique
trouvez le point Q dont le rayon polaire est de 81. Faites un dessin.

Une ligne sur un plan est un ensemble de points sur ce plan qui ont certaines propriétés, tandis que les points qui ne se trouvent pas sur une ligne donnée n'ont pas ces propriétés. L'équation d'une ligne définit une relation exprimée analytiquement entre les coordonnées des points situés sur cette ligne. Laissez cette relation être donnée par l'équation

F( x,y)=0. (2.1)

Une paire de nombres satisfaisant (2.1) n’est pas arbitraire : si X donné, alors àça ne peut pas être n'importe quoi, c'est-à-dire à associé à X. Quand ça change X changements à, et un point de coordonnées ( x,y) décrit cette ligne. Si les coordonnées du point M 0 ( X 0 ,à 0) satisfaire l’équation (2.1), c’est-à-dire F( X 0 ,à 0)=0 est une vraie égalité, alors le point M 0 se trouve sur cette droite. L’inverse est également vrai.

Définition. Une équation d'une ligne sur un plan est une équation qui est satisfaite par les coordonnées de tout point situé sur cette ligne, et non satisfaite par les coordonnées de points ne se trouvant pas sur cette ligne..

Si l'équation d'une certaine ligne est connue, alors l'étude des propriétés géométriques de cette ligne peut être réduite à l'étude de son équation - c'est l'une des idées principales de la géométrie analytique. Pour étudier les équations, il existe des méthodes d'analyse mathématique bien développées qui simplifient l'étude des propriétés des lignes.

Lorsqu'on considère les lignes, le terme est utilisé point actuel droite – point variable M( x,y), en suivant cette ligne. Coordonnées X Et à le point actuel est appelé coordonnées actuelles points de ligne.

Si à partir de l’équation (2.1) nous pouvons exprimer explicitement à
à travers X, c'est-à-dire écrivez l'équation (2.1) sous la forme , alors la courbe définie par une telle équation est appelée calendrier les fonctions f(x).

1. L'équation est donnée : , ou . Si X prend des valeurs arbitraires, alors à prend des valeurs égales à X. Par conséquent, la ligne définie par cette équation est constituée de points équidistants des axes de coordonnées Ox et Oy - c'est la bissectrice des angles de coordonnées I – III (ligne droite sur la Fig. 2.1).

L'équation, ou, détermine la bissectrice des angles de coordonnées II – IV (ligne droite sur la Fig. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

riz. 2.1 fig. 2.2 fig. 2.3

2. L'équation est donnée : , où C est une constante. Cette équation peut s'écrire différemment : . Cette équation est satisfaite par ces et seulement ces points, ordonnées à qui sont égaux à C pour toute valeur d'abscisse X. Ces points se trouvent sur une droite parallèle à l'axe Ox (Fig. 2.2). De même, l'équation définit une droite parallèle à l'axe Oy (Fig. 2.3).

Toutes les équations de la forme F( x,y)=0 définit une ligne sur le plan : l'équation est satisfaite par un seul point – O(0,0), et l'équation n'est satisfaite par aucun point du plan.

Dans les exemples donnés, nous avons utilisé une équation donnée pour construire une droite déterminée par cette équation. Considérons le problème inverse : construire son équation en utilisant une droite donnée.

3. Créez une équation pour un cercle dont le centre est au point P ( un B) Et
rayon R .

○ Un cercle de centre au point P et de rayon R est un ensemble de points situés à une distance R du point P. Cela signifie que pour tout point M situé sur le cercle, MP = R, mais si le point M ne se trouve pas sur le cercle, alors MP ≠ R.. ●

Ligne droite dans un avion et dans l'espace.

L'étude des propriétés des figures géométriques à l'aide de l'algèbre s'appelle géométrie analytique , et nous utiliserons ce qu'on appelle méthode de coordonnées .

Une ligne sur un plan est généralement définie comme un ensemble de points qui ont des propriétés qui leur sont propres. Le fait que les coordonnées x et y (nombres) d'un point situé sur cette ligne sont écrites analytiquement sous la forme d'une équation.

Déf.1 Équation d'une droite (équation d'une courbe) sur le plan Oxy est appelée une équation (*), qui est satisfaite par les coordonnées x et y de chaque point sur une ligne donnée et n'est satisfaite par les coordonnées d'aucun autre point ne se trouvant pas sur cette ligne.

De la définition 1, il s'ensuit que chaque ligne du plan correspond à une équation entre les coordonnées actuelles ( x,y ) points de cette droite et vice versa, chaque équation correspond, d'une manière générale, à une certaine droite.

Cela pose deux problèmes principaux de géométrie analytique sur le plan.

1. Une droite est donnée sous la forme d’un ensemble de points. Nous devons créer une équation pour cette droite.

2. L'équation de la droite est donnée. Il est nécessaire d'étudier ses propriétés géométriques (forme et emplacement).

Exemple. Est-ce que les points mentent UN(-2;1) Et DANS (1;1) sur la ligne 2 X +à +3=0?

Le problème de trouver les points d'intersection de deux droites données par les équations se résume à trouver des coordonnées qui satisfont l'équation des deux droites, c'est-à-dire à résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

Si ce système n’a pas de véritables solutions, alors les lignes ne se croisent pas.

Le concept de ligne est introduit dans le SCU de la même manière.

Une droite sur un plan peut être définie par deux équations

Où X Et à – coordonnées de points arbitraires M(x;y), couché sur cette ligne, et t - une variable appelée paramètre , le paramètre détermine la position du point sur le plan.

Par exemple, si , alors la valeur du paramètre t=2 correspond au point (3;4) sur le plan.

Si le paramètre change, le point sur le plan se déplace, décrivant cette ligne. Cette méthode de définition d'une ligne est appelée paramétrique, et l'équation (5.1) est une équation paramétrique de la droite.

Pour passer des équations paramétriques à une équation générale (*), il faut en quelque sorte éliminer le paramètre des deux équations. Toutefois, nous constatons qu’une telle transition n’est pas toujours souhaitable ni toujours possible.

Une ligne sur un avion peut être spécifiée équation vectorielle , où t est un paramètre variable scalaire. Chaque valeur de paramètre correspond à un vecteur plan spécifique. Lors de la modification du paramètre, la fin du vecteur décrira une certaine ligne.

Équation vectorielle en DSC correspondent deux équations scalaires

(5.1), c'est-à-dire l'équation des projections sur les axes de coordonnées de l'équation vectorielle d'une droite est sa

équation paramétrique.

L'équation vectorielle et les équations linéaires paramétriques ont une signification mécanique. Si un point se déplace sur un plan, alors les équations indiquées sont appelées équations du mouvement , et la ligne est la trajectoire du point, le paramètre t est le temps.

Conclusion : à chaque droite du plan correspond une équation de la forme.

Dans le cas général, TOUTE ÉQUATION D'UNE VUE correspond à une certaine droite dont les propriétés sont déterminées par l'équation donnée (à l'exception qu'aucune image géométrique ne correspond à une équation sur un plan).

Soit un système de coordonnées sur le plan.

Déf. 5.1. Équation de droite ce type d'équation est appeléF(x;y) =0, qui est satisfait par les coordonnées de chaque point situé sur cette ligne, et non satisfait par les coordonnées de tout point qui ne s'y trouve pas.

Équation de la formeF(x;y )=0 – appelée équation générale d’une droite ou équation sous forme implicite.

Ainsi, la droite Г est le lieu des points satisfaisant cette équation Г=((x, y) : F(x;y)=0).

La ligne est aussi appelée courbé.

Résoudre l'équation

Illustration d'une méthode graphique pour trouver les racines d'une équation

Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs des arguments pour lesquelles cette égalité est atteinte. Des conditions supplémentaires (entière, réelle, etc.) peuvent être imposées sur les valeurs possibles des arguments.

La substitution d'une autre racine produit une instruction incorrecte :

.

Ainsi, la deuxième racine doit être écartée comme étant étrangère.

Types d'équations

Il existe des équations algébriques, paramétriques, transcendantales, fonctionnelles, différentielles et autres.

Certaines classes d'équations ont des solutions analytiques, pratiques car elles donnent non seulement la valeur exacte de la racine, mais permettent également d'écrire la solution sous la forme d'une formule pouvant inclure des paramètres. Les expressions analytiques permettent non seulement de calculer les racines, mais aussi d'analyser leur existence et leur quantité en fonction des valeurs des paramètres, ce qui est souvent encore plus important pour une utilisation pratique que les valeurs spécifiques des racines.

Les équations pour lesquelles des solutions analytiques sont connues comprennent les équations algébriques ne dépassant pas le quatrième degré : équation linéaire, équation quadratique, équation cubique et équation du quatrième degré. Les équations algébriques de degrés supérieurs dans le cas général n'ont pas de solution analytique, bien que certaines d'entre elles puissent être réduites à des équations de degrés inférieurs.

Une équation qui inclut des fonctions transcendantales est appelée transcendantale. Parmi elles, des solutions analytiques sont connues pour certaines équations trigonométriques, puisque les zéros des fonctions trigonométriques sont bien connus.

Dans le cas général, lorsqu'une solution analytique ne peut être trouvée, des méthodes numériques sont utilisées. Les méthodes numériques ne fournissent pas de solution exacte, mais permettent seulement de réduire l'intervalle dans lequel se situe la racine à une certaine valeur prédéterminée.

Exemples d'équations

voir également

Littérature

• Bekarevich, A. B. Équations dans un cours de mathématiques scolaire / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
• Markushevich, L. A. Équations et inégalités dans la répétition finale du cours d'algèbre du lycée / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Les mathématiques à l'école. - 2004. - N°1.
• Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kyiv : École Radyanska, 1968.
• L'équation- article de la Grande Encyclopédie Soviétique
• Équations// Encyclopédie de Collier. - Société ouverte. 2000.
• L'équation// Encyclopédie autour du monde
• L'équation// Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Liens

• EqWorld - World of Mathematical Equations - contient des informations détaillées sur les équations mathématiques et les systèmes d'équations.

Fondation Wikimédia. 2010.

Synonymes:

Antonymes:

• Khadzhimba, Raoul Djoumkovitch
• ORDINATEUR ES

Voyez ce qu'est « équation » dans d'autres dictionnaires :

L'ÉQUATION- (1) une représentation mathématique du problème de trouver de telles valeurs des arguments (voir (2)), pour lesquelles les valeurs de deux données (voir) sont égales. Les arguments dont dépendent ces fonctions sont appelés inconnues, et les valeurs des inconnues auxquelles les valeurs... ... Grande encyclopédie polytechnique

L'ÉQUATION- EQUATION, équations, cf. 1. Action en vertu du ch. égaliser égaliser et conditionner selon ch. égaliser égaliser. Droits égaux. Équation du temps (traduction du temps solaire vrai en temps solaire moyen, acceptée dans la société et dans la science ;... ... Dictionnaire explicatif d'Ouchakov

L'ÉQUATION- (équation) L'exigence qu'une expression mathématique prenne une valeur spécifique. Par exemple, une équation quadratique s’écrit : ax2+bx+c=0. La solution est la valeur de x à laquelle l'équation donnée devient une identité. DANS… … Dictionnaire économique

L'ÉQUATION- une représentation mathématique du problème de trouver les valeurs des arguments pour lesquels les valeurs de deux fonctions données sont égales. Les arguments dont dépendent ces fonctions sont appelés inconnues, et les valeurs des inconnues pour lesquelles les valeurs de la fonction sont égales... ... Grand dictionnaire encyclopédique

L'ÉQUATION- EQUATION, deux expressions reliées par un signe égal ; ces expressions impliquent une ou plusieurs variables appelées inconnues. Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs des inconnues pour lesquelles elle devient une identité, ou établir... Encyclopédie moderne