Главная / Наши дети / Обратная функция презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему. Взаимно обратные функции Объяснение нового материала

Обратная функция презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему. Взаимно обратные функции Объяснение нового материала

Выполнила Мореншильдт И.К. группа 1.45.36 Фрунзенский район Школа № 314 Преподаватель Королева О.П. Санкт-Петербург 2006г. * Санкт-Петербургский ЦЕНТР ИНФОРМАЦИОННЫХ технологий и телекоммуникаций ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

Показательная и логарифмическая функция Тригонометрические функции

Основные определения Пример уравнений Графики обратных функций Показательная и логарифмическая функция Функции синус и арксинус Функции косинус и арккосинус Функции тангенс и арктангенс Функции котангенс и арккотангенс Зачет Источники Содержание Закончить

Обратимая функция Если функция y=f (x) принимает каждое свое значение только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой. Для такой функции можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции.

Пример построения функции, обратной данной Частный случай Дана функция у=3х+5 Уравнение относительно х Заменим х на у Функции (1) и (2) взаимно обратные Общий случай y=f (x) – обратимая функция Определена функция x= g (y) Заменим х на у у= g(x) Функции y=f (x) и у= g(x) взаимно обратные

Графики обратных функций ООФ ОЗФ ОЗФ ООФ Х У Х Y

Показательная и логарифмическая функции y=log a x y=a x y=x a>1

Функции sin x и arcsin x Рассмотрим функцию y=sin x на отрезке Функция монотонно возрастает. ОЗФ [-1;1]. Функция у= arcsin x является обратной для функции y=sinx . [ -  ;  ] 2 2

Функции cos x и arccos x Рассмотрим функцию у=со s x на отрезке Функция монотонно убывает. ОЗФ [-1;1]. Функция y=arccos x является обратной для функции у=со sx .

Функции tg x и arctg x Рассмотрим фун-кцию y= tg x на ин- тервале Функция монотонно возрастает. ОЗФ – множество R . Функция y= arctg x является обратной для функции y= tg x . (-  ; ) 2 2

Функции ctg x и arcctg x Рассмотрим функцию y= ctg x на промежутке (0; ). Функция монотонно убывает. ОЗФ множество R . Обратной является функция у = arcctg x.

Зачет по теме «Взаимно обратные функции» Вопрос № 1 Вопрос № 2 Вопрос № 3 Вопрос № 4 Вопрос № 5 Закончить Закончить

Вопрос № 1 Графики взаимно обратных функций расположены в системе координат симметрично относительно: Начала координат Прямой у=х Оси OY Оси OX

Вопрос № 2 Как связанны область определения исходной и область значений обратной функции? Совпадают Независимы

Вопрос № 3 Какая функция является обратной к логарифмической функции? Степенная Линейная Квадратичная Показательная

Вопрос № 4 Функция y=arcctg x является обратной для функции y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x

Вопрос № 5 Тема «Взаимно обратные функции» является Элементарной Моей любимой Легкой Понятной

Ура! Ура! Ура! Молодец, ученый!

Ответ неверный Повтори с начала!

Неверно! Я возмущен твоим ответом!

Источники Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 384 с. Изучение алгебры и начал анализа в 10-11 классах: Кн. для учителя / Н.Е. Федорова, М.В. Ткачева. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2004. – 205 с. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса: Пособие для учителя / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1998. -143 с. Графики обратных тригонометрических функций http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Вариант 2

Проведите исследование функции и постройте ее график:

III. Изучение нового материала

По аналитическому виду функции для любого значения аргумента легко найти соответствующее значение функции у. Часто возникает обратная задача: известно значение у и необходимо найти значение аргумента x , при котором оно достигается.

Пример 1

Найдем значение аргумента х, если значение функции равно: а) 2; б) 7/6; в) 1.

Из аналитического вида функции выразим переменную х и получим: 4 xy - 2у = 3 x + 1 или х(4у - 3) = 2у + 1, откуда . Теперь легко решить задачу:

Функцию называют обратной по отношению к функции . Так как принято аргумент функции обозначать буквой х, а значение функции - буквой у, то обратную функцию записывают в виде

Дадим необходимые для изучения темы понятия.

Определение 1. Функцию у = f (x ), х ∈ Х называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке х множества X (другими словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). В противном случае функцию называют необратимой.

Пример 2

Функция каждое свое значение принимает только в одной точке х и является обратимой (график а). Функция имеет такие значения у (например, у = 2), которые достигаются в двух различных точках x , и является необратимой (график б).

При рассмотрении темы полезна следующая теорема.

Теорема 1. Если функция у = f (х), х ∈ X монотонна на множестве X, то она обратима.

Пример 3

Вернемся к предыдущему примеру. Функция убывает (монотонна) и обратима на всей области определения. Функция немонотонна и необратима. Однако эта функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и . Поэтому на таких промежутках функция обратима. Например, функция обратима на отрезке x ∈ [-1; 1].

Определение 2. Пусть у = f (х), х ∈ Х - обратимая функция и E (f ) = Y . Поставим в соответствие каждому Y то единственное значение х, при котором f (x ) = у (т. е. единственный корень уравнения f (x ) = у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на множестве Y (множество X - ее область значений). Эту функцию обозначают х – f -1 (y ), y ∈ Y и называют обратной по отношению к функции у = f (х), х ∈ X. На рисунке показаны функция у = f (х) и обратная функция x = f -1 (y ).

Прямая и обратная функции имеют одинаковую монотонность.

Теорема 2. Если функция у = f (х) возрастает (убывает) на множестве X, а У - ее область значений, то обратная функция x = f -1 (y ) возрастает (убывает) на множестве Y .

Пример 4

Функция убывает на множестве и имеет множество значений Обратная функция также убывает на множестве и имеет множество значений Очевидно, что графики функций и совпадают, так как эти функции приводят к одной и той же зависимости между переменными х и у: 4ху - 3х - 2у - 1 = 0.

Для нас привычно, что аргумент функции обозначают буквой х, значение функции - буквой у. Поэтому обратную функцию будем записывать в виде у = f -1 (x ) (см. пример 1).

Теорема 3. Графики функции у = f (х) и обратной функции у = f -1 симметричны относительной прямой у = х.

Пример 5

Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f (х) = 2х – 4 обратная функция f -1 (x ) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Функция f -1 (x ) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f (х) = 2х - 4. Но и функция f (х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f -1 (x ) = 1/2х + 2. Поэтому функции f (х) и f -1 (х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f -1 (f (х)) = х и f (f -1 (x ) = x .

IV. Контрольные вопросы

1. Обратимые и необратимые функции.

2. Обратимость монотонной функции.

3. Определение обратной функции.

4. Монотонность прямой и обратной функций.

5. Графики прямой и обратной функций.

V. Задание на уроке

§ 3, № 1 (а, б); 2 (в, г); 3 (а, г); 4 (в, г); 5 (а, в).

VI. Задание на дом

§ 3, № 1 (в, г); 2 (а, б); 3 (б, в); 4 (а, б); 5 (б, г).

VII. Подведение итогов урока

Взаимно обратные функции и их графики

(обобщающее повторение по пройденному материалу)

Какой из графиков соответствует графику функции у=х 3 имеет ли он обратную?

Какой из графиков соответствует графику функции имеет ли он обратную?

Какой из графиков соответствует графику

функции имеет ли он обратную

Какой график соответствует функции?

1 группа: ответ а) объясняют почему

Какой функции соответствует график? 1 . у = х 3 2 . 3 . у = х 4 4 . у = х -2 5 . 6 . у = х -1

на графике функции

D(y)=(-:0) U(0;+)

Укажите область определения данной

на графике функции

Укажите область значений данной на графике функции

Е (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Найти функцию, обратную данной у = g ( x )

Если функция (2) обратна к функции (1), то такие функции называют взаимно-обратными.

Найти область определения и множество значений для данных функций.

D (у)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
Е(у)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

D (у)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. Е(у)= (-∞;2)∪(2;+∞)

Область определения обратной функции g(x) совпадает с множеством значений исходной функции f ( x ), а множество значений обратной функции g(x) совпадает с областью определения исходной функции f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

Монотонная функция является обратимой:

если функция f (x) возрастает, то обратная к ней функция g (x) также возрастает;
Если функция f (x) убывает, то обратная к ней функция g (x) также убывает.