Чему равна производная arcsin 1 sqrt 3. Производная e в степени x и показательной функции

Навигация по странице.

Производная постоянной.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не является , так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Пример.

Найти производные следующих постоянных функций

Решение.

В первом случае мы имеем производную натурального числа 3 , во втором случае нам приходится брать производную от параметра а , который может быть любым действительным числом, в третьем - производную иррационального числа , в четвертом случае имеем производную нуля (ноль является целым числом), в пятом – производную рациональной дроби .

Ответ:

Производные всех этих функций равны нулю для любого действительного x (на всей области определения)

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле :

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x .

Сначала будем полагать . В этом случае . Выполним логарифмирование равенства по основанию e и применим свойство логарифма:

Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:

Осталось провести доказательство для отрицательных x .

Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной (смотрите раздел ). То есть, . В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.

Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. То есть, . В этом случае и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:

Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1 ), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство .

Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p .

Пример.

Найти производные функций .

Решение.

Первую и третью функцию приведем к табличному виду , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции:

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

При решении задач дифференцирования мы будем постоянно обращаться к таблице производных основных функций, иначе зачем мы ее составляли и доказывали каждую формулу. Рекомендуем запомнить все эти формулы, в дальнейшем это сэкономит Вам массу времени.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования :

1. Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Производная суммы /разности функций: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Производная произведения двух функций: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Производная дроби : $$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg)" = \frac{u"v - uv"}{v^2} $$
5. Производная сложной функции : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)" = px^{p-1} $ имеем: $$ y" = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2 x^{2-1} + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g" означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Пример 1. Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x 100)"=100 x 99

Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С - константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производная суммы равна сумме производных

(f + g)"=f" + g"

Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)"=100 x 99 и (sin x)"=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)"=f" – g"

Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(e x)"=e x , (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)"=f" * g + f * g"

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Производная частного

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Производная сложной функции

Сложная функция - это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

(u (v))"=u"(v)*v"

Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) - сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v - внутренней.

Например:

y=sin (x 3) - сложная функция.

Тогда y=sin(t) - внешняя функция

t=x 3 - внутренняя.

Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

(sin t)"=cos (t) - производная внешней функции (где t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - производная внутренней функции

Тогда (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 - производная сложной функции.

Дата: 20.11.2014

Что такое производная?

Таблица производных.

Производная - одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

Понимать суть несложных заданий с производной;

Успешно решать эти самые несложные задания;

Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала - приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов - чтобы понять задание, и всего несколько правил - чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование - это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование - действие над функцией.

Производная - результат этого действия.

Так же, как, например, сумма - результат сложения. Или частное - результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y" или f"(x) или S"(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли...)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)" , (x 3 )" , (sinx)" и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего - научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной - это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире - бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе - линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов - штука достаточно трудоёмкая. А математики - тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева - элементарная функция, справа - её производная.

	Функция y	Производная функции y y"
1	C (постоянная величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - любое число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x (a = e )

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции - одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице - вроде и нету...

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) " = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y" = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию... Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню - это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y" = (sin x)" = cosx

Подставляем ноль в производную:

y"(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию - это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает...

Но если увидеть, что наша функция - это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это - табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y" = - sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями... То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая - это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования - таблицей производных - всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Определение производной от функции есть обратная операция интегрированию функции. Для элементарных функций вычислить производную не составляет труда, достаточно воспользоваться таблицей производных. Если же нам необходимо найти производную от сложной функции, то дифференцирование будет уже намного сложнее, потребует большей внимательности и времени. При этом очень легко допустить описку или незначительную ошибку, которая приведет к окончательному неверному ответу. Поэтому всегда важно иметь возможность проверить своё решение. Это вы можете сделать с помощью данного онлайн-калькулятора, который позволяет находить производные от любых функций онлайн с подробным решением бесплатно, без регистрации на сайте. Нахождение производной функции (дифференцирование) это отношение приращения функции к приращению аргумента (численно производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции). Если необходимо вычислить производную от функции в конкретной точке, то нужно в полученном ответе вместо аргумента x подставить его численное значение и рассчитать выражение. При решении производной онлайн вам необходимо ввести функцию в соответсвующее поле: при этом аргументом должна быть переменная x , поскольку дифференцирование идёт именно по нему. Для вычисления второй производной нужно продифференцировать полученный ответ.