approximation RMS. Approximation racine carrée moyenne de fonctions données sous forme de tableau

Laissez le tableau contenir les valeurs de la fonction obtenues, par exemple, à partir de l'expérience, c'est-à-dire mesurées avec une erreur. Alors l'approximation utilisant appareil d'interpolation , qui est basé sur l'assimilation des valeurs du polynôme dans les nœuds d'interpolation aux valeurs du tableau, pas pratique.

Avec une telle formulation du problème, il faut effectuer une approximation moyenne, c'est-à-dire décrire une fonction donnée sous forme de tableau par une dépendance analytique assez simple qui a un petit nombre de paramètres. Le choix optimal de ces paramètres nous permettra d'effectuer l'approximation quadratique moyenne de la fonction donnée par le tableau.

Sélection du type de dépendance analytique devrait commencer par mettre des données tabulaires sur avion coordonné- ainsi le champ de points expérimentaux sera formé. Une courbe lisse est tracée à travers le champ de ces points de sorte que certains des points se trouvent sur cette courbe, certains des points sont plus hauts et certains des points sont plus bas que la courbe dessinée. Par la forme de cette courbe, il convient de déterminer le type de dépendance analytique - qu'elle soit linéaire, exponentielle, hyperbolique ou autre.

Cependant, selon le graphique, il est très difficile de choisir le type de dépendance analytique à l'œil nu. C'est pourquoi il a été proposé une méthode d'estimation grossière et de choix du type de dépendance analytique. Cette méthode est vraiment approximative et imprécise, car la courbe peut être tracée de différentes manières à travers le champ de points expérimentaux, et différents points de référence peuvent être pris dans le tableau pour le calcul, et la précision de la technique proposée est inconnue. En même temps, cela peut être considéré comme une manière approximative de choisir le type de dépendance.

L'algorithme d'actions suivant est proposé.

1. Dans le tableau source, sélectionnez deux points avec les coordonnées (x 1, y 1) et (x n, y n) - points de référence, éloignés l'un de l'autre, et pour chaque paire de coordonnées, calculez la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique.

2. Sur la courbe passant par le champ de points expérimentaux, trouver trois ordonnées correspondant aux abscisses trouvées x ar, x geom, x harmm :

3. Effectuer une comparaison trouvée sur la courbe avec la valeur calculée en calculant les modules de différences suivants :

4. Parmi les valeurs trouvées, le minimum est sélectionné :

5. Conclusions: s'il s'avère que c'est minime

Dépendance linéaire

La dépendance est indicative

Dépendance fractionnaire-linéaire

La dépendance est logarithmique

Dépendance au pouvoir

Dépendance hyperbolique

Dépendance fractionnaire-rationnelle

Chacune de ces dépendances peut être réduite à une dépendance linéaire en effectuant une transformation de coordonnées ou la soi-disant alignement des données.
Ainsi, la première étape se termine par le choix du type de dépendance analytique dont les paramètres ne sont pas définis.

Seconde phase consiste à déterminer les meilleures valeurs des coefficients de la dépendance analytique choisie. Pour cela, mathématique méthode des moindres carrés.

La méthode est basée sur la minimisation de la somme des écarts au carré des valeurs tabulaires données () par rapport à celles calculées selon la dépendance théorique (): .

Soit la dépendance choisie ligne droite: . Remplacer dans la fonctionnelle : . Alors la fonctionnelle est minimisée :

Pour trouver les meilleures valeurs des coefficients et il faut trouver les dérivées partielles de par rapport à et et les égaler à zéro :

Après transformations, le système d'équations prend la forme :

Solution de ce système équations linéaires permet de trouver meilleures valeurs coefficients et dépendance linéaire.

Si la dépendance sélectionnée est parabole quadratique :

alors la fonctionnelle est minimisée : .

La parabole a trois coefficients variables - , dont les meilleures valeurs doivent être trouvées en assimilant à zéro les dérivées partielles de la fonctionnelle minimisée par rapport aux coefficients recherchés . Cela nous permet d'obtenir le système suivant de trois équations linéaires pour trouver les coefficients :

Exemple 1 Déterminez le type de dépendance donné par le tableau suivant.

X
Oui	0,55	0,64	0,78	0,85	0,95	0,98	1,06	1,11

Solution.

Les points spécifiés dans le tableau doivent être appliqués au plan de coordonnées - un domaine des données expérimentales. A travers ce champ courbe lisse.

Selon le tableau sont sélectionnés deux points d'ancrage de coordonnées (3 ; 0,55) et (10 ; 1,11) et pour chaque couple d'abscisses et d'ordonnées, on calcule les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique :

Pour les trois abscisses calculées le long de la courbe passant par le champ de points expérimentaux, trois ordonnées correspondantes sont déterminées :

Noter sur l'orientation des calculs. Ensuite, sept modules de différence sont définis :

Trois valeurs minimales proches les unes des autres sont obtenues

Lors de la deuxième étape, il est nécessaire de déterminer les meilleures valeurs des coefficients pour chacune de ces dépendances à l'aide de la méthode des moindres carrés, puis de calculer l'écart type à partir des valeurs tabulaires données.

Le choix final de la dépendance analytique est effectué par la valeur minimale de l'écart type.

Exemple 2 Le tableau montre les résultats études expérimentales, qui peut être approximée par une droite. Trouver les meilleures valeurs des coefficients de la droite en appliquant la méthode des moindres carrés.

Solution.

k	X k	O k	X k Y k	X k 2	Y k théorie	Théorie Y k -Y k	(théorie Y k -Y k) 2
		66,7			67,50	0,20	0,0400
		71,0	284,0		70,98	0,02	0,0004
		76,3	763,0		76,20	0,10	0,0100
		80,6	1209,0		80,55	0,05	0,0025
		85,7	1799,7		85,77	- 0,07	0,0049
		92,9	2694,1		92,73	0,17	0,0289
		99,4	3578,4		98,82	0,58	0,3364
		113,6	5793,6		111,87	1,73	2,9929
		125,1	8506,8		126,66	- 1,56	2,4336
les montants		811,3	24628,6				5,8496

Équation générale d'une droite : .

Le système d'équations linéaires, à partir duquel les meilleures valeurs des coefficients et doivent être déterminées, guidé par la méthode des moindres carrés, a la forme:

Substituons les sommes calculées des 2e, 3e, 4e et 5e colonnes de la dernière ligne du tableau dans le système d'équations :

D'où sont déterminés les coefficients de dépendance linéaire ? L'équation de la droite théorique a donc la forme :

. (*)

La sixième colonne du tableau montre les valeurs de fonction calculées par l'équation théorique pour les valeurs données de l'argument. La septième colonne du tableau montre les valeurs des différences entre les valeurs données de la fonction (3e colonne) et les valeurs théoriques (6e colonne) calculées par l'équation (*).

La huitième colonne montre les écarts au carré des valeurs théoriques par rapport aux valeurs expérimentales et la somme des écarts au carré est déterminée. Maintenant, vous pouvez trouver

Exemple 3 Supposons que les données expérimentales données dans le tableau soient approximées par une parabole quadratique : Trouver les meilleures valeurs pour les coefficients de la parabole en appliquant la méthode des moindres carrés.

Solution.

k	X k	O k	X k 2	X k 3	X k 4	X k Y k	X k 2 Y k	Y k théorie	Théorie Y k -Y k
		29,8						29,28	0,52	0,2704
		22,9				45,8	91,6	22,22	0,68	0,4624
		17,1				68,4	273,6	17,60	-0,50	0,2500
		15,1				75,5	377,5	15,56	-0,46	0,2116
		10,7				85,6	684,8	11,53	-0,83	0,6889
		10,1				101,0	1010,0	10,60	-0,50	0,2500
		10,6				127,2	1526,4	11,06	-0,46	0,2116
		15,2				228,0	3420,0	14,38	0,82	0,6724
Soumy		122,5				731,5	7383,9			3,0173

Le système d'équations linéaires pour déterminer les coefficients d'une parabole a la forme :

À partir de la dernière ligne du tableau, les sommes correspondantes sont substituées dans le système d'équations :

La solution du système d'équations permet de déterminer les valeurs des coefficients :

Ainsi, la dépendance donnée par le tableau sur le segment est approximée par une parabole quadratique :

Le calcul selon la formule donnée pour les valeurs données de l'argument permet de former la neuvième colonne du tableau contenant les valeurs théoriques de la fonction.

La somme des écarts au carré des valeurs théoriques par rapport aux valeurs expérimentales est donnée dans la dernière ligne de la 11e colonne du tableau. Cela vous permet de déterminer écart-type:

PRATIQUE #3

Sujet : Méthodes de résolution de systèmes d'équations

Méthode de Gauss - méthode d'exclusion successive des inconnues - appartient au groupe méthodes précises et s'il n'y avait pas d'erreur de calcul, une solution exacte pourrait être obtenue.

Pour les calculs manuels, il est conseillé d'effectuer les calculs dans un tableau contenant une colonne de contrôle. Vous trouverez ci-dessous une version générale d'un tel tableau pour résoudre un système d'équations linéaires du 4ème ordre.

				Membres gratuits	Colonne de contrôle

				Membres gratuits	Colonne de contrôle

Exemple 1 A l'aide de la méthode de Gauss, résolvez le système d'équations du 4ème ordre :

Ces valeurs approximatives des racines peuvent être substituées dans le système d'équations d'origine et calculées résidus - , qui sont les différences entre les parties droite et gauche de chaque équation du système lors de la substitution des racines trouvées dans la partie gauche. Ensuite, ils sont substitués en tant que membres libres du système résiduel et obtiennent amendements

racines - :

Afin de lisser les fonctions discrètes d'Altman, et d'introduire ainsi l'idée de continuité dans la théorie, l'approximation intégrale quadratique moyenne par un polynôme de degrés différents a été utilisée.

On sait qu'une suite de polynômes d'interpolation sur des nœuds équidistants ne converge pas nécessairement vers une fonction, même si la fonction est infiniment différentiable. Pour la fonction approchée, à l'aide d'une disposition appropriée des nœuds, il est possible de réduire le degré du polynôme. . La structure des fonctions d'Altman est telle qu'il est plus pratique d'utiliser l'approximation de la fonction non pas au moyen d'une interpolation, mais en construisant la meilleure approximation racine carrée moyenne dans un espace linéaire normalisé. Considérez les concepts et informations de base pour construire la meilleure approximation. Des problèmes d'approximation et d'optimisation sont posés dans des espaces normés linéaires.

Espaces normés métriques et linéaires

Les concepts les plus larges des mathématiques incluent « ensemble » et « mapping ». Les concepts d '«ensemble», «ensemble», «collection», «famille», «système», «classe» dans la théorie des ensembles non stricte sont considérés comme des synonymes.

Le terme « opérateur » est identique au terme « mappage ». Les termes "opération", "fonction", "fonctionnel", "mesure" sont des cas particuliers du concept "cartographie".

Les termes « structure », « espace » dans la construction axiomatique des théories mathématiques ont également acquis une signification fondamentale à l'heure actuelle. Les structures mathématiques comprennent les structures de la théorie des ensembles (ensembles ordonnés et partiellement ordonnés); structures algébriques abstraites (semigroupes, groupes, anneaux, anneaux de division, corps, algèbres, treillis); structures différentielles (formes différentielles externes, espaces fibreux) , , , , , , .

Une structure s'entend comme un ensemble fini constitué d'ensembles d'un porteur (ensemble principal), d'un champ numérique (ensemble auxiliaire), et d'une application définie sur les éléments du porteur et les numéros du champ. Si l'ensemble des nombres complexes est pris comme porteur, il joue alors le rôle d'ensemble principal et d'ensemble auxiliaire. Le terme "structure" est identique au concept d'"espace".

Pour définir un espace, il faut tout d'abord définir un ensemble porteur avec ses éléments (points), désignés par des lettres latines et grecques

Des ensembles d'éléments réels (ou complexes) peuvent servir de support : nombres ; vecteurs, ; Matrices, ; Séquences, ; Les fonctions

Les ensembles peuvent aussi servir d'éléments porteurs : axe réel, plan, espace tridimensionnel (et multidimensionnel), permutations, mouvements ; ensembles abstraits.

Définition. Un espace métrique est une structure qui forme un triplet, où la cartographie est une fonction réelle non négative de deux arguments pour tout x et y de M et satisfait trois axiomes.

• 1 - non-négativité; , à.
• 2- - symétrie ;
• 3- - axiome de réflexivité.

où sont les distances entre les éléments.

Dans un espace métrique, une métrique est spécifiée et le concept de la proximité de deux éléments de l'ensemble de support est formé.

Définition. Un espace linéaire réel (vecteur) est une structure où le mappage est l'opération additive d'ajout d'éléments lui appartenant, et le mappage est l'opération de multiplication d'un nombre par un élément à partir de.

L'opération signifie que pour deux éléments quelconques, le troisième élément est défini de manière unique, appelé leur somme et désigné par, et les axiomes suivants sont valables.

propriété commutative.

Propriété associative.

Il y a un élément spécial dans B, noté tel qu'il vaut pour tout.

car tout existe, tel que.

L'élément est appelé opposé à et est noté par.

L'opération signifie que pour tout élément et tout nombre, un élément est défini, noté par et les axiomes sont remplis :

Un élément (points) d'un espace linéaire est aussi appelé un vecteur. Les axiomes 1 à 4 définissent un groupe (additif), appelé module et représentant une structure.

Si une opération dans une structure n'obéit à aucun axiome, alors une telle structure est appelée groupoïde. Cette structure est extrêmement pauvre ; il ne contient aucun axiome d'associativité, alors la structure est appelée un monoïde (semigroupe).

Dans la structure, à l'aide de la cartographie et des axiomes 1 à 8, la propriété de linéarité est définie.

Ainsi, l'espace linéaire est un module de groupe, dans la structure duquel une opération supplémentaire a été ajoutée - multiplication des éléments de support par un nombre avec 4 axiomes. Si au lieu d'une opération, avec une autre opération de groupe de multiplication d'éléments avec 4 axiomes, et postule l'axiome de distributivité, alors une structure appelée un champ apparaît.

Définition. Un espace normé linéaire est une structure dans laquelle l'application satisfait les axiomes suivants :

• 1. Et alors et alors seulement, quand.
• 2. , .
• 3. , .

Et ainsi de suite en seulement 11 axiomes.

Par exemple, si nous ajoutons un module qui a les trois propriétés de norme à la structure du champ de nombres réels, où sont des nombres réels, alors le champ de nombres réels devient un espace normé

Il existe deux manières courantes d'introduire la norme : soit en spécifiant explicitement la forme d'intervalle de la fonctionnelle convexe homogène , , soit en spécifiant le produit scalaire , .

Soit, alors la forme de la fonctionnelle peut être spécifiée d'un nombre infini de façons en changeant la valeur :

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

La deuxième façon courante d'accepter l'affectation est qu'une autre application est introduite dans la structure de l'espace (une fonction de deux arguments, généralement désignée par et appelée le produit scalaire).

Définition. L'espace euclidien est une structure dans laquelle le produit scalaire contient la norme et satisfait les axiomes :

• 4. , et si et seulement si

Dans l'espace euclidien, la norme est engendrée par la formule

Il découle des propriétés 1 à 4 du produit scalaire que tous les axiomes de la norme sont satisfaits. Si le produit scalaire est sous la forme, alors la norme sera calculée par la formule

La norme d'espace ne peut pas être spécifiée à l'aide du produit scalaire , .

Dans les espaces à produit scalaire, apparaissent des qualités absentes des espaces normés linéaires (orthogonalité des éléments, égalité des parallélogrammes, théorème de Pythagore, identité d'Apollonius, inégalité de Ptolémée. L'introduction d'un produit scalaire permet de résoudre plus efficacement les problèmes d'approximation.

Définition. Une séquence infinie d'éléments dans un espace normé linéaire est dite convergente vers la norme (simplement convergente ou ayant une limite en) s'il existe un élément tel que pour tout il y a un nombre dépendant de tel que pour

Définition. Une séquence d'éléments dans est dite fondamentale si pour tout il y a un nombre dépendant de celui-ci et sont satisfaits (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, p. 48)

Définition. Un espace de Banach est une structure dans laquelle toute séquence fondamentale converge en norme.

Définition. Un espace de Hilbert est une structure dans laquelle toute séquence fondamentale converge dans la norme générée par le produit scalaire.

Prenons un système de coordonnées semi-quadratique. Il s'agit d'un tel système de coordonnées, dans lequel l'échelle est quadratique le long de l'abscisse, c'est-à-dire les valeurs de division sont tracées selon l'expression, ici m-échelle dans une unité de longueur, par exemple, en cm.

Une échelle linéaire est tracée le long de l'axe y conformément à l'expression

Nous plaçons des points expérimentaux sur ce système de coordonnées. Si les points de ce graphique sont situés approximativement en ligne droite, cela confirme notre hypothèse selon laquelle la dépendance yà partir de X est bien exprimé par une fonction de la forme (4.4). Pour trouver les coefficients une et b vous pouvez maintenant appliquer l'une des méthodes décrites ci-dessus : la méthode du fil étiré, la méthode des points sélectionnés ou la méthode de la moyenne.

Méthode du fil serré s'applique de la même manière que pour une fonction linéaire.

Méthode des points sélectionnés on peut postuler comme ça. Sur un graphique rectiligne, prenez deux points (éloignés l'un de l'autre). On note les coordonnées de ces points et ( x, y). On peut alors écrire

A partir du système réduit de deux équations, on trouve une et b et substituez-les dans la formule (4.4) et obtenez la forme finale de la formule empirique.

Vous ne pouvez pas construire un graphique en ligne droite, mais prenez les nombres , ( x,y) directement depuis le tableau. Cependant, la formule obtenue avec ce choix de points sera moins précise.

Le processus de conversion d'un graphique courbe en ligne droite s'appelle l'aplatissement.

Méthode moyenne. Elle s'applique de la même manière que dans le cas de dépendance linéaire. Nous divisons les points expérimentaux en deux groupes avec le même (ou presque le même) nombre de points dans chaque groupe. L'égalité (4.4) peut être réécrite comme

Nous trouvons la somme des résidus pour les points du premier groupe et égalons à zéro. On fait de même pour les points du deuxième groupe. On obtient deux équations à inconnues une et b. En résolvant le système d'équations, on trouve une et b.

Notez que lors de l'application de cette méthode, il n'est pas nécessaire de construire une ligne droite approximative. Un nuage de points dans un système de coordonnées semi-quadratique n'est nécessaire que pour vérifier qu'une fonction de la forme (4.4) convient à une formule empirique.

Exemple. Lors de l'étude de l'effet de la température sur la course du chronomètre, les résultats suivants ont été obtenus:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

Dans ce cas, nous ne nous intéressons pas à la température elle-même, mais à son écart par rapport à . On prend donc comme argument , où t- température en degrés Celsius de l'échelle habituelle.

Après avoir tracé les points correspondants sur le repère cartésien, on remarque qu'une parabole d'axe parallèle à l'axe y peut être considérée comme une courbe approchée (Fig. 4). Prenons un système de coordonnées semi-quadratique et traçons des points expérimentaux dessus. On voit que ces points s'emboîtent assez bien sur une droite. Donc la formule empirique

peuvent être recherchés dans le formulaire (4.4).

Définissons les coefficients une et b par la méthode moyenne. Pour ce faire, nous divisons les points expérimentaux en deux groupes: dans le premier groupe - les trois premiers points, dans le second - les quatre points restants. En utilisant l'égalité (4.5), nous trouvons la somme des résidus pour chaque groupe et égalisons chaque somme à zéro.

Souvent les valeurs de la fonction interpolée toi, toi2 , ..., yn sont déterminés à partir de l'expérience avec quelques erreurs, il est donc déraisonnable d'utiliser l'approximation exacte aux nœuds d'interpolation. Dans ce cas, il est plus naturel d'approximer la fonction non pas par des points, mais par moyenne, c'est-à-dire dans l'une des normes L p .

Espace 1 p - ensemble de fonctions d(x), défini sur le segment [un B] et modulo intégrable avec p-ième degré, si la norme est définie

La convergence en une telle norme est appelée convergence en moyenne. L'espace 1,2 est appelé l'espace de Hilbert, et la convergence dans celui-ci est rms.

Soit la fonction Ax) et l'ensemble des fonctions φ(x) d'un espace normé linéaire donné. Dans le cadre du problème d'interpolation, d'approximation et d'approximation, les deux problèmes suivants peuvent être formulés.

Première tâche est une approximation avec une précision donnée, c'est-à-dire selon un e trouver un φ(x) tel que l'inégalité |[Ax) - φ(x)|| G..

Deuxième tâche est une recherche la meilleure approximation c'est-à-dire la recherche d'une fonction φ*(x) qui vérifie la relation :

Définissons sans preuve une condition suffisante pour l'existence de la meilleure approximation. Pour cela, dans l'espace linéaire des fonctions, on choisit un ensemble paramétré par l'expression

où l'ensemble des fonctions φ[(x), ..., φn(x) sera supposé linéairement indépendant.

On peut montrer que dans tout espace normé avec approximation linéaire (2.16) la meilleure approximation existe, bien qu'elle soit unique dans tout espace linéaire.

Considérons l'espace de Hilbert LzCp) des fonctions réelles intégrables de carré de poids p(x) > 0 sur [ , où le produit scalaire ( g, h) déterminé par

formule:

En remplaçant la combinaison linéaire (2.16) par la condition de meilleure approximation, on trouve

En égalant à zéro les dérivées par rapport aux coefficients (D, k= 1, ..., П, on obtient un système d'équations linéaires

Le déterminant du système d'équations (2.17) est appelé le déterminant de Gram. Le déterminant de Gram est non nul, car on suppose que le système de fonctions φ[(x), ..., φn(x) est linéairement indépendant.

Ainsi, la meilleure approximation existe et est unique. Pour l'obtenir, il faut résoudre le système d'équations (2.17). Si le système de fonctions φ1(x), ..., φn(x) est orthogonalisé, c'est-à-dire (φ/, φ,) = sy, où SCH,ij = 1, ..., P, alors le système d'équations peut être résolu sous la forme :

Les coefficients trouvés selon (2.18) Q, ..., th p sont appelés les coefficients de la série de Fourier généralisée.

Si un ensemble de fonctions φ t (X), ..., φ "(x), ... forme un système complet, alors en vertu de l'égalité de Parseval pour Π -» dont la norme d'erreur décroît indéfiniment. Cela signifie que la meilleure approximation converge rms vers Dx) avec une précision donnée.

On constate que la recherche des coefficients de la meilleure approximation par résolution du système d'équations (2.17) est pratiquement irréalisable, puisque plus l'ordre de la matrice de Gram augmente, plus son déterminant tend rapidement vers zéro, et plus la matrice devient mal conditionnée. Résoudre un système d'équations linéaires avec une telle matrice conduira à une perte de précision significative. Regardons ça.

Soit comme système de fonctions φ„ i =1, ..., П, les degrés sont choisis, c'est-à-dire φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, puis, en supposant que le segment est un segment d'approximation, nous trouvons la matrice de Gram

La matrice de Gram de la forme (2.19) est aussi appelée matrice de Hilbert. Il s'agit d'un exemple classique de matrice dite mal conditionnée.

En utilisant MATLAB, nous calculons le déterminant de la matrice de Hilbert sous la forme (2.19) pour certaines premières valeurs P Le Listing 2.5 montre le code du programme correspondant.

Annonce 23

% Calculer le déterminant des matrices de Hilbert % vider l'espace de travail tout effacer;

%choisir la valeur maximale de l'ordre % de la matrice de Hilbert ptah =6 ;

%construire une boucle pour générer des matrices %Hilbert et calculer leurs déterminants

pour n = 1 : nmax d(n)=det(hi I b(n)); finir

%afficher les valeurs des déterminants %des matrices de Hilbert

f o g ta t bout court

Après avoir élaboré le code du Listing 2.5, les valeurs déterminantes de la matrice de Hilbert pour les six premières matrices doivent apparaître dans la fenêtre de commande MATLAB. Le tableau ci-dessous présente les valeurs numériques correspondantes des ordres matriciels (n) et leurs déterminants (d). Le tableau montre clairement à quelle vitesse le déterminant de la matrice de Hilbert tend vers zéro à mesure que l'ordre augmente et, à partir des ordres 5 et 6, devient inacceptablement petit.

Tableau des valeurs du déterminant des matrices de Hilbert

L'orthogonalisation numérique du système de fonctions φ, i = 1, ..., П conduit également à une perte de précision notable, donc, afin de prendre en compte grand nombre termes du développement (2.16), il faut soit faire l'orthogonalisation analytiquement, c'est-à-dire exactement, soit utiliser un système tout fait de fonctions orthogonales.

Si lors de l'interpolation, les degrés sont généralement utilisés comme système de fonctions de base, alors lors de l'approximation, en moyenne, les polynômes orthogonaux avec un poids donné sont choisis comme fonctions de base. Les plus courants d'entre eux sont les polynômes de Jacobi, dont un cas particulier sont les polynômes de Legendre et Chebyshev. Les polynômes Lagsrr et Hermite sont également utilisés. Plus de détails sur ces polynômes peuvent être trouvés, par exemple, dans l'annexe Polynômes orthogonaux livres.

Dans le chapitre précédent, l'une des méthodes les plus courantes d'approximation des fonctions, l'interpolation, a été examinée en détail. Mais cette voie n'est pas la seule. Lors de la résolution de divers problèmes appliqués et de la construction de circuits de calcul, d'autres méthodes sont souvent utilisées. Dans ce chapitre, nous examinerons les moyens d'obtenir des approximations de la moyenne quadratique. Le nom d'approximations est associé aux espaces métriques dans lesquels le problème d'approximation d'une fonction est considéré. Au chapitre 1, nous avons introduit les notions « d'espace métrique linéaire normé » et « d'espace métrique euclidien » et vu que l'erreur d'approximation est déterminée par la métrique de l'espace dans lequel le problème d'approximation est considéré. Dans des espaces différents, le concept d'erreur a une signification différente. Compte tenu de l'erreur d'interpolation, nous ne nous sommes pas concentrés là-dessus. Et dans ce chapitre, nous devrons traiter cette question plus en détail.

5.1. Approximations par polynômes trigonométriques et polynômes de Legendre Espace l2

Considérons l'ensemble des fonctions intégrables de carré de Lebesgue sur le segment
, c'est-à-dire tel que l'intégrale doit exister
.

Puisque l'inégalité évidente tient, à partir de l'intégrabilité au carré des fonctions
et
doivent également suivre l'intégrabilité carrée de l'une de leurs combinaisons linéaires
, (où
et
 éventuels nombres réels), ainsi que l'intégrabilité du produit
.

Introduisons sur l'ensemble des fonctions carrées de Lebesgue intégrables sur l'intervalle
, l'opération du produit scalaire

. (5.1.1)

Il résulte des propriétés de l'intégrale que l'opération de produit scalaire introduite a presque toutes les propriétés du produit scalaire dans l'espace euclidien (voir paragraphe 1.10, p. 57) :

Seule la première propriété n'est pas entièrement exécutée, c'est-à-dire que la condition ne sera pas remplie.

En effet, si
, alors il ne s'ensuit pas que
sur la tranche
. Pour que l'opération introduite ait cette propriété, dans ce qui suit on convient de ne pas distinguer (considérer comme équivalentes) les fonctions
et
, Pour qui

.

Compte tenu de la dernière remarque, nous avons vu que l'ensemble des fonctions intégrables de carré de Lebesgue (plus précisément, l'ensemble des classes de fonctions équivalentes) forme un espace euclidien dans lequel l'opération de produit scalaire est définie par la formule (5.1.1). Cet espace est appelé espace de Lebesgue et est noté
ou plus court .

Puisque tout espace euclidien est automatiquement à la fois normé et métrique, l'espace
est aussi un espace normé et métrique. La norme (taille de l'élément) et la métrique (distance entre les éléments) y sont généralement saisies de manière standard :

(5.1.2)

(5.1.3)

Les propriétés (axiomes) de la norme et de la métrique sont données dans la section 1.10. Éléments de l'espace
ne sont pas des fonctions, mais des classes de fonctions équivalentes. Les fonctions appartenant à une même classe peuvent avoir des valeurs différentes sur tout sous-ensemble fini voire dénombrable
. Par conséquent, les approximations dans l'espace
sont définis de manière ambiguë. Cette caractéristique désagréable de l'espace
payé par la commodité d'utiliser le produit scalaire.