Определение евклидова векторного пространства. Определение и примеры евклидовых пространств
Евклидовы пространстваПортабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
Глава 4
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием
скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными
свойствами указанного скалярного произведения. В настоящей главе изучаются
линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом
(причем безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым
двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При
этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и
правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные
пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми
пространствами. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных
евклидовых пространств.
§ 1. Вещественное евклидово пространство и его
простейшие свойства
1. Определение вещественного евклидова пространства.
Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым
пространством
(или просто евклидовым пространством
), если
выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства
х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным
произведением
этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);
2°. (x 1 + x
2, у) = (х 1
,
у) + (х 2 , у) (распределительное свойство);
3°. (λ
х, у) = λ
(х, у)
для любого вещественного λ
;
4°. (х, х) > 0, если х - ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х - нулевой
элемент.
Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не
только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил
образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного
произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми
аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).
Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то
евклидово пространство называется конкретным
.
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим линейное пространство В 3 , всех свободных
векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было
сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на
косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана
справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом
1°- 4° (см. выпуск «Аналитическая геометрия», гл.2, §2, п.З). Стало быть,
пространство В 3 с так определенным скалярным произведением является
евклидовым пространством.
Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а,
b
] всех функций x(t), определенных и непрерывных на
сегменте а ≤
t ≤
b
. Скалярное произведение двух таких функций x(t) и
y(t) определим как интеграл (в пределах от а до b
) от
произведения этих функций
Элементарно проверяется справедливость для так определенного
скалярного произведения аксиом 1°-4°. В самом деле, справедливость аксиомы 1°
очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств
определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что
интеграл от непрерывной неотрицательной функции x 2 (t)
неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно
равна нулю на сегменте а ≤
t ≤
b
(см. выпуск «Основы математического
анализа», часть I, свойства 1° и 2° из п. 1 §6 гл. 10) (т.е. является нулевым
элементом рассматриваемого пространства).
Таким образом, пространство С [а, b
] с так
определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное
евклидово пространство
.
Пример 3. Следующий пример евклидова пространства дает n-мерное линейное
пространство А n
упорядоченных совокупностей
n
вещественных чисел, скалярное произведение двух
любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y
1 ,
y
2 ,...,y
n)
которого определяется равенством
(х, у) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n . (4.2)
Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° легко проверяется достаточно вспомнить определение операций сложения элементов и умножения их на числа:
(х 1 , x 2 ,...,х n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n),
λ (х 1 , x 2 ,...,х n) = (λ х 1 , λ x 2 ,..., λ х n);
наконец, справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что (х, х)
= х 1 2 +
x 2 2 +
...+
х n 2
всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х 1
= х 2 = ... = х n
= 0.
Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом Е n
.
Пример 4. В том же самом линейном пространстве А n
введем скалярное произведение любых двух элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n)
и у = (y
1 ,
y
2 ,...,y
n)
не соотношением (4.2), а другим, более общим, способом.
Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка n
Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго
порядка относительно n
переменных х 1 , x 2 ,...,х n
Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется
квадратичной формой
(порождаемой матрицей (4.3)) (квадратичные формы
систематически изучаются в гл. 7 этой книги).
Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной
, если она
принимает строго положительные значения для всех значений переменных х 1 , x 2 ,...,х n
, одновременно не равных нулю (в гл. 7 этой книги будет указано необходимое и
достаточное условие положительной определенности квадратичной формы).
Так как при х 1 = х 2 = ... = х n
= 0 квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что
положительно определенная
квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии х
1
= х
2
= ... = х
n
= 0.
Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям.
1°. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4).
2°. Была симметричной (относительно главной диагонали), т.е. удовлетворяла
условию a ik = а ki
для всех
i
= 1, 2,..., n
и k = I,
2,..., n
.
С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1° и 2°, определим скалярное
произведение двух любых элементов
х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y
1 ,
y
2 ,...,y
n)
пространства А n
соотношением
Легко проверить справедливость для так определенного
скалярного произведения всех аксиом 1°-4°. В самом деле, аксиомы 2° и 3°,
очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость
аксиомы 1° вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость
аксиомы 4° вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой
скалярное произведение (х, х), является положительно определенной.
Таким образом, пространство А n
со скалярным
произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы
(4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является
евклидовым пространством.
Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4)
перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство Е n
,
рассмотренное в примере 3.
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства.
Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного
евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.
Теорема 4.1.
Для любых двух элементов х и у произвольного
евклидова пространства справедливо неравенство
(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)
называемое неравенством Коши-Буняковского.
Доказательство.
Для любого вещественного числа
λ
, в силу аксиомы 4° скалярного произведения,
справедливо неравенство (λ
х
- у, λ
х - у) > 0. В силу аксиом 1°-3°, последнее
неравенство можно переписать в виде
λ 2 (x, x) - 2 λ(x, y) + (y, y) ≤ 0
Необходимым и достаточным условием неотрицательности
последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта,
т. е. неравенство (в случае (х, х) = 0 квадратный трехчлен вырождается в
линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) =
0 и неравенство (4.7) также справедливо)
(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)
Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема
доказана.
Наша очередная задача - ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие
нормы
(или длины
) каждого элемента. Для этого введем понятие
линейного нормированного пространства.
Определение.
Линейное пространство R называется
нормированным
, если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства R
ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой
(или
длиной
) указанного элемента и обозначаемое символом ||х||.
П. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
1°. ||х|| > 0, если х - ненулевой элемент; ||х|| = 0, если х - нулевой элемент;
2°. ||λ
х|| = |λ
| ||х||
для любого элемента х и любого вещественного числа λ
;
3°. для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство
||х + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)
называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского)
.
Теорема 4.2.
Всякое евклидово пространство является
нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством
Доказательство.
Достаточно доказать, что для
нормы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1°-3° из определения
нормированного пространства.
Справедливость для нормы аксиомы 1° сразу вытекает из аксиомы 4° скалярного
произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2° почти непосредственно вытекает
из аксиом 1° и 3° скалярного произведения.
Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3°, т. е. неравенства
(4.8). Будем опираться на неравенство
Коши-Буняковского (4.6), которое перепишем в виде
С помощью последнего неравенства, аксиом 1°-4° скалярного
произведения и определения нормы получим
Теорема доказана.
Следствие.
Во всяком евклидовом пространстве с нормой
элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух элементов х и у
справедливо неравенство треугольника (4.8).
Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом
пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами х и
у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем
углом
φ
между элементами х
и у
тот (изменяющийся в пределах от 0 до π
) угол,
косинус которого определяется соотношением
Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства
Коши-Буняковского (4.7") дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по
модулю не превосходит единицы.
Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова
пространства Е ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (х, у)
равно нулю (в этом случае косинус угла (φ
между
элементами х и у будет равен нулю).
Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х + у двух ортогональных
элементов х и у гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на
элементах х и у.
Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у
ортогональны и (х, у) = 0, то в силу аксиом и определения нормы
||х + y || 2 = (x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) = ||х|| 2 + ||y || 2 .
Этот результат обобщается и на n попарно ортогональных элементов х 1 , x 2 ,...,х n: если z = х 1 + x 2 + ...+ х n , то
||х|| 2 = (х 1 + x 2 + ...+ х n ,х 1 + x 2 + ...+ х n) = (х 1 ,х 1) + (х 2 ,х 2) + .... + (х n ,х n ) = ||х 1 || 2 + ||х 1 || 2 +... +||х 1 || 2 .
В заключение запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и
неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств,
рассмотренных в предыдущем пункте.
В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением
скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной |а|, неравенство
Коши-Буняковского приводится к виду ((a,b
) 2
≤
|а| 2 |b
| 2 ,
а неравенство треугольника - к виду |a + b| ≤
|а| + |b
| (Если сложить векторы а и b по правилу
треугольника, то это неравенство тривиально сводится к тому, что одна сторона
треугольника не превосходит суммы двух других его сторон).
В евклидовом пространстве С [а, b
] всех непрерывных на
сегменте а ≤
t ≤
b
функций х = x(t) со скалярным произведением (4.1)
норма элемента х = x(t) равна , а неравенства
Коши-Буняковского и треугольника имеют вид
Оба эти неравенства играют важную роль в различных разделах
математического анализа.
В евклидовом пространстве Е n
упорядоченных
совокупностей n
вещественных чисел со скалярным
произведением (4.2) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n)
равна
Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей
n
вещественных чисел со скалярным произведением (4.5)
норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна
0 (напоминаем, что при этом матрица (4.3) симметрична и порождает положительно
определенную квадратичную форму (4.4)).
а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид
Определение евклидова пространства
Определение 1. Вещественное линейное пространство называется евклидовым , если в нём определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам x и y из этого пространства число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x,y) , для которого выполнены условия:
1. (x,y) = (y,x);
2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , где z - любой вектор, принадлежащий данному линейному пространству;
3. (?x,y) = ? (x,y) , где ? - любое число;
4. (x,x) ? 0 , причём (x,x) = 0 x = 0.
Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное произведение векторов
можно определить формулой
Евклидово пространство размерности n обозначают En . Заметим, что существуют как конечномерные, так и бесконечномерные евклидовы пространства.
Определение 2 . Длиной (модулем) вектора x в евклидовом пространстве En называют (x,x) и обозначают её так: |x| = (x,x) . У всякого вектора евклидова пространства существует длина, причём у нулевого вектора она равна нулю.
Умножая ненулевой вектор x на число , мы получим вектор , длина которого равна единице. Эта операция называется нормированием вектора x .
Например, в пространстве одностолбцовых матриц длину вектора можно определить формулой:
Неравенство Коши-Буняковского
Пусть x? En и y ? En – любые два вектора. Докажем, что для них имеет место неравенство:
(Неравенство Коши-Буняковского)
Доказательство. Пусть? - любое вещественное число. Очевидно, что (?x ? y,?x ? y) ? 0. С другой стороны, в силу свойств скалярного произведения можем написать
Получили, что
Дискриминант этого квадратного трёхчлена не может быть положительным, т.е. , откуда вытекает:
Неравенство доказано.
Неравенство треугольника
Пусть x и y - произвольные векторы евклидова пространства En , т.е. x ? En и y ? En .
Докажем, что . (Неравенство треугольника).
Доказательство. Очевидно, что С другой стороны, . Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим
Неравенство треугольника доказано.
Норма евклидова пространства
Определение 1 . Линейное пространство ? называется метрическим , если любым двум элементам этого пространства x и y поставлено в соответствие неотрицательное число? (x,y) , называемое расстоянием между x и y , (? (x,y) ? 0) , причём выполняются условия (аксиомы):
1) ? (x,y) = 0 x = y
2) ? (x,y) = ? (y,x) (симметрия);
3) для любых трёх векторов x , y и z этого пространства? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y) .
Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.
Евклидово пространство En – метрическое, причём в качестве расстояния между векторами x? En и y? En можно взять x ? y .
Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где
следовательно
Определение 2 . Линейное пространство ? называется нормированным , если каждому вектору x из этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое его нормой x . При этом выполняются аксиомы:
Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y можно взять . В евклидовом пространстве En в качестве нормы любого вектора x? En принимается его длина, т.е. .
Итак, евклидово пространство En является метрическим пространством и более того, евклидово пространство En является нормированным пространством.
Угол между векторами
Определение 1 . Углом между ненулевыми векторами a и b евклидова простран ства En называют число для которого
Определение 2 . Векторы x и y евклидова пространства En называются ортогона льными , если для них выполняется равенство (x,y) = 0.
Если x и y - ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен
Заметим, что нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору.
Пример . В геометрическом (координатном) пространстве?3, которое является частным случаем евклидова пространства, орты i , j и k взаимно-ортогональны.
Ортонормированный базис
Определение 1 . Базис e1 ,e2 ,...,en евклидова пространства En называется ортогона льным , если векторы этого базиса попарно ортогональны, т.е. если
Определение 2 . Если все векторы ортогонального базиса e1 , e2 ,...,en единичны, т.е. ei = 1 (i = 1,2,...,n) , то базис называется ортонормированным , т.е. для ортонормированного базиса
Теорема. (о построении ортонормированного базиса)
Во всяком евклидовом пространстве E n существуют ортонормированные базисы.
Доказательство . Докажем теорему для случая n = 3.
Пусть E1 ,E2 ,E3 - некоторый произвольный базис евклидова пространства E3 Построим какой-нибудь ортонормированный базис в этом пространстве. Положим , где ? - некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e1 ,e2 ) = 0, тогда получим
причём очевидно, что? = 0 , если E1 и E2 ортогональны, т.е. в этом случае e2 = E2 , а , т.к. это базисный вектор.
Учитывая, что (e1
,e2
) = 0, получим
Очевидно, что , если e1 и e2 ортогональны с вектором E3 , т.е. в этом случае следует взять e3 = E3 . Вектор E3 ? 0 , т.к. E1 , E2 и E3 линейно независимы, следовательно e3 ? 0.
Кроме того, из приведённого рассуждения следует, что e3 нельзя представить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 , следовательно векторы e1 , e2 , e3 линейно незави симы и попарно ортогональны, следовательно, их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E3 . Остаётся только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим
Итак, мы построили базис - ортонормированный базис. Теорема доказана.
Применённый способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации . Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортогональные векторы линейно независимы. Кроме того, если - ортонормированный базис в En , тогда для любого вектора x? En имеет место единственное разложение
где x1 , x2 ,..., xn - координаты вектора x в этом ортонормированном базисе.
Так как
то умножив скалярно равенство (*) на
, получим
.
В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов мы будем опускать.
Соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.
-мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).
Формальное определение
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:
- Билинейность : для любых векторов и для любых вещественных чисел и
- Симметричность: для любых векторов
- Положительная определённость: для любого причём
Пример евклидова пространства - координатное пространство состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел скалярное произведение в котором определяется формулой
Длины и углы
Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора определяется как и обозначается Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.
Угол между векторами и определяется по формуле Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен
Неравенство Коши - Буняковского - Шварца и неравенство треугольника
В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши - Буняковского - Шварца . Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника : Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) и координатного пространства задаётся формулой
Алгебраические свойства
Ортонормированные базисы
Сопряжённые пространства и операторы
Любой вектор евклидова пространства задаёт линейный функционал на этом пространстве, определяемый как Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной .
Движения евклидова пространства
Примеры
Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:
- размерности (вещественная прямая )
- размерности (евклидова плоскость )
- размерности (евклидово трехмерное пространство )
Более абстрактный пример:
- пространство вещественных многочленов степени, не превосходящей , со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например ).
Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве
- Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб , N-мерный октаэдр , N-мерный тетраэдр)
Связанные определения
- Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .
- Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
- Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.
Вариации и обобщения
- Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства .
- Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства .
- Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства .
Напишите отзыв о статье "Евклидово пространство"
Примечания
Литература
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. - 5-е. - М .: Добросвет, МЦНМО , 1998. - 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8 .
- Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. - М .: Наука , 1986. - 304 с.
|
Отрывок, характеризующий Евклидово пространство
Соня прошла в буфет с рюмкой через залу. Наташа взглянула на нее, на щель в буфетной двери и ей показалось, что она вспоминает то, что из буфетной двери в щель падал свет и что Соня прошла с рюмкой. «Да и это было точь в точь также», подумала Наташа. – Соня, что это? – крикнула Наташа, перебирая пальцами на толстой струне.– Ах, ты тут! – вздрогнув, сказала Соня, подошла и прислушалась. – Не знаю. Буря? – сказала она робко, боясь ошибиться.
«Ну вот точно так же она вздрогнула, точно так же подошла и робко улыбнулась тогда, когда это уж было», подумала Наташа, «и точно так же… я подумала, что в ней чего то недостает».
– Нет, это хор из Водоноса, слышишь! – И Наташа допела мотив хора, чтобы дать его понять Соне.
– Ты куда ходила? – спросила Наташа.
– Воду в рюмке переменить. Я сейчас дорисую узор.
– Ты всегда занята, а я вот не умею, – сказала Наташа. – А Николай где?
– Спит, кажется.
– Соня, ты поди разбуди его, – сказала Наташа. – Скажи, что я его зову петь. – Она посидела, подумала о том, что это значит, что всё это было, и, не разрешив этого вопроса и нисколько не сожалея о том, опять в воображении своем перенеслась к тому времени, когда она была с ним вместе, и он влюбленными глазами смотрел на нее.
«Ах, поскорее бы он приехал. Я так боюсь, что этого не будет! А главное: я стареюсь, вот что! Уже не будет того, что теперь есть во мне. А может быть, он нынче приедет, сейчас приедет. Может быть приехал и сидит там в гостиной. Может быть, он вчера еще приехал и я забыла». Она встала, положила гитару и пошла в гостиную. Все домашние, учителя, гувернантки и гости сидели уж за чайным столом. Люди стояли вокруг стола, – а князя Андрея не было, и была всё прежняя жизнь.
– А, вот она, – сказал Илья Андреич, увидав вошедшую Наташу. – Ну, садись ко мне. – Но Наташа остановилась подле матери, оглядываясь кругом, как будто она искала чего то.
– Мама! – проговорила она. – Дайте мне его, дайте, мама, скорее, скорее, – и опять она с трудом удержала рыдания.
Она присела к столу и послушала разговоры старших и Николая, который тоже пришел к столу. «Боже мой, Боже мой, те же лица, те же разговоры, так же папа держит чашку и дует точно так же!» думала Наташа, с ужасом чувствуя отвращение, подымавшееся в ней против всех домашних за то, что они были всё те же.
После чая Николай, Соня и Наташа пошли в диванную, в свой любимый угол, в котором всегда начинались их самые задушевные разговоры.
– Бывает с тобой, – сказала Наташа брату, когда они уселись в диванной, – бывает с тобой, что тебе кажется, что ничего не будет – ничего; что всё, что хорошее, то было? И не то что скучно, а грустно?
– Еще как! – сказал он. – У меня бывало, что всё хорошо, все веселы, а мне придет в голову, что всё это уж надоело и что умирать всем надо. Я раз в полку не пошел на гулянье, а там играла музыка… и так мне вдруг скучно стало…
– Ах, я это знаю. Знаю, знаю, – подхватила Наташа. – Я еще маленькая была, так со мной это бывало. Помнишь, раз меня за сливы наказали и вы все танцовали, а я сидела в классной и рыдала, никогда не забуду: мне и грустно было и жалко было всех, и себя, и всех всех жалко. И, главное, я не виновата была, – сказала Наташа, – ты помнишь?
– Помню, – сказал Николай. – Я помню, что я к тебе пришел потом и мне хотелось тебя утешить и, знаешь, совестно было. Ужасно мы смешные были. У меня тогда была игрушка болванчик и я его тебе отдать хотел. Ты помнишь?
– А помнишь ты, – сказала Наташа с задумчивой улыбкой, как давно, давно, мы еще совсем маленькие были, дяденька нас позвал в кабинет, еще в старом доме, а темно было – мы это пришли и вдруг там стоит…
– Арап, – докончил Николай с радостной улыбкой, – как же не помнить? Я и теперь не знаю, что это был арап, или мы во сне видели, или нам рассказывали.
– Он серый был, помнишь, и белые зубы – стоит и смотрит на нас…
– Вы помните, Соня? – спросил Николай…
– Да, да я тоже помню что то, – робко отвечала Соня…
– Я ведь спрашивала про этого арапа у папа и у мама, – сказала Наташа. – Они говорят, что никакого арапа не было. А ведь вот ты помнишь!
– Как же, как теперь помню его зубы.
– Как это странно, точно во сне было. Я это люблю.
– А помнишь, как мы катали яйца в зале и вдруг две старухи, и стали по ковру вертеться. Это было, или нет? Помнишь, как хорошо было?
– Да. А помнишь, как папенька в синей шубе на крыльце выстрелил из ружья. – Они перебирали улыбаясь с наслаждением воспоминания, не грустного старческого, а поэтического юношеского воспоминания, те впечатления из самого дальнего прошедшего, где сновидение сливается с действительностью, и тихо смеялись, радуясь чему то.
Соня, как и всегда, отстала от них, хотя воспоминания их были общие.
Соня не помнила многого из того, что они вспоминали, а и то, что она помнила, не возбуждало в ней того поэтического чувства, которое они испытывали. Она только наслаждалась их радостью, стараясь подделаться под нее.
Она приняла участие только в том, когда они вспоминали первый приезд Сони. Соня рассказала, как она боялась Николая, потому что у него на курточке были снурки, и ей няня сказала, что и ее в снурки зашьют.
– А я помню: мне сказали, что ты под капустою родилась, – сказала Наташа, – и помню, что я тогда не смела не поверить, но знала, что это не правда, и так мне неловко было.
Во время этого разговора из задней двери диванной высунулась голова горничной. – Барышня, петуха принесли, – шопотом сказала девушка.
– Не надо, Поля, вели отнести, – сказала Наташа.
В середине разговоров, шедших в диванной, Диммлер вошел в комнату и подошел к арфе, стоявшей в углу. Он снял сукно, и арфа издала фальшивый звук.
– Эдуард Карлыч, сыграйте пожалуста мой любимый Nocturiene мосье Фильда, – сказал голос старой графини из гостиной.
Диммлер взял аккорд и, обратясь к Наташе, Николаю и Соне, сказал: – Молодежь, как смирно сидит!
– Да мы философствуем, – сказала Наташа, на минуту оглянувшись, и продолжала разговор. Разговор шел теперь о сновидениях.
Диммлер начал играть. Наташа неслышно, на цыпочках, подошла к столу, взяла свечу, вынесла ее и, вернувшись, тихо села на свое место. В комнате, особенно на диване, на котором они сидели, было темно, но в большие окна падал на пол серебряный свет полного месяца.
– Знаешь, я думаю, – сказала Наташа шопотом, придвигаясь к Николаю и Соне, когда уже Диммлер кончил и всё сидел, слабо перебирая струны, видимо в нерешительности оставить, или начать что нибудь новое, – что когда так вспоминаешь, вспоминаешь, всё вспоминаешь, до того довоспоминаешься, что помнишь то, что было еще прежде, чем я была на свете…
– Это метампсикова, – сказала Соня, которая всегда хорошо училась и все помнила. – Египтяне верили, что наши души были в животных и опять пойдут в животных.
– Нет, знаешь, я не верю этому, чтобы мы были в животных, – сказала Наташа тем же шопотом, хотя музыка и кончилась, – а я знаю наверное, что мы были ангелами там где то и здесь были, и от этого всё помним…
– Можно мне присоединиться к вам? – сказал тихо подошедший Диммлер и подсел к ним.
– Ежели бы мы были ангелами, так за что же мы попали ниже? – сказал Николай. – Нет, это не может быть!
– Не ниже, кто тебе сказал, что ниже?… Почему я знаю, чем я была прежде, – с убеждением возразила Наташа. – Ведь душа бессмертна… стало быть, ежели я буду жить всегда, так я и прежде жила, целую вечность жила.
– Да, но трудно нам представить вечность, – сказал Диммлер, который подошел к молодым людям с кроткой презрительной улыбкой, но теперь говорил так же тихо и серьезно, как и они.
– Отчего же трудно представить вечность? – сказала Наташа. – Нынче будет, завтра будет, всегда будет и вчера было и третьего дня было…
– Наташа! теперь твой черед. Спой мне что нибудь, – послышался голос графини. – Что вы уселись, точно заговорщики.
– Мама! мне так не хочется, – сказала Наташа, но вместе с тем встала.
Всем им, даже и немолодому Диммлеру, не хотелось прерывать разговор и уходить из уголка диванного, но Наташа встала, и Николай сел за клавикорды. Как всегда, став на средину залы и выбрав выгоднейшее место для резонанса, Наташа начала петь любимую пьесу своей матери.
Она сказала, что ей не хотелось петь, но она давно прежде, и долго после не пела так, как она пела в этот вечер. Граф Илья Андреич из кабинета, где он беседовал с Митинькой, слышал ее пенье, и как ученик, торопящийся итти играть, доканчивая урок, путался в словах, отдавая приказания управляющему и наконец замолчал, и Митинька, тоже слушая, молча с улыбкой, стоял перед графом. Николай не спускал глаз с сестры, и вместе с нею переводил дыхание. Соня, слушая, думала о том, какая громадная разница была между ей и ее другом и как невозможно было ей хоть на сколько нибудь быть столь обворожительной, как ее кузина. Старая графиня сидела с счастливо грустной улыбкой и слезами на глазах, изредка покачивая головой. Она думала и о Наташе, и о своей молодости, и о том, как что то неестественное и страшное есть в этом предстоящем браке Наташи с князем Андреем.
Диммлер, подсев к графине и закрыв глаза, слушал.
– Нет, графиня, – сказал он наконец, – это талант европейский, ей учиться нечего, этой мягкости, нежности, силы…
– Ах! как я боюсь за нее, как я боюсь, – сказала графиня, не помня, с кем она говорит. Ее материнское чутье говорило ей, что чего то слишком много в Наташе, и что от этого она не будет счастлива. Наташа не кончила еще петь, как в комнату вбежал восторженный четырнадцатилетний Петя с известием, что пришли ряженые.
Наташа вдруг остановилась.
– Дурак! – закричала она на брата, подбежала к стулу, упала на него и зарыдала так, что долго потом не могла остановиться.
– Ничего, маменька, право ничего, так: Петя испугал меня, – говорила она, стараясь улыбаться, но слезы всё текли и всхлипывания сдавливали горло.
Наряженные дворовые, медведи, турки, трактирщики, барыни, страшные и смешные, принеся с собою холод и веселье, сначала робко жались в передней; потом, прячась один за другого, вытеснялись в залу; и сначала застенчиво, а потом всё веселее и дружнее начались песни, пляски, хоровые и святочные игры. Графиня, узнав лица и посмеявшись на наряженных, ушла в гостиную. Граф Илья Андреич с сияющей улыбкой сидел в зале, одобряя играющих. Молодежь исчезла куда то.
§3. Размерность и базис векторного пространства
Линейная комбинация векторов
Тривиальная и нетривиальная линейная комбинация
Линейно зависимые и линейно независимые векторы
Свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов
п -мерное векторное пространство
Размерность векторного пространства
Разложение вектора по базису
§4. Переход к новому базису
Матрица перехода от старого базиса к новому
Координаты вектора в новом базисе
§5. Евклидово пространство
Скалярное произведение
Евклидово пространство
Длина (норма) вектора
Свойства длины вектора
Угол между векторами
Ортогональные векторы
Ортонормированный базис
§ 3. Размерность и базис векторного пространства
Рассмотрим некоторое векторное пространство (V, Å, ∘) над полем Р . Пусть – некоторые элементы множества V, т.е. векторы.
Линейной комбинацией векторов называется любой вектор, равный сумме произведений этих векторов на произвольные элементы поля Р (т.е. на скаляры) :
Если все скаляры равны нулю, то такая линейная комбинация называется тривиальной (простейшей), и .
Если хотя бы один скаляр отличен от нуля, линейная комбинация называется нетривиальной .
Векторы называются линейно независимыми , если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна :
Векторы называются линейно зависимыми , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная .
Пример . Рассмотрим множество упорядоченных наборов четверок действительных чисел – это векторное пространство над полем действительных чисел. Задание: выяснить, являются ли векторы , и линейно зависимыми.
Решение .
Составим линейную комбинацию этих векторов: , где – неизвестные числа. Потребуем, чтобы эта линейная комбинация была равна нулевому вектору: .
В этом равенстве запишем векторы в виде столбцов чисел:
Если найдутся такие числа , при которых это равенство выполняется, и хотя бы одно из чисел не равно нулю, значит это нетривиальная линейная комбинация и векторы линейно зависимы.
Выполним действия:
Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений:
Решая ее, получим:
Ранги расширенной и основной матриц системы равны и меньше числа неизвестных , следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
Пусть , тогда и .
Итак, для данных векторов существует нетривиальная линейная комбинация, например при , которая равна нулевому вектору, значит, эти векторы линейно зависимы.
Отметим некоторые свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов :
1. Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.
2. Если среди векторов имеется нулевой вектор , то эти векторы линейно зависимы.
3. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.
Векторное пространство V называется п -мерным векторным пространством , если в нем найдется п линейно независимых векторов, и любой набор из (п + 1) векторов является линейно зависимым.
Число п называется размерностью векторного пространства , и обозначается dim(V) от английского «dimension» – размерность (измерение, размер, габарит, величина, протяженность и т.д.).
Совокупность п линейно независимых векторов п -мерного векторного пространства называется базисом .
|
Формула (*) называется разложением вектора по базису , а числа – координатами вектора в этом базисе.
В векторном пространстве может быть более одного или даже бесконечно много базисов. В каждом новом базисе один и тот же вектор будет иметь разные координаты.
§ 4. Переход к новому базису
В линейной алгебре часто встает задача нахождения координат вектора в новом базисе, если известны его координаты в старом базисе.
Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем Р . Пусть в этом пространстве есть два базиса: старый и новый .
Задача: найти координаты вектора в новом базисе.
Пусть векторы нового базиса в старом базисе имеют разложение:
,
Выпишем координаты векторов в матрицу не строками, как они записаны в системе, а столбцами:
Полученная матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Матрица перехода связывает координаты любого вектора в старом и новом базисе следующим соотношением:
,
где - искомые координаты вектора в новом базисе.
Таким образом, задача нахождения координат вектора в новом базисе сводится к решению матричного уравнения: , где Х – матрица-столбец координат вектора в старом базисе, А – матрица перехода от старого базиса к новому, Х * – искомая матрица-столбец координат вектора в новом базисе. Из матричного уравнения получим:
Итак, координаты вектора в новом базисе находятся из равенства:
.
Пример. В некотором базисе даны разложения векторов:
Найти координаты вектора в базисе .
Решение .
1. Выпишем матрицу перехода к новому базису, т.е. координаты векторов в старом базисе запишем столбцами:
2. Найдем матрицу А –1:
3. Выполним умножение , где – координаты вектора :
Ответ : .
§ 5. Евклидово пространство
Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем действительных чисел R . Пусть – некоторый базис этого пространства.
Введем в этом векторном пространстве метрику , т.е. определим способ измерения длин и углов. Для этого определим понятие скалярного произведения.
Евклидово пространство
Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство ) - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .
,в простейшем случае (евклидова норма ):
где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис , в котором верен именно этот простейший вариант).
2. Метрическое пространство , соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:
,Связанные определения
- Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .
- Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
- Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.
Примеры
Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:
Более абстрактный пример:
Вариации и обобщения
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Евклидово пространство" в других словарях:
Конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к рых скалярное произведение (ху)векторов х … Физическая энциклопедия
Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение … Большой Энциклопедический словарь
Евклидово пространство - пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания
Евклидово пространство - см. Многомерное (n мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство … Экономико-математический словарь
евклидово пространство - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN Cartesian space … Справочник технического переводчика
Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называют n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. * * * ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО… … Энциклопедический словарь
Пространство, свойства к рого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании Е. п. наз. n мерное векторное пространство, в к ром определено скалярное произведение … Естествознание. Энциклопедический словарь
Пространство, свойства к рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. конечномерное действительное векторное пространствоRn со скалярным произведением(х, у), х, к рое в надлежащим образом выбранных координатах… … Математическая энциклопедия
- (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия
- [по имени др. греч. математика Евклида (Eukleides; 3 в. до н. э.)] пространство, в т. ч. многомерное, в к ром возможно ввести координаты х1,..., хп так, что расстояние р (М,М) между точками М (х1 ..., х n) и М (х 1 , .... xn) может быть… … Большой энциклопедический политехнический словарь