RMS ойролцоогоор. Хүснэгтээр өгөгдсөн функцүүдийн язгуур-дундаж квадратын ойролцоо тооцоолол

Хүснэгтэнд жишээлбэл, туршилтаас олж авсан функцын утгуудыг, өөрөөр хэлбэл алдаагаар хэмжсэн утгыг агуулна. Дараа нь ойролцоогоор ашиглана интерполяцийн төхөөрөмж Интерполяцийн зангилаа дахь олон гишүүнтийн утгыг хүснэгтийн утгуудтай тэнцүүлэх дээр үндэслэсэн , практик бус.

Асуудлыг ийм томъёолсноор та дундаж ойролцоо тооцоолол хийх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл цөөн тооны параметр бүхий нэлээд энгийн аналитик хамаарлаар хүснэгтээр өгөгдсөн функцийг дүрслэх хэрэгтэй. Эдгээр параметрүүдийн оновчтой сонголт нь хүснэгтэд өгөгдсөн функцийн язгуур-дундаж квадратын ойролцооллыг гүйцэтгэх боломжийг бидэнд олгоно.

Аналитик хамаарлын төрлийг сонгоххүснэгтийн өгөгдлийг тавихаас эхлэх хэрэгтэй координатын хавтгай- тэгэхээр туршилтын цэгүүдийн талбар үүснэ. Эдгээр цэгүүдийн талбараар гөлгөр муруй зурсан бөгөөд ингэснээр зарим цэгүүд нь энэ муруйн дээр хэвтэж, зарим нь илүү өндөр, зарим цэгүүд нь зурсан муруйгаас доогуур байна. Энэ муруйн хэлбэрээр аналитик хамаарлын төрлийг тодорхойлох хэрэгтэй - энэ нь шугаман, экспоненциал, гипербол эсвэл бусад аль нь ч бай.

Гэсэн хэдий ч графикаас харахад аналитик хамаарлын төрлийг нүдээр сонгох нь маш хэцүү байдаг. Тиймээс санал болгосон аналитик хамаарлын төрлийг бүдүүлэг тооцоолох, сонгох арга. Туршилтын цэгүүдийн талбараар дамжуулан муруйг янз бүрийн аргаар зурж болох ба тооцооллын хүснэгтэд өөр өөр лавлах цэгүүдийг авч болох бөгөөд санал болгож буй техникийн нарийвчлал нь тодорхойгүй тул энэ арга нь үнэхээр ойролцоо бөгөөд буруу юм. Үүний зэрэгцээ энэ нь хамаарлын төрлийг сонгох ойролцоо арга гэж үзэж болно.

Дараахь үйлдлийн алгоритмыг санал болгож байна.

1. Эх хүснэгтэд координат (x 1, y 1) ба (x n, y n) - жишиг цэгүүд, бие биенээсээ хол зайд байрлах хоёр цэгийг сонгож, хос координат бүрт арифметик дундаж, геометрийн дундаж, гармоник дундажийг тооцоолно.

2. Туршилтын цэгүүдийн талбараар зурсан муруй дээр олсон абсцисс x ar, x geom, x harmm-д харгалзах гурван ординатыг ол.

3. Тооцоолсонтой муруйгаас олдсон харьцуулалтыг гүйцэтгэнэ Дараахь модулиудын зөрүүг тооцоолох замаар:

4. Олдсон утгуудаас хамгийн бага утгыг сонгоно:

5. Дүгнэлт:хэрэв энэ нь хамгийн бага байсан бол

Шугаман хамаарал

Хараат байдал нь шинж тэмдэг юм

Бутархай шугаман хамаарал

Хамаарал нь логарифм юм

Эрчим хүчний хамаарал

Гиперболын хамаарал

Бутархай-рациональ хамаарал

Эдгээр хамаарлын аль нэгийг координатын хувиргалт хийх замаар шугаман болгон бууруулж болно. өгөгдлийн тохируулга.
Тиймээс эхний үе шат нь параметрүүд нь тодорхойлогдоогүй аналитик хамаарлын төрлийг сонгох замаар дуусдаг.

Хоёр дахь үе шатСонгосон аналитик хамаарлын коэффициентүүдийн хамгийн сайн утгыг тодорхойлоход оршино. Үүний тулд математикийн хамгийн бага квадрат арга.

Энэ арга нь өгөгдсөн хүснэгтийн утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэрийг () онолын хамаарлын дагуу тооцсоноос () багасгахад суурилдаг. .

Сонгосон хамаарал нь байг шулуун шугам: . Функциональ хэсэгт орлуулах: . Дараа нь функцийг багасгасан:

Коэффициентуудын хамгийн сайн утгыг олохын тулд хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлэх шаардлагатай.

Өөрчлөлтийн дараа тэгшитгэлийн систем дараах хэлбэртэй байна.

Энэ системийн шийдэл шугаман тэгшитгэлолох боломжийг танд олгоно хамгийн сайн үнэ цэнэкоэффициент ба шугаман хамаарал.

Хэрэв сонгосон хамаарал бол квадрат парабол:

Дараа нь функцийг багасгасан: .

Парабола нь гурван хувьсах коэффициенттэй бөгөөд тэдгээрийн хамгийн сайн утгыг хүссэн коэффициенттэй харьцуулахад багасгасан функциональ деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар олох хэрэгтэй. Энэ нь коэффициентийг олох гурван шугаман тэгшитгэлийн дараах системийг олж авах боломжийг бидэнд олгоно.

Жишээ 1Дараах хүснэгтээр өгөгдсөн хамаарлын төрлийг тодорхойлно уу.

X
Ю	0,55	0,64	0,78	0,85	0,95	0,98	1,06	1,11

Шийдэл.

Хүснэгтэд заасан цэгүүдийг координатын хавтгайд хэрэглэнэ - a туршилтын мэдээллийн талбар. Энэ талбараар дамжуулан гөлгөр муруй.

Хүснэгтийн дагуу сонгосон хоёр зангуу цэг координатууд (3; 0.55) ба (10; 1.11) ба абсцисс ба ординатуудын хос тус бүрийн хувьд арифметик, геометрийн болон гармоник дундажийг тооцоолно.

Туршилтын цэгүүдийн талбараар зурсан муруйн дагуух гурван тооцоолсон абсциссуудын хувьд харгалзах гурван ординатыг тодорхойлно.

Анхаарна уутооцооны чиг баримжаа дээр. Дараа нь долоон ялгааны модулийг тодорхойлсон:

Бие биедээ ойрхон гурван хамгийн бага утгыг олж авдаг

Хоёр дахь шатанд хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан эдгээр хамаарал тус бүрийн коэффициентүүдийн хамгийн сайн утгыг тодорхойлж, дараа нь өгөгдсөн хүснэгтийн утгуудын стандарт хазайлтыг тооцоолох шаардлагатай.

Аналитик хамаарлын эцсийн сонголтыг стандарт хазайлтын хамгийн бага утгаар гүйцэтгэнэ.

Жишээ 2Хүснэгтэд үр дүнг харуулав туршилтын судалгаа, үүнийг шулуун шугамаар ойртуулж болно. Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан шугамын коэффициентүүдийн хамгийн сайн утгыг ол.

Шийдэл.

к	X к	Ү к	X k Y k	X k 2	Y к онол	Y k -Y k онол	(Y k -Y k онол) 2
		66,7			67,50	0,20	0,0400
		71,0	284,0		70,98	0,02	0,0004
		76,3	763,0		76,20	0,10	0,0100
		80,6	1209,0		80,55	0,05	0,0025
		85,7	1799,7		85,77	- 0,07	0,0049
		92,9	2694,1		92,73	0,17	0,0289
		99,4	3578,4		98,82	0,58	0,3364
		113,6	5793,6		111,87	1,73	2,9929
		125,1	8506,8		126,66	- 1,56	2,4336
хэмжээ		811,3	24628,6				5,8496

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл: .

Коэффициентийн хамгийн сайн утгыг тодорхойлох, хамгийн бага квадратын аргаар тодорхойлох шугаман тэгшитгэлийн систем нь дараахь хэлбэртэй байна.

Хүснэгтийн сүүлчийн эгнээний 2, 3, 4, 5-р баганын тооцоолсон нийлбэрийг тэгшитгэлийн системд орлуулъя.

Шугаман хамаарлын коэффициентийг хаанаас тодорхойлох вэ? Тиймээс онолын шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

. (*)

Хүснэгтийн зургаа дахь баганад аргументийн өгөгдсөн утгуудын онолын тэгшитгэлээр тооцоолсон функцын утгуудыг харуулав. Хүснэгтийн долоо дахь баганад функцийн өгөгдсөн утгууд (3-р багана) ба (*) тэгшитгэлээр тооцсон онолын утгуудын (6-р багана) хоорондын зөрүүний утгыг харуулав.

Найм дахь баганад туршилтын утгаас онолын утгын квадрат хазайлтыг харуулж, квадрат хазайлтын нийлбэрийг тодорхойлно. Одоо та олж болно

Жишээ 3Хүснэгтэд өгсөн туршилтын өгөгдлийг квадрат параболоор ойролцоолъё. Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан параболын коэффициентүүдийн хамгийн сайн утгыг ол.

Шийдэл.

к	X к	Ү к	X k 2	X k 3	X k 4	X k Y k	X k 2 Y k	Y к онол	Y k -Y k онол
		29,8						29,28	0,52	0,2704
		22,9				45,8	91,6	22,22	0,68	0,4624
		17,1				68,4	273,6	17,60	-0,50	0,2500
		15,1				75,5	377,5	15,56	-0,46	0,2116
		10,7				85,6	684,8	11,53	-0,83	0,6889
		10,1				101,0	1010,0	10,60	-0,50	0,2500
		10,6				127,2	1526,4	11,06	-0,46	0,2116
		15,2				228,0	3420,0	14,38	0,82	0,6724
Суми		122,5				731,5	7383,9			3,0173

Параболын коэффициентийг тодорхойлох шугаман тэгшитгэлийн систем нь дараахь хэлбэртэй байна.

Хүснэгтийн сүүлчийн эгнээнээс харгалзах нийлбэрүүдийг тэгшитгэлийн системд орлуулна.

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь коэффициентүүдийн утгыг тодорхойлох боломжийг танд олгоно.

Тиймээс сегмент дээрх хүснэгтэд өгөгдсөн хамаарлыг квадрат параболаар ойролцоогоор тооцоолно.

Өгөгдсөн томъёоны дагуу аргументийн өгөгдсөн утгуудыг тооцоолох нь функцийн онолын утгыг агуулсан хүснэгтийн ес дэх баганыг бүрдүүлэх боломжийг олгодог.

Туршилтын утгуудын онолын утгын квадрат хазайлтын нийлбэрийг хүснэгтийн 11-р баганын сүүлчийн мөрөнд өгсөн болно. Энэ нь тодорхойлох боломжийг танд олгоно стандарт хэлбэлзэл:

ДАДЛАГА №3

Сэдэв: Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга

Гауссын арга - үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан хасах арга - бүлэгт хамаарна нарийн аргууд Хэрэв тооцооллын алдаа байхгүй байсан бол нарийн шийдлийг олж авах боломжтой.

Гарын авлагын тооцооллын хувьд хяналтын багана агуулсан хүснэгтэд тооцоо хийхийг зөвлөж байна. 4-р дарааллын шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх ийм хүснэгтийн ерөнхий хувилбарыг доор харуулав.

				Чөлөөт гишүүд	Хяналтын багана

				Чөлөөт гишүүд	Хяналтын багана

Жишээ 1Гауссын аргыг ашиглан 4-р эрэмбийн тэгшитгэлийн системийг шийд.

Эдгээр язгуурын ойролцоо утгыг тэгшитгэлийн анхны системд орлуулж, тооцоолж болно. үлдэгдэл - , энэ нь олсон үндсийг зүүн хэсэгт орлуулах үед системийн тэгшитгэл бүрийн баруун ба зүүн хэсгийн ялгаа юм. Дараа нь тэд үлдэгдэл системийн чөлөөт гишүүдээр орлуулж, авдаг нэмэлт өөрчлөлт

үндэс -:

Алтманы салангид функцуудыг жигдрүүлж, тасралтгүй байдлын санааг онолд оруулахын тулд янз бүрийн зэрэгтэй олон гишүүнт язгуур-дундаж квадратын интегралын ойролцооллыг ашигласан.

Функц нь хязгааргүй дифференциалтай байсан ч адил алслагдсан зангилаа дээрх интерполяцийн олон гишүүнтүүдийн дараалал нь функцэд нийлэх албагүй гэдгийг мэддэг. Ойролцоох функцийн хувьд зангилааны тохиромжтой зохицуулалтын тусламжтайгаар олон гишүүнтийн зэргийг багасгах боломжтой. . Альтманы функцүүдийн бүтэц нь интерполяцийн аргаар биш, харин хэвийн шугаман орон зайд хамгийн сайн язгуур-дундаж-квадрат ойролцооллыг байгуулах замаар функцийн ойролцооллыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. Хамгийн сайн ойролцооллыг бий болгохын тулд үндсэн ойлголт, мэдээллийг анхаарч үзээрэй. Ойролцоо болон оновчлолын асуудлыг шугаман нормын орон зайд тавьдаг.

Метрийн болон шугаман нормын орон зай

Математикийн хамгийн өргөн ойлголтод "багц", "зураглал" багтдаг. Хатуу бус олонлогийн онол дахь "багц", "багц", "цуглуулга", "гэр бүл", "систем", "анги" гэсэн ойлголтыг ижил утгатай гэж үздэг.

"Оператор" гэсэн нэр томъёо нь "зураглал" гэсэн нэр томъёотой ижил юм. "Үйл ажиллагаа", "функц", "функциональ", "хэмжих" гэсэн нэр томъёо нь "зураглал" гэсэн ойлголтын онцгой тохиолдол юм.

Математикийн онолын аксиоматик бүтэц дэх "бүтэц", "орон зай" гэсэн нэр томъёо нь одоо үндсэн ач холбогдолтой болсон. Математикийн бүтцэд олонлогийн онолын бүтцүүд (захиалсан ба хэсэгчлэн эрэмбэлэгдсэн олонлогууд); хийсвэр алгебрийн бүтэц (хагас бүлэг, бүлэг, цагираг, хуваах цагираг, талбар, алгебр, тор); дифференциал бүтэц (гадна дифференциал хэлбэр, шилэн зай) , , , , , , .

Бүтэц гэдэг нь зөөгч (үндсэн багц), тоон талбар (туслах олонлог), зөөвөрлөгчийн элементүүд болон талбарын дугаарууд дээр тодорхойлсон зураглалаас бүрдэх хязгаарлагдмал олонлогийг ойлгодог. Хэрэв нийлмэл тоонуудын багцыг зөөвөрлөгч болгон авсан бол энэ нь үндсэн болон туслах олонлогийн үүрэг гүйцэтгэдэг. "Бүтэц" гэсэн нэр томъёо нь "орон зай" гэсэн ойлголттой ижил юм.

Орон зайг тодорхойлохын тулд юуны түрүүнд түүний элементүүдийг (цэгүүдийг) Латин, Грек үсгээр тэмдэглэсэн зөөвөрлөгчийг тодорхойлох шаардлагатай.

Бодит (эсвэл нарийн төвөгтэй) элементүүдийн багц нь зөөвөрлөгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг: тоо; векторууд, ; матрицууд, ; дараалал, ; Функцүүд

Багцууд нь зөөвөрлөгчийн элемент болж чаддаг: бодит тэнхлэг, хавтгай, гурван хэмжээст (болон олон хэмжээст) орон зай, сэлгэлт, хөдөлгөөн; хийсвэр багцууд.

Тодорхойлолт. Метрийн орон зай гэдэг нь гурвалсан бүтцийг үүсгэдэг бүтэц бөгөөд зураглал нь M-ээс дурын x ба y-ийн хоёр аргументын сөрөг бус бодит функц бөгөөд гурван аксиомыг хангадаг.

• 1 - сөрөг бус байдал; , цагт.
• 2- - тэгш хэм;
• 3- - рефлексийн аксиом.

элементүүдийн хоорондох зай хаана байна.

Метрийн орон зайд хэмжигдэхүүнийг зааж өгч, дэмжлэгийн багцаас хоёр элементийн ойролцоо байх тухай ойлголт үүсдэг.

Тодорхойлолт. Бодит шугаман (вектор) орон зай нь зураглал нь түүнд хамаарах элементүүдийг нэмэх нэмэлт үйлдэл, зураглал нь тооноос элементээр үржүүлэх үйл ажиллагаа юм.

Үйлдэл нь дурын хоёр элементийн хувьд гуравдахь элементийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлж, тэдгээрийн нийлбэр гэж нэрлээд, дараах аксиомуудыг баримтална гэсэн үг юм.

хувирах өмч.

Холбооны өмч.

В-д тусгай элемент байдаг бөгөөд энэ нь ямар ч зүйлд тохирохоор тэмдэглэгдсэн байдаг.

учир нь ямар ч байдаг, ийм.

Элементийг эсрэгээр нь дуудаж, үүнийг тэмдэглэнэ.

Энэ үйлдэл нь аливаа элемент болон ямар ч тооны хувьд элементийг тодорхойлж, дараах байдлаар тэмдэглэж, аксиомуудыг биелүүлнэ гэсэн үг юм.

Шугаман орон зайн элементийг (цэг) мөн вектор гэж нэрлэдэг. 1 - 4 аксиомууд нь модуль гэж нэрлэгддэг бүлгийг (нэмэлтүүдийг) тодорхойлдог бөгөөд бүтцийг төлөөлдөг.

Хэрэв бүтэц дэх үйл ажиллагаа нь ямар ч аксиомд захирагдахгүй бол ийм бүтцийг группоид гэж нэрлэдэг. Энэ бүтэц нь маш муу; Энэ нь ассоциативын ямар ч аксиом агуулаагүй тул бүтцийг моноид (хагас бүлэг) гэж нэрлэдэг.

Бүтцийн хувьд зураглал болон аксиом 1-8-ын тусламжтайгаар шугаман байдлын шинж чанарыг тогтоодог.

Тиймээс шугаман орон зай нь бүлгийн модуль бөгөөд түүний бүтцэд дахин нэг үйлдлийг нэмж оруулсан болно - дэмжих элементүүдийг 4 аксиом бүхий тоогоор үржүүлэх. Үйлдлийн оронд 4 аксиом бүхий элементүүдийг үржүүлэх өөр нэг бүлгийн үйлдлүүдийн хамт тархалтын аксиомыг дэвшүүлбэл талбар гэж нэрлэгддэг бүтэц бий болно.

Тодорхойлолт. Шугаман норматив орон зай нь зураглал нь дараах аксиомуудыг хангасан бүтэц юм.

• 1. Тэгээд дараа нь, зөвхөн тэр үед, хэзээ.
• 2. , .
• 3. , .

Тэгээд ердөө 11 аксиомд.

Жишээлбэл, бид бодит тоонуудын талбарын бүтцэд гурван нормын шинж чанарыг агуулсан модулийг нэмбэл бодит тоонуудын талбар нь нормын орон зай болно.

Нормативыг нэвтрүүлэх хоёр нийтлэг арга байдаг: нэг төрлийн гүдгэр функциональ , интервалын хэлбэрийг тодорхой зааж өгөх, эсвэл скаляр үржвэрийг зааж өгөх замаар , .

Дараа нь функцийн хэлбэрийг утгыг өөрчлөх замаар хязгааргүй олон аргаар зааж өгч болно.

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Даалгаврыг хүлээн авах хоёр дахь нийтлэг арга бол орон зайн бүтцэд өөр зураглал оруулах явдал юм (хоёр аргументын функцийг ихэвчлэн скаляр үржвэр гэж нэрлэдэг).

Тодорхойлолт. Евклидийн орон зай нь скаляр үржвэр нь нормыг агуулж, аксиомуудыг хангадаг бүтэц юм.

• 4. , мөн хэрэв зөвхөн хэрэв байгаа бол

Евклидийн орон зайд нормыг томъёогоор үүсгэнэ

Скаляр бүтээгдэхүүний 1-4-р шинж чанараас харахад нормын бүх аксиомууд хангагдсан байна. Хэрэв скаляр үржвэр нь хэлбэртэй байвал нормыг томъёогоор тооцоолно

Скаляр үржвэрийг ашиглан орон зайн нормыг тодорхойлох боломжгүй , .

Скаляр үржвэртэй орон зайд шугаман нормын орон зайд байхгүй ийм чанарууд гарч ирдэг (элементүүдийн ортогональ байдал, параллелограммын тэгш байдал, Пифагорын теорем, Аполлониусын адилтгал, Птолемейгийн тэгш бус байдал. Скаляр үржвэрийн танилцуулга нь ойролцоогоор тооцоолох асуудлыг илүү үр дүнтэй шийдвэрлэх арга замыг өгдөг.

Тодорхойлолт. Шугаман нормын орон зай дахь элементүүдийн хязгааргүй дарааллыг норм нийлэх (зөвхөн нийлэх эсвэл хязгаартай) гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв аль нэгнийх нь хувьд иймээс хамаарч тоо байдаг.

Тодорхойлолт. Элементүүдийн дарааллыг үндсэн гэж нэрлэнэ, хэрэв аль нэгнийх нь тооноос хамаарах тоо байгаа бөгөөд тэдгээр нь хангагдсан байна (Треногин Колмогоров, Канторович, 48-р хуудас)

Тодорхойлолт. Баначийн орон зай нь аливаа үндсэн дараалал нь нормоор нийлдэг бүтэц юм.

Тодорхойлолт. Гильбертийн орон зай нь аливаа үндсэн дараалал нь скаляр үржвэрээр үүсгэгдсэн нормд нийлдэг бүтэц юм.

Хагас квадрат координатын системийг авч үзье. Энэ бол ийм координатын систем бөгөөд масштаб нь абсцисса дагуу квадрат хэлбэртэй байдаг, өөрөөр хэлбэл хуваах утгуудыг илэрхийллийн дагуу энд дүрсэлсэн болно. м-уртын зарим нэгжээр, жишээлбэл, см-ээр хуваах.

Илэрхийллийн дагуу у тэнхлэгийн дагуу шугаман масштабыг зурсан

Бид энэ координатын систем дээр туршилтын цэгүүдийг тавьдаг. Хэрэв энэ графикийн цэгүүд ойролцоогоор шулуун шугамд байрласан бол энэ нь хамаарал гэсэн бидний таамаглалыг баталж байна. y-аас х(4.4) хэлбэрийн функцээр сайн илэрхийлэгддэг. Коэффициентийг олохын тулд аТэгээд бТа одоо дээр дурдсан аргуудын аль нэгийг ашиглаж болно: сунгасан утас, сонгосон цэгийн арга эсвэл дундаж арга.

Хатуу утастай аргань шугаман функцтэй адил үйлчилнэ.

Сонгосон онооны аргабид ингэж өргөдөл гаргаж болно. Шулуун график дээр хоёр цэг (бие биенээсээ хол) ав. Бид эдгээр цэгүүдийн координатыг тэмдэглэж, ( x, y). Дараа нь бид бичиж болно

Хоёр тэгшитгэлийн багасгасан системээс бид олдог аТэгээд б(4.4) томъёонд орлуулж эмпирик томъёоны эцсийн хэлбэрийг авна.

Та шулуун шугамын график барьж чадахгүй, гэхдээ тоонуудыг аваарай , ( x,y) хүснэгтээс шууд. Гэсэн хэдий ч энэ сонголтоор олж авсан томъёо нь нарийвчлал багатай байх болно.

Муруй графыг шулуун шугам руу хөрвүүлэх үйл явцыг тэгшлэх гэж нэрлэдэг.

Дунд зэргийн арга. Энэ нь тохиолдлын нэгэн адил хэрэглэгдэж байна шугаман хамаарал. Бид туршилтын цэгүүдийг бүлэг бүрт ижил (эсвэл бараг ижил) оноотой хоёр бүлэгт хуваадаг. Тэгш байдлыг (4.4) гэж дахин бичиж болно

Бид эхний бүлгийн цэгүүдийн үлдэгдлийн нийлбэрийг олж, тэгтэй тэнцүү байна. Бид хоёр дахь бүлгийн оноотой ижил зүйлийг хийдэг. Бид үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийг олж авдаг аТэгээд б. Тэгшитгэлийн системийг шийдэж, бид олдог аТэгээд б.

Энэ аргыг хэрэглэхдээ ойролцоогоор шулуун шугам барих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Хагас квадрат координатын систем дэх тархалтын график нь эмпирик томъёонд (4.4) хэлбэрийн функц тохирох эсэхийг шалгахад л хэрэгтэй.

Жишээ. Хронометрийн явцад температурын нөлөөг судлахдаа дараахь үр дүнг олж авав.

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

Энэ тохиолдолд бид температур өөрөө биш, харин түүний хазайлтыг сонирхдог. Тиймээс, бид аргумент болгон авдаг , хаана т- ердийн хуваарийн Цельсийн градусаар хэмжигдэх температур.

Декартын координатын систем дээр харгалзах цэгүүдийг зурсны дараа бид у тэнхлэгтэй параболлыг ойролцоох муруй болгон авч болохыг анзаарав (Зураг 4). Хагас квадрат координатын системийг авч түүн дээр туршилтын цэгүүдийг зуръя. Эдгээр цэгүүд шулуун шугам дээр хангалттай тохирч байгааг бид харж байна. Тиймээс эмпирик томъёо

(4.4) хэлбэрээр хайж болно.

Коэффицентүүдийг тодорхойлъё аТэгээд бдундаж аргаар. Үүнийг хийхийн тулд бид туршилтын цэгүүдийг хоёр бүлэгт хуваадаг: эхний бүлэгт - эхний гурван оноо, хоёрдугаарт - үлдсэн дөрвөн оноо. Тэгш байдлыг (4.5) ашиглан бүлэг тус бүрийн үлдэгдлийн нийлбэрийг олж, нийлбэр бүрийг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Ихэнхдээ интерполяцлагдсан функцийн утгууд байдаг у, у2 , ..., yn нь зарим алдаатай туршилтаар тодорхойлогддог тул интерполяцийн зангилаанууд дээр яг ойролцоо утгыг ашиглах нь үндэслэлгүй юм. Энэ тохиолдолд функцийг цэгээр биш харин ойролцоогоор тооцоолох нь илүү зүйн хэрэг юм дундаж,өөрөөр хэлбэл, L p нормуудын аль нэгэнд.

Орон зай 1 p - функцүүдийн багц d(x),сегмент дээр тодорхойлсон [a,b]ба модулийг нэгтгэх боломжтой p-р зэрэг, хэрэв нормыг тодорхойлсон бол

Ийм хэм хэмжээнд нийлэхийг convergence in гэж нэрлэдэг дундаж. 1,2 орон зайг Гильбертийн орон зай гэж нэрлэдэг ба түүн доторх нэгдэл нь мөн Rms.

Ax) функц болон зарим шугаман нормын орон зайн φ(x) функцийн багцыг өгье. Интерполяци, ойртуулах, ойртуулах асуудлын хүрээнд дараах хоёр бодлогыг томъёолж болно.

Эхний даалгаварнь өгөгдсөн нарийвчлалтай, өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн дагуу ойролцоо тооцоолол юм д|[Ax) - φ(x)|| тэгш бус байдал байх φ(x) -ийг ол. Г..

Хоёр дахь даалгавархайлт юм хамгийн сайн ойролцооөөрөөр хэлбэл, хамаарлыг хангасан φ*(x) функцийг хайх:

Хамгийн сайн ойролцоо байх хангалттай нөхцөлийг нотлох баримтгүйгээр тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд функцүүдийн шугаман орон зайд бид илэрхийллээр параметржүүлсэн олонлогийг сонгоно

Энд φ[(x), ..., φn(x) функцуудын багцыг шугаман хамааралгүй гэж үзнэ.

Шугаман ойролцоо (2.16) ямар ч шугаман орон зайд өвөрмөц боловч хамгийн сайн ойртсон хэмжигдэхүүнтэй аль ч нормын орон зайд байдгийг харуулж болно.

[ ] дээр скаляр үржвэр ( p(x) > 0 жинтэй бодит квадрат интегралдах функцүүдийн Hilbert space LzCp) -ийг авч үзье. г, х) тодорхойлсон

томъёо:

Шугаман хослолыг (2.16) хамгийн сайн ойролцоолсон нөхцөлд орлуулж, бид олно

Коэффициенттэй холбоотой деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх (D, к= 1, ..., П, бид шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна

(2.17) тэгшитгэлийн системийн тодорхойлогчийг Грам тодорхойлогч гэнэ. φ[(x), ..., φn(x) функцүүдийн систем нь шугаман хамааралгүй гэж үздэг тул Грамын тодорхойлогч тэгээс өөр байна.

Тиймээс, хамгийн сайн ойролцоох хувилбар байдаг бөгөөд өвөрмөц юм. Үүнийг авахын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай (2.17). Хэрэв φ1(x), ..., φn(x) функцүүдийн системийг ортогональчлагдсан бол, өөрөөр хэлбэл (φ/, φ,) = sy, энд SCH,ij = 1, ..., П,Дараа нь тэгшитгэлийн системийг дараах хэлбэрээр шийдэж болно.

(2.18)-ын дагуу олдсон коэффициентууд Q, ..., th pерөнхийлсөн Фурье цувралын коэффициентүүд гэж нэрлэдэг.

Хэрэв φ t (X), ..., φ "(x), ... функцүүдийн багц нь бүрэн системийг бүрдүүлдэг бол Парсевалын тэгш байдлын ачаар Π -» хувьд алдааны норм нь тодорхойгүй хугацаагаар буурдаг. Энэ нь хамгийн сайн ойролцоо утга нь өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар rms-ийг Dx)-д нэгтгэдэг гэсэн үг юм.

Грам матрицын дараалал нэмэгдэхийн хэрээр тодорхойлогч нь хурдан тэг болж, матрицын нөхцөл байдал мууддаг тул тэгшитгэлийн системийг (2.17) шийдвэрлэх замаар хамгийн сайн ойролцоолсон коэффициентийг хайх нь бараг боломжгүй гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Ийм матрицтай шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь нарийвчлалыг ихээхэн алдахад хүргэдэг. Үүнийг шалгаж үзье.

φ„ i =1, ..., П функцын систем болгон градусыг сонгоё, өөрөөр хэлбэл φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., П,дараа нь сегментийг ойролцоогоор сегмент гэж үзвэл бид Грам матрицыг олно

(2.19) хэлбэрийн Грам матрицыг Гильбертийн матриц гэж бас нэрлэдэг. Энэ бол нөхцөл муутай матрицын сонгодог жишээ юм.

MATLAB программыг ашиглан бид зарим эхний утгуудын хувьд Хилбертийн матрицын тодорхойлогчийг (2.19) хэлбэрээр тооцоолно. П.Жагсаалт 2.5 нь тохирох програмын кодыг харуулж байна.

Жагсаалт 23

% Хилбертийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох % Ажлын талбарыг цэвэрлэхбүгдийг цэвэрлэ;

Хилбертийн матрицын % захиалгын хамгийн их утгыг сонгох ptah =6;

%Гилбертийн матрицыг үүсгэх гогцоо байгуулж, тэдгээрийн тодорхойлогчийг тооцоолох

n = 1-ийн хувьд: nmax d(n)=det(hi I b(n)); Төгсгөл

Хилбертийн матрицуудын тодорхойлогч % утгыг харуулна

f o g ta t богино төгсгөл

Жагсаалт 2.5 дахь кодыг боловсруулсны дараа эхний зургаан матрицын Хилберт матрицын тодорхойлогч утгууд MATLAB командын цонхонд гарч ирнэ. Доорх хүснэгтэд матрицын эрэмбэ (n) ба тэдгээрийн тодорхойлогчдын (d) харгалзах тоон утгыг харуулав. Хүснэгт нь Гильберт матрицын тодорхойлогч нь дараалал өсөхөд хэр хурдан тэг болж, 5 ба 6-р тушаалаас эхлэн хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй жижиг болж байгааг тодорхой харуулж байна.

Хилберт матрицын тодорхойлогчийн утгын хүснэгт

φ, i = 1, ..., П функцын системийн тоон ортогоналчлал нь нарийвчлалыг мэдэгдэхүйц алдагдахад хүргэдэг. том тооӨргөтгөх (2.16) нэр томьёоны хувьд аналитик байдлаар ортогоналчлал хийх шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл яг, эсвэл ортогональ функцүүдийн бэлэн системийг ашиглах шаардлагатай.

Хэрэв интерполяцийн үед градусыг ихэвчлэн үндсэн функцүүдийн систем болгон ашигладаг бол ойролцоолох үед дунджаар өгөгдсөн жинтэй ортогональ олон гишүүнтүүдийг үндсэн функц болгон сонгодог. Эдгээрээс хамгийн түгээмэл нь Якоби олон гишүүнт бөгөөд тэдгээрийн онцгой тохиолдол нь Лежендре, Чебышев олон гишүүнт юм. Lagsrr болон Hermite олон гишүүнтүүдийг мөн ашигладаг. Эдгээр олон гишүүнтүүдийн талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг, жишээлбэл, хавсралтаас олж болно Ортогональ олон гишүүнтномууд.

Өмнөх бүлэгт функцийг ойртуулах хамгийн түгээмэл аргуудын нэг болох интерполяцийг нарийвчлан авч үзсэн. Гэхдээ энэ нь цорын ганц зам биш юм. Төрөл бүрийн хэрэглээний асуудлуудыг шийдвэрлэх, тооцоолох хэлхээг байгуулахдаа бусад аргыг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ бүлэгт бид язгуур-дундаж квадратын ойролцоо утгыг олж авах арга замыг авч үзэх болно. Ойролцооны нэр нь функцийг ойртуулах асуудлыг авч үзсэн хэмжигдэхүүнтэй холбоотой байдаг. 1-р бүлэгт бид "метрийн шугаман норм орон зай" ба "метрийн евклидийн орон зай" гэсэн ойлголтуудыг танилцуулж, ойролцоолох алдаа нь ойролцоолсон бодлогыг авч үзэх орон зайн хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог болохыг олж харсан. Өөр өөр орон зайд алдааны тухай ойлголт өөр өөр утгатай байдаг. Интерполяцийн алдааг харгалзан бид үүнд анхаарлаа хандуулаагүй. Мөн энэ бүлэгт бид энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

5.1. Тригонометрийн олон гишүүнт ба Лежендре олон гишүүнтийн ойролцоолсон орон зай l2

Сегмент дээр Лебегийн квадрат интегралдах функцүүдийн багцыг авч үзье
, өөрөөр хэлбэл интеграл байх ёстой
.

Функцуудын квадрат интегралчлалаас илт тэгш бус байдал байгаа тул
Тэгээд
мөн тэдгээрийн аль нэг шугаман хослолын квадрат интегралчлалыг дагаж мөрдөх ёстой
, (хаана
Тэгээд
 аливаа бодит тоо), түүнчлэн бүтээгдэхүүний интегралчлал
.

Интервал дээр интегралдах Лебегийн квадрат функцүүдийн багцыг танилцуулъя
, цэгийн бүтээгдэхүүний үйл ажиллагаа

. (5.1.1)

Интегралын шинж чанараас харахад нэвтрүүлсэн скаляр үржвэрийн үйлдэл нь Евклидийн орон зай дахь скаляр үржвэрийн бараг бүх шинж чанарыг агуулна (1.10-р зүйлийн 57-р хэсгийг үз):

Зөвхөн эхний өмч бүрэн гүйцэтгэгдээгүй, өөрөөр хэлбэл нөхцөл хангагдахгүй.

Үнэхээр, хэрэв
, тэгвэл үүнийг дагадаггүй
сегмент дээр
. Оруулсан үйл ажиллагаа нь ийм өмчтэй байхын тулд бид функцуудыг ялгахгүй байхыг зөвшөөрч байна (тэнцүүлэх)
Тэгээд
, Үүний төлөө

.

Сүүлчийн тайлбарыг авч үзвэл Лебегийн квадрат интегралдах функцүүдийн олонлог (илүү нарийвчлалтай бол эквивалент функцүүдийн ангиллын олонлог) нь скаляр үржвэрийн үйлдлийг (5.1.1) томъёогоор тодорхойлсон Евклидийн орон зайг бүрдүүлдэг болохыг бид харсан. Энэ орон зайг Лебегийн орон зай гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэв
эсвэл богино .

Евклидийн орон зай бүр автоматаар хэмжигдэх ба хэмжигдэхүүнтэй байдаг тул орон зай
нь мөн норм ба хэмжигдэхүүн орон зай юм. Норм (элементийн хэмжээ) ба хэмжигдэхүүнийг (элементүүдийн хоорондох зай) ихэвчлэн стандарт байдлаар оруулдаг.

(5.1.2)

(5.1.3)

Норм ба хэмжигдэхүүний шинж чанарыг (аксиом) 1.10-р хэсэгт өгсөн болно. Сансрын элементүүд
нь функц биш харин эквивалент функцын ангиуд юм. Нэг ангид хамаарах функцууд нь ямар ч төгсгөлтэй эсвэл бүр тоолж болох дэд олонлогт өөр өөр утгатай байж болно
. Тиймээс орон зайд ойртсон
хоёрдмол утгатайгаар тодорхойлогддог. Энэ нь орон зайн тааламжгүй шинж чанар юм
скаляр бүтээгдэхүүнийг ашиглахад хялбар байснаар төлсөн.