Bestäm vilken linje som definierar ekvationen online. Linjeekvation koncept

definierar en kurva på planet. En grupp termer kallas en kvadratisk form, – linjär form. Om en kvadratisk form endast innehåller kvadrater av variabler, kallas denna form kanonisk, och vektorerna för en ortonormal grund där den kvadratiska formen har en kanonisk form kallas den kvadratiska formens huvudaxlar.
Matris kallas en matris av kvadratisk form. Här är a 1 2 = a 2 1. För att reducera matris B till diagonal form är det nödvändigt att ta egenvektorerna för denna matris som bas, sedan , där λ 1 och λ 2 är egenvärdena för matris B.
På grundval av egenvektorerna för matrisen B kommer den kvadratiska formen att ha den kanoniska formen: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Denna operation motsvarar rotationen av koordinataxlarna. Därefter förskjuts origo för koordinater, vilket gör att den linjära formen blir av.
Den kanoniska formen av andra ordningens kurva: λ 1 x 2 2 + λ 2 y 2 2 =a, och:
a) om X1 >0; λ 2 > 0 är en ellips, i synnerhet när λ 1 = λ 2 är det en cirkel;
b) om λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) vi har en hyperbol;
c) om λ 1 =0 eller λ 2 =0, så är kurvan en parabel och efter att ha roterat koordinataxlarna har den formen λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (här λ 2 =0). Komplementering till en komplett kvadrat har vi: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2.

Exempel. Ekvationen för kurvan 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 ges i koordinatsystemet (0,i,j), där i =(1,0) och j =(0,1) .
1. Bestäm typen av kurva.
2. Få ekvationen till kanonisk form och konstruera en kurva i det ursprungliga koordinatsystemet.
3. Hitta motsvarande koordinattransformationer.

Lösning. Vi för den kvadratiska formen B=3x 2 +10xy+3y 2 till huvudaxlarna, det vill säga till den kanoniska formen. Matrisen för denna kvadratiska form är . Vi hittar egenvärdena och egenvektorerna för denna matris:

Karakteristisk ekvation:
; Xi =-2, X2 =8. Typ av kvadratisk form: .
Den ursprungliga ekvationen definierar en hyperbel.
Observera att formen på den kvadratiska formen är tvetydig. Du kan skriva 8x 1 2 -2y 1 2 , men kurvtypen förblir densamma - en hyperbel.
Vi hittar huvudaxlarna för den kvadratiska formen, det vill säga egenvektorerna för matris B. .
Egenvektor motsvarande talet λ=-2 vid x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Som en enhetsegenvektor tar vi vektorn , där är längden på vektorn x 1 .
Koordinaterna för den andra egenvektorn som motsvarar det andra egenvärdet λ=8 hittas från systemet
.
1, j 1).
Enligt formlerna (5) i punkt 4.3.3. Låt oss gå vidare till en ny grund:
eller

; . (*)

Vi matar in uttrycken x och y i den ursprungliga ekvationen och efter transformationer får vi: .
Välja kompletta rutor: .
Vi utför en parallell översättning av koordinataxlarna till ett nytt ursprung: , .
Om vi ​​introducerar dessa relationer i (*) och löser dessa likheter för x 2 och y 2, får vi: , . I koordinatsystemet (0*, i 1, j 1) har denna ekvation formen: .
För att konstruera en kurva konstruerar vi en ny i det gamla koordinatsystemet: x 2 =0-axeln anges i det gamla koordinatsystemet med ekvationen x-y-3=0, och y 2 =0-axeln med ekvationen x+ y-1=0. Ursprunget för det nya koordinatsystemet 0 * (2,-1) är skärningspunkten för dessa linjer.
För att förenkla uppfattningen kommer vi att dela upp processen att konstruera en graf i två steg:
1. Övergång till ett koordinatsystem med axlarna x 2 =0, y 2 =0, specificerade i det gamla koordinatsystemet med ekvationerna x-y-3=0 respektive x+y-1=0.

2. Konstruktion av en graf över funktionen i det resulterande koordinatsystemet.

Den slutliga versionen av grafen ser ut så här (se. Lösning: Ladda ner lösning

Träning. Fastställ att var och en av följande ekvationer definierar en ellips och hitta koordinaterna för dess centrum C, halvaxel, excentricitet, riktlinjeekvationer. Rita en ellips på ritningen som anger symmetriaxlarna, foci och riktlinjer.
Lösning.

§ 9. Begreppet ekvation av en linje.

Definiera en linje med hjälp av en ekvation

Likhet av formen F (x, y) = 0 kallas en ekvation i två variabler x, y, om det inte är sant för alla par av tal x, y. De säger två siffror x = x 0 , y=y 0, uppfylla någon formekvation F(x, y)=0, om när dessa siffror ersätts istället för variabler X Och på i ekvationen försvinner dess vänstra sida.

Ekvationen för en given linje (i ett utpekat koordinatsystem) är en ekvation med två variabler som är uppfylld av koordinaterna för varje punkt som ligger på denna linje, och inte uppfylld av koordinaterna för varje punkt som inte ligger på den.

I det följande ges istället för uttrycket "linjens ekvation F(x, y) = 0" säger vi ofta kortfattat: givet en linje F (x, y) = 0.

Om ekvationerna för två linjer ges F(x, y) = 0 Och Ф(x, y) = Q, sedan systemets gemensamma lösning

Ger alla deras skärningspunkter. Mer exakt bestämmer varje par av tal som är en gemensam lösning av detta system en av skärningspunkterna.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4på+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4på -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Poäng ges i det polära koordinatsystemet

Bestäm vilken av dessa punkter som ligger på linjen som definieras av ekvationen i polära koordinater  = 2 cos , och vilka som inte ligger på den. Vilken linje bestäms av denna ekvation? (Rita den på ritningen:)

164. På linjen som definieras av ekvationen  =
, hitta punkter vars polära vinklar är lika med följande tal: a) ,b) - ,c) 0, d) . Vilken linje definieras av denna ekvation?

(Bygg det på ritningen.)

165. På linjen som definieras av ekvationen  =
, hitta punkter vars polära radier är lika med följande tal: a) 1, b) 2, c)
. Vilken linje definieras av denna ekvation? (Bygg det på ritningen.)

166. Fastställ vilka linjer som bestäms i polära koordinater med följande ekvationer (konstruera dem på ritningen):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) synd  =

Betrakta funktionen som ges av formeln (ekvationen)

Denna funktion, och därför ekvation (11), motsvarar en väldefinierad linje på planet, som är grafen för denna funktion (se fig. 20). Av definitionen av grafen för en funktion följer att denna linje består av de och endast de punkter i planet vars koordinater uppfyller ekvation (11).

Låt det nu

Linjen, som är grafen för denna funktion, består av de och endast de punkter i planet vars koordinater uppfyller ekvation (12). Detta betyder att om en punkt ligger på den specificerade linjen, så uppfyller dess koordinater ekvation (12). Om punkten inte ligger på denna linje, så uppfyller dess koordinater inte ekvation (12).

Ekvation (12) löses med avseende på y. Betrakta en ekvation som innehåller x och y och inte löst för y, till exempel ekvationen

Låt oss visa att denna ekvation i planet också motsvarar en linje, nämligen en cirkel med centrum i origo och en radie lika med 2. Låt oss skriva om ekvationen i formen

Dess vänstra sida är kvadraten på punktens avstånd från origo (se § 2, stycke 2, formel 3). Av likhet (14) följer att kvadraten på detta avstånd är lika med 4.

Detta betyder att varje punkt vars koordinater uppfyller ekvation (14), och därför ekvation (13), är belägen på ett avstånd av 2 från origo.

Den geometriska platsen för sådana punkter är en cirkel med centrum i origo och radie 2. Denna cirkel kommer att vara den linje som motsvarar ekvation (13). Koordinaterna för någon av dess punkter uppfyller uppenbarligen ekvation (13). Om punkten inte ligger på cirkeln vi hittade, kommer kvadraten på dess avstånd från origo att vara antingen större eller mindre än 4, vilket betyder att koordinaterna för en sådan punkt inte uppfyller ekvation (13).

Låt nu, i det allmänna fallet, ges ekvationen

på vänster sida där det finns ett uttryck som innehåller x och y.

Definition. Linjen som definieras av ekvation (15) är det geometriska stället för punkter i planet vars koordinater uppfyller denna ekvation.

Detta betyder att om linjen L bestäms av en ekvation, så uppfyller koordinaterna för någon punkt L denna ekvation, men koordinaterna för någon punkt i planet som ligger utanför L uppfyller inte ekvation (15).

Ekvation (15) kallas linjeekvationen

Kommentar. Man ska inte tro att någon ekvation bestämmer någon linje. Till exempel definierar inte ekvationen någon linje. Faktum är att för alla reella värden på och y är den vänstra sidan av denna ekvation positiv och den högra sidan är lika med noll, och därför kan denna ekvation inte uppfyllas av koordinaterna för någon punkt i planet

En linje kan definieras på ett plan inte bara av en ekvation som innehåller kartesiska koordinater, utan också av en ekvation i polära koordinater. En linje definierad av en ekvation i polära koordinater är det geometriska stället för punkter i planet vars polära koordinater uppfyller denna ekvation.

Exempel 1. Konstruera en Arkimedes-spiral vid .

Lösning. Låt oss göra en tabell för några värden för den polära vinkeln och motsvarande värden för den polära radien.

Vi konstruerar en punkt i det polära koordinatsystemet, som uppenbarligen sammanfaller med polen; sedan, genom att rita axeln i en vinkel mot polaxeln, konstruerar vi en punkt med en positiv koordinat på denna axel, varefter vi på samma sätt konstruerar punkter med positiva värden för polarvinkeln och polarradien (axlarna för dessa punkter är inte indikerat i fig. 30).

Genom att koppla ihop punkterna får vi en gren av kurvan, indikerad i fig. 30 med en fet linje. När man byter från 0 till denna gren består kurvan av ett oändligt antal varv.

En likhet av formen F(x, y) = 0 kallas en ekvation med två variabler x, y om det inte är sant för alla talpar x, y. De säger att två tal x = x 0, y = y 0 uppfyller någon ekvation av formen F(x, y) = 0 om, när dessa siffror istället för variablerna x och y ersätts i ekvationen, dess vänstra sida blir noll .

Ekvationen för en given linje (i ett designat koordinatsystem) är en ekvation med två variabler som är uppfylld av koordinaterna för varje punkt som ligger på denna linje och inte uppfylld av koordinaterna för varje punkt som inte ligger på den.

I det följande, istället för uttrycket "med tanke på ekvationen för linjen F(x, y) = 0", kommer vi ofta att säga mer kortfattat: givet linjen F(x, y) = 0.

Om ekvationerna för två linjer ges: F(x, y) = 0 och Ф(x, y) = 0, då systemets gemensamma lösning

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

ger alla deras skärningspunkter. Mer exakt bestämmer varje par av tal som är en gemensam lösning av detta system en av skärningspunkterna,

157. Givet poäng *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Bestäm vilken av de givna punkterna som ligger på linjen definierad av ekvationen x + y = 0 och vilka som inte ligger på den. Vilken linje definieras av denna ekvation? (Rita den på ritningen.)

158. På linjen som definieras av ekvationen x 2 + y 2 = 25, hitta punkter vars abskiss är lika med följande tal: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; på samma linje hitta punkter vars ordinater är lika med följande tal: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Vilken linje definieras av denna ekvation? (Rita den på ritningen.)

159. Bestäm vilka linjer som bestäms av följande ekvationer (konstruera dem på ritningen): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y2 = 0; 11) x 2 - y2 = 0; 12) xy = 0; 13) y2-9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y2+ med +4 = 0; 16) x 2y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y2 = 16; 24) (x - 2) 2+ (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y2 = 0; 29) x 2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Givna linjer: l)x + y = 0; 2) x - y = 0; 3) x 2 + y2 - 36 = 0; 4) x2 + y2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Bestäm vilka av dem som passerar genom origo.

161. Givna linjer: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2+ (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2+ (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2+ (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Hitta deras skärningspunkter: a) med Ox-axeln; b) med Oy-axeln.

162. Hitta skärningspunkterna för två linjer:

1) x 2 + y 2 - 8; x-y=0;

2) x 2 + y2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y2 - 2x + 4y - 3 = 0; x2 + y2 = 25;

4) x 2 + y2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. I det polära koordinatsystemet, punkterna M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) och M 5 (1; 2/3π). Bestäm vilken av dessa punkter som ligger på linjen definierad i polära koordinater av ekvationen p = 2cosΘ, och vilka som inte ligger på den. Vilken linje bestäms av denna ekvation? (Rita den på ritningen.)

164. På linjen som definieras av ekvationen p = 3/cosΘ, hitta punkter vars polära vinklar är lika med följande tal: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Vilken linje definieras av denna ekvation? (Bygg det på ritningen.)

165. På linjen som definieras av ekvationen p = 1/sinΘ, hitta punkter vars polära radier är lika med följande tal: a) 1 6) 2, c) √2. Vilken linje definieras av denna ekvation? (Bygg det på ritningen.)

166. Fastställ vilka linjer som bestäms i polära koordinater med följande ekvationer (konstruera dem på ritningen): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Konstruera följande Arkimedes-spiraler på ritningen: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Konstruera följande hyperboliska spiraler på ritningen: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/0; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Konstruera följande logaritmiska spiraler på ritningen: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Bestäm längderna på segmenten i vilka Arkimedesspiralen p = 3Θ skärs av en stråle som kommer ut från polen och lutar mot polaxeln i en vinkel Θ = π/6. Gör en ritning.

171. På Arkimedesspiralen p = 5/πΘ tas punkt C, vars polradie är 47. Bestäm hur många delar denna spiral skär den polära radien av punkt C. Gör en ritning.

172. På en hyperbolisk spiral P = 6/Θ, hitta en punkt P vars polära radie är 12. Gör en ritning.

173. På en logaritmisk spiral p = 3 Θ, hitta en punkt P vars polära radie är 81. Gör en ritning.

Låt oss överväga ett förhållande mellan formen F(x, y)=0, anslutande variabler x Och på. Vi kallar jämlikhet (1) ekvation med två variabler x, y, om denna likhet inte är sant för alla par av tal X Och på. Exempel på ekvationer: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Om (1) är sant för alla par av nummer x och y, så kallas det identitet. Exempel på identiteter: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y2 = 0.

Vi kallar ekvation (1) ekvation av en uppsättning punkter (x; y), om denna ekvation är uppfylld av koordinaterna X Och på någon punkt i uppsättningen och är inte uppfyllda av koordinaterna för någon punkt som inte hör till denna uppsättning.

Ett viktigt begrepp inom analytisk geometri är konceptet med ekvationen för en linje. Låt ett rektangulärt koordinatsystem och en viss linje anges på planet α.

Definition. Ekvation (1) kallas linjeekvationen α (i det skapade koordinatsystemet), om denna ekvation är uppfylld av koordinaterna X Och på någon punkt som ligger på linjen α , och uppfyller inte koordinaterna för någon punkt som inte ligger på denna linje.

Om (1) är linjens ekvation α, då säger vi att ekvation (1) definierar (uppsättningar) linje α.

Linje α kan bestämmas inte bara av en ekvation av formen (1), utan också av en formekvation

F (P, φ) = 0 som innehåller polära koordinater.

• ekvation av en rät linje med en vinkelkoefficient;

Låt någon rät linje, inte vinkelrät, mot axeln ges ÅH. Låt oss ringa lutningsvinkel ges rak linje till axeln ÅH hörn α , till vilken axeln måste roteras ÅH så att den positiva riktningen sammanfaller med en av den räta linjens riktningar. Tangent av lutningsvinkeln för den raka linjen mot axeln ÅH kallad backe denna rad och betecknas med bokstaven TILL.

	K=tg a
		(1)

Låt oss härleda ekvationen för denna linje om vi vet dess TILL och värdet i segmentet OB, som den skär av på axeln OU.

(2)

y=kx+b

Låt oss beteckna med M"planpunkt (x; y). Om vi ​​ritar rakt BN Och N.M., parallellt med axlarna, alltså r BNM – rektangulär. T. MC C BM <=>, när värdena N.M. Och BN uppfylla villkoret: . Men NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> med hänsyn till (1) får vi det poängen M(x;y)C på denna linje<=>, när dess koordinater uppfyller ekvationen: =>

Ekvation (2) kallas ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient. Om K=0, då är den räta linjen parallell med axeln ÅH och dess ekvation är y = b.

• ekvation för en linje som går genom två punkter;

(4)

Låt två poäng ges M 1 (x 1; y 1) Och M2 (x 2; y2). Tar vid (3) punkt M(x;y) Bakom M2 (x 2; y 2), vi får y2-y1=k(x2-x1). Definiera k från den sista likheten och ersätter den med ekvation (3) får vi den önskade ekvationen för linjen: . Detta är ekvationen om y 1 ≠ y 2, kan skrivas som:

Om y 1 = y 2, då har ekvationen för den önskade linjen formen y = y 1. I detta fall är den räta linjen parallell med axeln ÅH. Om x 1 = x 2, sedan den räta linjen som går genom punkterna M 1 Och M 2, parallellt med axeln OU, dess ekvation har formen x = x 1.

• ekvation för en rät linje som går genom en given punkt med en given lutning;

(3)

Аx + Вy + С = 0

Sats. I ett rektangulärt koordinatsystem Ohoo varje rät linje ges av en ekvation av första graden:

och, omvänt, ekvation (5) för godtyckliga koefficienter A, B, C (A Och B ≠ 0 samtidigt) definierar en viss rät linje i ett rektangulärt koordinatsystem Åh.

Bevis.

Låt oss först bevisa det första påståendet. Om linjen inte är vinkelrät Åh, då bestäms det av ekvationen för första graden: y = kx + b, dvs. formens ekvation (5), där

A = k, B = -1 Och C = b. Om linjen är vinkelrät Åh, då har alla dess punkter samma abskiss, lika med värdet α segment avskuren av en rak linje på axeln Åh.

Ekvationen för denna linje har formen x = α, de där. är också en förstagradsekvation av formen (5), där A = 1, B = 0, C = - a. Detta bevisar det första påståendet.

Låt oss bevisa det omvända påståendet. Låt ekvation (5) ges, och åtminstone en av koefficienterna A Och B ≠ 0.

Om B ≠ 0, då kan (5) skrivas i formen . Platt , får vi ekvationen y = kx + b, dvs. en ekvation av formen (2) som definierar en rät linje.

Om B = 0, Den där A ≠ 0 och (5) tar formen . Betecknar med α, vi får

x = a, dvs. ekvation för en linje vinkelrät Oh.

Linjer som definieras i ett rektangulärt koordinatsystem av en ekvation av första graden kallas första orderraderna.

Formens ekvation Axe + Wu + C = 0är ofullständig, dvs. Vissa av koefficienterna är lika med noll.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 och definierar en rät linje som går genom origo.

2) B = 0 (A ≠ 0); ekvationen Axe + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 och definierar en rät linje parallell Åh.

Ekvation (6) kallas ekvationen för en rät linje "i segment". Tal A Och bär värdena för segmenten som den räta linjen skär av på koordinataxlarna. Denna form av ekvationen är lämplig för den geometriska konstruktionen av en rät linje.

• normal ekvation för en linje;

Аx + Вy + С = 0 är den allmänna ekvationen för en viss linje, och (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

dess normala ekvation.

Eftersom ekvationerna (5) och (7) definierar samma räta linje, då ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 Och

A 2x + B 2y + C2 = 0 => ) koefficienterna för dessa ekvationer är proportionella. Detta betyder att genom att multiplicera alla termer i ekvation (5) med en viss faktor M, får vi ekvationen MA x + MV y + MS = 0, sammanfallande med ekvation (7), dvs.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

För att hitta faktorn M, kvadrerar vi de två första av dessa likheter och lägger till:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)