Аль шугам нь тэгшитгэлийг онлайнаар тодорхойлж байгааг тодорхойл. Шугамын тэгшитгэлийн тухай ойлголт

хавтгай дээрх муруйг тодорхойлно. Бүлэг нэр томъёог квадрат хэлбэр гэж нэрлэдэг. - шугаман хэлбэр. Хэрэв квадрат хэлбэрт зөвхөн хувьсагчийн квадратууд байвал энэ хэлбэрийг каноник гэж нэрлэдэг ба квадрат хэлбэр нь канон хэлбэртэй байдаг ортонормаль суурийн векторуудыг квадрат хэлбэрийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг.
Матриц квадрат хэлбэрийн матриц гэж нэрлэдэг. Энд 1 2 = a 2 1 байна. В матрицыг диагональ хэлбэрт оруулахын тулд энэ матрицын хувийн векторуудыг суурь болгон авах шаардлагатай. , энд λ 1 ба λ 2 нь В матрицын хувийн утга юм.
В матрицын хувийн векторуудын үндсэн дээр квадрат хэлбэр нь каноник хэлбэртэй байна: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Энэ үйлдэл нь координатын тэнхлэгүүдийн эргэлттэй тохирч байна. Дараа нь координатын гарал үүсэл шилжиж, улмаар шугаман хэлбэрээс ангижрах болно.
Хоёрдугаар эрэмбийн муруйн каноник хэлбэр: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, мөн:
a) хэрэв λ 1 >0; λ 2 >0 нь эллипс, ялангуяа λ 1 =λ 2 үед тойрог;
б) λ 1 >0 бол λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) бидэнд гипербол байна;
в) хэрэв λ 1 =0 эсвэл λ 2 =0 бол муруй нь парабол бөгөөд координатын тэнхлэгүүдийг эргүүлсний дараа λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (энд λ 2 =0) хэлбэртэй байна. Бүтэн квадратыг нөхөхөд бид: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 байна.

Жишээ. 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 муруйн тэгшитгэл (0,i,j) координатын системд өгөгдсөн бөгөөд энд i =(1,0) ба j =(0,1) байна. .
1. Муруйн төрлийг тодорхойлох.
2. Тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулж, анхны координатын системд муруй байгуул.
3. Харгалзах координатын хувиргалтыг ол.

Шийдэл. B=3x 2 +10xy+3y 2 квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэгт, өөрөөр хэлбэл каноник хэлбэрт шилжүүлнэ. Энэ квадрат хэлбэрийн матриц нь байна . Бид энэ матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олно.

Онцлог тэгшитгэл:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Квадрат хэлбэрийн төрөл: .
Анхны тэгшитгэл нь гиперболыг тодорхойлдог.
Квадрат хэлбэрийн хэлбэр нь хоёрдмол утгатай болохыг анхаарна уу. Та 8x 1 2 -2y 1 2 гэж бичиж болно, гэхдээ муруйн төрөл нь ижил хэвээр байна - гипербол.
Бид квадрат хэлбэрийн үндсэн тэнхлэгүүдийг, өөрөөр хэлбэл В матрицын хувийн векторуудыг олдог. .
x 1 =1 үед λ=-2 тоонд тохирох хувийн вектор: x 1 =(1,-1).
Нэгж хувийн векторын хувьд бид векторыг авдаг , x 1 векторын урт хаана байна.
Хоёр дахь хувийн утга λ=8-д тохирох хоёр дахь хувийн векторын координатыг системээс олно.
.
1 ,j 1).
4.3.3 дахь хэсгийн (5) томъёоны дагуу. Шинэ суурь руу шилжье:
эсвэл

; . (*)

Бид x ба y илэрхийлэлүүдийг анхны тэгшитгэлд оруулаад хувиргасны дараа дараахь зүйлийг авна. .
Бүрэн квадратуудыг сонгох: .
Бид координатын тэнхлэгүүдийг шинэ гарал үүсэлтэй зэрэгцүүлэн орчуулж байна. , .
Хэрэв бид эдгээр харилцааг (*) -д оруулж, x 2 ба y 2-ын тэгшитгэлийг шийдвэл бид дараахь зүйлийг олж авна. , . Координатын системд (0*, i 1, j 1) энэ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. .
Муруй байгуулахын тулд хуучин координатын системд шинээр байгуулна: x 2 =0 тэнхлэгийг хуучин координатын системд x-y-3=0 тэгшитгэлээр, y 2 =0 тэнхлэгийг x+ тэгшитгэлээр тодорхойлно. y-1=0. 0 * (2,-1) координатын шинэ системийн гарал үүсэл нь эдгээр шугамын огтлолцлын цэг юм.
Ойлголтыг хялбарчлахын тулд бид график байгуулах үйл явцыг 2 үе шатанд хуваана.
1. Хуучин координатын системд x-y-3=0, x+y-1=0 тэгшитгэлээр тус тус заасан x 2 =0, y 2 =0 тэнхлэгтэй координатын системд шилжих.

2. Үүссэн координатын систем дэх функцийн графикийг байгуулах.

Графикийн эцсийн хувилбар нь иймэрхүү харагдаж байна (харна уу. Шийдэл: Шийдэл татаж авах

Дасгал хийх. Дараах тэгшитгэл бүр нь эллипсийг тодорхойлж, түүний төвийн С, хагас тэнхлэг, хазгай, директрисын координатыг ол. Зураг дээр тэгш хэмийн тэнхлэг, голомт, чиглүүлэлтийн тэнхлэгүүдийг харуулсан эллипс зур.
Шийдэл.

§ 9. Шугамын тэгшитгэлийн тухай ойлголт.

Тэгшитгэл ашиглан шугамыг тодорхойлох

F хэлбэрийн тэгш байдал (x, y) = 0хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг x, у,бүх хос тоонуудын хувьд үнэн биш бол x, y.Тэд хоёр тоо хэлдэг x = x 0 , y=y 0, хэлбэрийн зарим тэгшитгэлийг хангана F(x, y)=0,хувьсагчийн оронд эдгээр тоог орлуулах үед хэрэв XТэгээд цагттэгшитгэлд түүний зүүн тал алга болно.

Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэл (тодорхой координатын систем дэх) нь энэ шулуун дээр байрлах цэг бүрийн координатаар хангагдсан, түүн дээр ороогүй цэг бүрийн координатаар хангагддаггүй хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Дараах зүйлд "шугамын тэгшитгэл" гэсэн илэрхийллийн оронд өгөгдсөн болно F(x, y) = 0" гэж бид ихэвчлэн товчоор хэлэх болно: өгөгдсөн мөр F (x, y) = 0.

Хэрэв хоёр шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн бол F(x, y) = 0Тэгээд Ф(x, y) = Q,дараа нь системийн хамтарсан шийдэл

Тэдний бүх уулзвар цэгийг өгдөг. Илүү нарийвчлалтайгаар, энэ системийн хамтарсан шийдэл болох хос тоо бүр нь огтлолцох цэгүүдийн аль нэгийг тодорхойлдог.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4цагт+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4цагт -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Туйлын координатын системд цэгүүдийг өгсөн

Эдгээр цэгүүдийн аль нь туйлын координат  = 2 cos  тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун дээр хэвтэж, аль нь түүн дээр байхгүй болохыг тодорхойл. Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ? (Зураг дээр зураарай :)

164.  = тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун дээр
, Туйлтын өнцөг нь дараах тоотой тэнцүү цэгүүдийг ол: a) ,b) - ,c) 0, d) . Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ?

(Зураг дээр бүтээгээрэй.)

165.  = тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун дээр
, туйлын радиус нь дараах тоотой тэнцүү цэгүүдийг ол: a) 1, b) 2, c)
. Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ? (Зураг дээр бүтээгээрэй.)

166. Дараах тэгшитгэлээр туйлын координатаар ямар шугам тодорхойлогддогийг тогтоо (зураг дээр байгуул).

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  нүгэл  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 нүгэл ; 8) гэм  =

Томъёогоор өгөгдсөн функцийг (тэгшитгэл) авч үзье.

Энэ функц, тиймээс тэгшитгэл (11) нь хавтгай дээрх сайн тодорхойлогдсон шугамтай тохирч байгаа бөгөөд энэ нь энэ функцийн график юм (20-р зургийг үз). Функцийн графикийн тодорхойлолтоос харахад энэ шугам нь (11) тэгшитгэлийг хангасан координатууд нь хавтгайн зөвхөн эдгээр цэгүүдээс бүрддэг.

Одоо больё

Энэ функцийн график болох шугам нь (12) тэгшитгэлийг хангасан координатууд нь хавтгайн зөвхөн эдгээр цэгүүдээс бүрдэнэ. Энэ нь хэрэв цэг заасан шулуун дээр оршдог бол түүний координатууд (12) тэгшитгэлийг хангана гэсэн үг юм. Хэрэв цэг нь энэ шулуун дээр ороогүй бол түүний координат нь (12) тэгшитгэлийг хангахгүй болно.

(12) тэгшитгэлийг y-д хамааруулан шийднэ. Тэгшитгэл гэх мэт у-ийн хувьд шийдэгдээгүй x ба у-г агуулсан тэгшитгэлийг авч үзье

Хавтгай дээрх энэ тэгшитгэл нь мөн шугамтай тохирч байгааг харуулъя, тухайлбал, эх нь төвтэй, радиус нь 2-той тэнцүү тойрог. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье.

Түүний зүүн тал нь цэгийн гарал үүсэлээс зайны квадрат юм (§ 2, 2-р зүйлийн 3-р томъёог үз). (14) тэгшитгэлээс энэ зайны квадрат нь 4-тэй тэнцүү байна.

Энэ нь координатууд нь (14) тэгшитгэл, тиймээс (13) тэгшитгэлийг хангасан аливаа цэг нь эх үүсвэрээс 2-ын зайд байрлана гэсэн үг юм.

Ийм цэгүүдийн геометрийн байршил нь эх цэг дээр төвтэй тойрог ба радиус 2. Энэ тойрог нь (13) тэгшитгэлд тохирох шугам байх болно. Түүний аль нэг цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (13) хангаж байгаа нь ойлгомжтой. Хэрэв цэг нь бидний олсон тойрог дээр ороогүй бол түүний гарал үүсэлээс зайны квадрат нь 4-өөс их эсвэл бага байх бөгөөд энэ нь ийм цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (13) хангахгүй гэсэн үг юм.

Одоо ерөнхий тохиолдолд тэгшитгэлийг өгье

зүүн талд нь x ба у-г агуулсан илэрхийлэл байна.

Тодорхойлолт. (15) тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун нь координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангадаг хавтгайн цэгүүдийн геометрийн байрлал юм.

Энэ нь хэрэв L шулууныг тэгшитгэлээр тодорхойлох юм бол дурын L цэгийн координатууд энэ тэгшитгэлийг хангах боловч L-ээс гадуур орших хавтгайн аль ч цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (15) хангахгүй гэсэн үг юм.

(15) тэгшитгэлийг шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

Сэтгэгдэл. Аливаа тэгшитгэл нь ямар ч шугамыг тодорхойлдог гэж бодож болохгүй. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь ямар ч шугамыг тодорхойлдоггүй. Үнэн хэрэгтээ, y-ийн бодит утгуудын хувьд энэ тэгшитгэлийн зүүн тал эерэг, баруун тал нь тэгтэй тэнцүү тул энэ тэгшитгэлийг хавтгайн аль ч цэгийн координатаар хангаж чадахгүй.

Шугамыг хавтгай дээр зөвхөн декарт координатыг агуулсан тэгшитгэлээр бус туйлын координат дахь тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Туйлын координат дахь тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун нь туйлын координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангадаг хавтгайн цэгүүдийн геометрийн байрлал юм.

Жишээ 1. -д Архимед спираль байгуул.

Шийдэл. Туйлын өнцгийн зарим утгууд болон туйлын радиусын харгалзах утгуудын хүснэгтийг хийцгээе.

Бид туйлын координатын системд туйлтай давхцах цэгийг байгуулдаг; дараа нь тэнхлэгийг туйлын тэнхлэгт өнцгөөр зурж, бид энэ тэнхлэг дээр эерэг координат бүхий цэгийг байгуулсны дараа туйлын өнцөг ба туйлын радиусын эерэг утгатай цэгүүдийг байгуулдаг (эдгээр цэгүүдийн тэнхлэгүүд нь 30-д заагаагүй).

Цэгүүдийг холбосноор бид 1-р зурагт заасан муруйн нэг салбарыг авна. 30 тод зураастай. 0-ээс энэ салбар руу шилжих үед муруй нь хязгааргүй тооны эргэлтээс бүрдэнэ.

F(x, y) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг бүх x, y тооны хосуудад үнэн биш бол x, y хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэнэ. Тэгшитгэлд x, y хувьсагчийн оронд эдгээр тоог орлуулах үед түүний зүүн тал тэг болж байвал x = x 0, y = y 0 гэсэн хоёр тоо F(x, y) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хангана гэж тэд хэлдэг. .

Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэл (тодорхой координатын системд) нь энэ шулуун дээр байрлах цэг бүрийн координатаар хангагддаг, түүн дээр байхгүй цэг бүрийн координатаар хангагддаггүй хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Дараах зүйлд "F(x, y) = 0 шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн" гэсэн илэрхийлэлийн оронд бид ихэвчлэн F(x, y) = 0 шугамыг өгөгдсөн гэж товчхон хэлэх болно.

Хэрэв F(x, y) = 0 ба Ф(х, у) = 0 гэсэн хоёр шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн бол системийн хамтарсан шийдэл.

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

бүх огтлолцох цэгүүдийг өгдөг. Илүү нарийвчлалтайгаар, энэ системийн хамтарсан шийдэл болох хос тоо бүр нь огтлолцох цэгүүдийн аль нэгийг тодорхойлдог.

157. Өгөгдсөн оноо *) М 1 (2; -2), М 2 (2; 2), М 3 (2; - 1), М 4 (3; -3), М 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Өгөгдсөн цэгүүдийн аль нь x + y = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун дээр хэвтэж, аль нь тусахгүй болохыг тодорхойл. Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ? (Зураг дээр зур.)

158. x 2 + y 2 = 25 тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун дээр абсцисс нь дараах тоотой тэнцүү цэгүүдийг ол: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; нэг шулуун дээр ординатууд нь дараах тоотой тэнцүү цэгүүдийг ол: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ? (Зураг дээр зур.)

159. Дараахь тэгшитгэлээр ямар шугам тодорхойлогдохыг тодорхойл (зураг дээр байгуул): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2х 2 + 3у 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Өгөгдсөн мөрүүд: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Аль нь эх үүсвэрээр дамжин өнгөрөхийг тодорхойл.

161. Өгөгдсөн мөрүүд: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Тэдний огтлолцох цэгийг ол: a) Ox тэнхлэгтэй; б) Ой тэнхлэгтэй.

162. Хоёр шулууны огтлолцох цэгийг ол.

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Туйлын координатын системд M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) ба M цэгүүд. 5 ( 1; 2/3π). Эдгээр цэгүүдийн аль нь p = 2cosΘ тэгшитгэлээр туйлын координатаар тодорхойлогдсон шулуун дээр хэвтэж, аль нь түүн дээр байхгүй болохыг тодорхойл. Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ? (Зураг дээр зур.)

164. p = 3/cosΘ тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун дээр туйлын өнцөг нь дараах тоотой тэнцүү цэгүүдийг ол: a) π/3, b) - π/3, в) 0, г) π/6. Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ? (Зураг дээр бүтээгээрэй.)

165. p = 1/sinΘ тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун дээр туйлын радиус нь дараах тоотой тэнцүү цэгүүдийг ол: a) 1 6) 2, c) √2. Энэ тэгшитгэлээр аль шугамыг тодорхойлох вэ? (Зураг дээр бүтээгээрэй.)

166. Дараах тэгшитгэлээр туйлын координатаар ямар шугам тодорхойлогддог болохыг тогтоо (зураг дээр байгуул): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Зураг дээр дараах Архимед спиральуудыг байгуул: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Зураг дээр дараах гипербол спиральуудыг байгуул: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5 / Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Зураг дээр дараах логарифмын спиральуудыг байгуул: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Архимедийн спираль p = 3Θ туйлаас гарч, туйлын тэнхлэг рүү Θ = π/6 өнцгөөр налуу туяагаар зүсэгдсэн хэсгүүдийн уртыг тодорхойл. Зураг зурах.

171. Архимедийн спираль p = 5/πΘ дээр туйлын радиус нь 47 байх С цэгийг авав. Энэ спираль С цэгийн туйлын радиусыг хэдэн хэсэгт огтолж байгааг тодорхойл. Зураг зур.

172. Гиперболын спираль P = 6/Θ дээр туйлын радиус нь 12 P цэгийг олоорой. Зургийг зур.

173. p = 3 Θ логарифм спираль дээр туйлын радиус нь 81 P цэгийг ол.Зураг зур.

Хэлбэрийн хамаарлыг авч үзье F(x, y)=0, холбох хувьсагч xТэгээд цагт. Бид тэгш байдлыг дуудах болно (1) x, y хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл,хэрэв энэ тэгш байдал бүх хос тоонд үнэн биш бол XТэгээд цагт. Тэгшитгэлийн жишээ: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Хэрэв (1) нь бүх x ба у тоонуудын хувьд үнэн бол түүнийг дуудна таних тэмдэг. Баримт бичгийн жишээ: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Бид тэгшитгэлийг (1) гэж нэрлэх болно. олон цэгийн тэгшитгэл (x; y),хэрэв энэ тэгшитгэл нь координатаар хангагдвал XТэгээд цагтолонлогийн аль ч цэг бөгөөд энэ олонлогт хамааралгүй аливаа цэгийн координат хангагдахгүй.

Аналитик геометрийн чухал ойлголт бол шугамын тэгшитгэлийн тухай ойлголт юм. Тэгш өнцөгт координатын систем ба тодорхой шугамыг хавтгай дээр өгье α.

Тодорхойлолт.(1) тэгшитгэлийг шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг α (үүсгэсэн координатын системд), хэрэв энэ тэгшитгэл нь координатаар хангагдсан бол XТэгээд цагтшугаман дээр байрлах дурын цэг α , мөн энэ шулуун дээр ороогүй аливаа цэгийн координатыг хангаж болохгүй.

Хэрэв (1) нь шугамын тэгшитгэл юм α, Дараа нь бид (1) тэгшитгэлийг хэлэх болно. тодорхойлдог (багц)шугам α.

Шугам α зөвхөн (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр биш, мөн хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

F (P, φ) = 0туйлын координатуудыг агуулсан.

• өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл;

Тэнхлэгт перпендикуляр биш зарим шулуун шугамыг өгье Өө. За дуудъя налуу өнцөгтэнхлэгт шулуун шугам өгөгдсөн Өөбулан α , тэнхлэгийг эргүүлэх шаардлагатай Өөэерэг чиглэл нь шулуун шугамын аль нэг чиглэлтэй давхцах болно. Шулуун шугамын тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенс Өөдуудсан налууэнэ мөрийг үсгээр тэмдэглэнэ TO.

	K=tg α
		(1)

Хэрэв бид мэдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг гаргацгаая TOболон сегмент дэх үнэ цэнэ ОБ, энэ нь тэнхлэг дээр таслагдана OU.

(2)

y=kx+b

-ээр тэмдэглэе М"хавтгай цэг (x; y).Хэрэв бид шулуун зурвал Б.НТэгээд Н.М., тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ, дараа нь r BNM -тэгш өнцөгт. Т. MC C BM <=>, утгууд байх үед Н.М.Тэгээд Б.Ннөхцөлийг хангана: . Гэхдээ NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> (1)-ийг харгалзан бид энэ цэгийг олж авна M(x;y)Cэнэ мөрөнд<=>, координатууд нь тэгшитгэлийг хангаж байвал: =>

Тэгшитгэл (2) гэж нэрлэдэг өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл.Хэрэв K=0, дараа нь шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өөба түүний тэгшитгэл нь y = b.

• хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын тэгшитгэл;

(4)

Хоёр оноо өгье M 1 (x 1; y 1)Тэгээд M 2 (x 2; y 2).(3) цэг дээр авч байна М(x;y)ард M 2 (x 2; y 2),бид авдаг y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1).Тодорхойлох ксүүлчийн тэгшитгэлээс (3) тэгшитгэлд орлуулснаар бид шугамын хүссэн тэгшитгэлийг олж авна. . Энэ бол тэгшитгэл юм y 1 ≠ y 2, дараах байдлаар бичиж болно.

Хэрэв y 1 = y 2, дараа нь хүссэн шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна y = y 1. Энэ тохиолдолд шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө. Хэрэв x 1 = x 2, дараа нь цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам М 1Тэгээд М 2, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU, түүний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна x = x 1.

• өгөгдсөн налуутай өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл;

(3)

Аx + Вy + С = 0

Теорем.Тэгш өнцөгт координатын системд ӨөАливаа шулуун шугамыг нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн:

ба эсрэгээр, дурын коэффициентүүдийн тэгшитгэл (5). A, B, C (АТэгээд B ≠ 0нэгэн зэрэг) тэгш өнцөгт координатын систем дэх тодорхой шулуун шугамыг тодорхойлно Өө.

Баталгаа.

Эхлээд эхний мэдэгдлийг баталъя. Хэрэв шугам перпендикуляр биш бол Өө,Дараа нь нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно. y = kx + b, өөрөөр хэлбэл (5) хэлбэрийн тэгшитгэл, энд

A = k, B = -1Тэгээд C = b.Хэрэв шугам перпендикуляр байвал Өө,дараа нь түүний бүх цэгүүд ижил абсциссатай, утгатай тэнцүү байна α тэнхлэг дээр шулуун шугамаар таслагдсан сегмент Өө.

Энэ шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна x = α,тэдгээр. нь мөн (5) хэлбэрийн нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл бөгөөд энд A = 1, B = 0, C = - α.Энэ нь эхний мэдэгдлийг баталж байна.

Эсрэг заалтыг баталцгаая. (5) тэгшитгэл, ядаж нэг коэффициентийг өгье АТэгээд B ≠ 0.

Хэрэв B ≠ 0, дараа нь (5) хэлбэрээр бичиж болно. Хавтгай , бид тэгшитгэлийг авна y = kx + b, өөрөөр хэлбэл шулуун шугамыг тодорхойлох (2) хэлбэрийн тэгшитгэл.

Хэрэв B = 0, Тэр A ≠ 0ба (5) хэлбэрийг авна. -ээр тэмдэглэнэ α, бид авдаг

x = α, өөрөөр хэлбэл перпендикуляр шугамын тэгшитгэл Ө.

Тэгш өнцөгт координатын системд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугамыг дуудна эхний дарааллын шугамууд.

Маягтын тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0бүрэн бус, өөрөөр хэлбэл. Зарим коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.

1) C = 0; Ah + Wu = 0ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг тодорхойлно.

2) B = 0 (A ≠ 0); тэгшитгэл Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0ба параллель шулуун шугамыг тодорхойлно Өө.

(6) тэгшитгэлийг "хэсгүүд дэх" шулуун шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тоонууд АТэгээд бкоординатын тэнхлэгүүд дээр шулуун шугамыг таслах сегментүүдийн утгууд юм. Тэгшитгэлийн энэ хэлбэр нь шулуун шугамын геометрийн барилгад тохиромжтой.

• шугамын хэвийн тэгшитгэл;

Аx + Вy + С = 0 нь тодорхой шугамын ерөнхий тэгшитгэл бөгөөд (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

түүний хэвийн тэгшитгэл.

(5) ба (7) тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлж байгаа тул ( A 1x + B 1y + C 1 = 0Тэгээд

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) эдгээр тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь пропорциональ байна. Энэ нь тэгшитгэлийн бүх гишүүн (5)-ыг тодорхой M хүчин зүйлээр үржүүлснээр тэгшитгэлийг олж авна гэсэн үг юм. MA x + MV y + MS = 0, (7) тэгшитгэлтэй давхцаж байгаа нь i.e.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

M хүчин зүйлийг олохын тулд бид эдгээр тэгшитгэлийн эхний хоёрыг квадрат болгож, нэмнэ:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)