Vilken ekvation kallas ekvationen för denna linje. Coolt arbete04/02/12

Låt oss granska * Vilken ekvation kallas kvadratisk? * Vilka ekvationer kallas ofullständiga andragradsekvationer? * Vilken andragradsekvation kallas reducerad? * Vad kallas roten till en andragradsekvation? * Vad innebär det att lösa en andragradsekvation? Vilken ekvation kallas kvadratisk? Vilka ekvationer kallas ofullständiga andragradsekvationer? Vilken andragradsekvation kallas reducerad? Vad är roten till en andragradsekvation? Vad innebär det att lösa en andragradsekvation? Vilken ekvation kallas kvadratisk? Vilka ekvationer kallas ofullständiga andragradsekvationer? Vilken andragradsekvation kallas reducerad? Vad är roten till en andragradsekvation? Vad innebär det att lösa en andragradsekvation?

Algoritm för att lösa en andragradsekvation: 1. Bestäm det mest rationella sättet att lösa en andragradsekvation 2. Välj det mest rationella sättet att lösa 3. Bestäm antalet rötter i en andragradsekvation 4. Hitta rötterna till en andragradsekvation För bättre memorering, fyll i tabellen... För bättre memorering, fyll i tabellen... För bättre memorering, fyll i tabell...

Ytterligare villkor Ekvation Rötter Exempel 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), där c/a 0. b) om c/a 0, så finns det inga lösningar 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, där D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – jämnt tal (b = 2k), a 0, i 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, där k = 6. Den omvända satsen till Vietas sats x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Särskilda metoder 7. Metod för att isolera kvadraten av ett binomial. Mål: Reducera en generell ekvation till en ofullständig andragradsekvation. Obs: metoden är tillämpbar på alla andragradsekvationer, men är inte alltid bekväm att använda. Används för att bevisa formeln för rötterna till en andragradsekvation. Exempel: lös ekvationen x 2 -6 x+8=0 8. Metod för att ”överföra” den högsta koefficienten. Rötterna till andragradsekvationerna ax 2 + bx + c = 0 och y 2 +by+ac=0 är relaterade av relationerna: och Notera: metoden är bra för andragradsekvationer med "bekväma" koefficienter. I vissa fall låter det dig lösa en andragradsekvation muntligt. Exempel: lös ekvationen 2 x 2 -9 x-5=0 Baserat på satser: Exempel: lös ekvationen 157 x x-177=0 9. Om i en andragradsekvation a+b+c=0, då är en av rötter är 1, och den andra, enligt Vietas sats, är lika med c / a 10. Om i en andragradsekvation a + c = b, så är en av rötterna lika med -1, och den andra, enligt Vietas sats, är lika med -c / a Exempel: lös ekvationen 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Allmänna metoder för att lösa ekvationer 11. Faktoriseringsmetod. Mål: Reducera en generell andragradsekvation till formen A(x)·B(x)=0, där A(x) och B(x) är polynom med avseende på x. Metoder: Att ta den gemensamma faktorn ur parentes; Använda förkortade multiplikationsformler; Grupperingsmetod. Exempel: lös ekvationen 3 x 2 +2 x-1=0 12. Metod för att introducera en ny variabel. Bra val av en ny variabel gör strukturen i ekvationen mer transparent Exempel: lös ekvationen (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8

Likhet i formen F (x, y) = 0 kallas en ekvation i två variabler x, y, om det inte är sant för alla par av tal x, y. De säger två siffror x = x 0 , y=y 0, uppfylla någon formekvation F(x, y)=0, om när dessa siffror ersätts istället för variabler X Och på i ekvationen försvinner dess vänstra sida.

Ekvationen för en given linje (i ett designat koordinatsystem) är en ekvation med två variabler som är uppfylld av koordinaterna för varje punkt som ligger på denna linje och inte uppfylld av koordinaterna för varje punkt som inte ligger på den.

I det följande ges istället för uttrycket "linjens ekvation F(x, y) = 0" säger vi ofta kortfattat: givet en linje F (x, y) = 0.

Om ekvationerna för två linjer ges F(x, y) = 0 Och Ф(x, y) = Q, sedan systemets gemensamma lösning

ger alla deras skärningspunkter. Mer exakt bestämmer varje par av tal som är en gemensam lösning av detta system en av skärningspunkterna.

*) I de fall koordinatsystemet inte namnges, antas det vara kartesiskt rektangulärt.

157. Poäng ges *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Bestäm vilka publicerade punkter som ligger på linjen som definieras av ekvationen X+ y = 0, och vilka som inte ligger på den. Vilken linje definieras av denna ekvation? (Rita den på ritningen.)

158. På linjen som definieras av ekvationen X 2 +y 2 =25, hitta de punkter vars abskiss är lika med följande tal: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; på samma linje hitta punkter vars ordinater är lika med följande tal: e) 3, f) - 5, g) - 8. Vilken linje bestäms av denna ekvation? (Rita den på ritningen.)

159. Bestäm vilka linjer som bestäms av följande ekvationer (konstruera dem på ritningen):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; elva) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y2-9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2+5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|på|; 19)y + |x|=0;

20) x +|på|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) X 2 + på 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160. Angivna rader:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.

Bestäm vilka av dem som passerar genom ursprunget.

161. Angivna rader:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2+ (y-3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2+ (y-4) 2 = 9;

5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8på+ 7 = 0;

7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Hitta deras skärningspunkter: a) med axeln Åh; b) med en axel OU.

162. Hitta skärningspunkterna för två linjer;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4på+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4på -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Poäng ges i det polära koordinatsystemet

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) Och M 5 (1; )

Bestäm vilken av dessa punkter som ligger på linjen som definieras av ekvationen i polära koordinater  = 2 cos , och vilka som inte ligger på den. Vilken linje bestäms av denna ekvation? (Rita den på ritningen:)

164. På linjen som definieras av ekvationen  = , hitta punkter vars polära vinklar är lika med följande tal: a) ,b) - , c) 0, d) . Vilken linje definieras av denna ekvation?

(Bygg det på ritningen.)

165.På linjen som definieras av ekvationen  = , hitta punkter vars polära radier är lika med följande tal: a) 1, b) 2, c)
. Vilken linje definieras av denna ekvation? (Bygg det på ritningen.)

166. Fastställ vilka linjer som bestäms i polära koordinater med följande ekvationer (konstruera dem på ritningen):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) synd  = 9) synd  =

167. Konstruera följande Arkimedes-spiraler på ritningen:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)R = -1.

168. Konstruera följande hyperboliska spiraler på ritningen:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Konstruera följande logaritmiska spiraler på ritningen:

,
.

170. Bestäm längderna på segmenten som Archimedes-spiralen skär sig i

stråle som kommer ut från polen och lutar mot polaxeln i en vinkel
. Gör en ritning.

171. Om Arkimedes-spiralen
jag förstår MED, vars polära radie är 47. Bestäm hur många delar denna spiral skär punktens polära radie MED, Gör en ritning.

172. På en hyperbolisk spiral
hitta en punkt R, vars polradie är 12. Gör en ritning.

173. På en logaritmisk spiral
hitta punkt Q vars polradie är 81. Gör en ritning.

En linje på ett plan är en samling punkter på detta plan som har vissa egenskaper, medan punkter som inte ligger på en given linje inte har dessa egenskaper. Ekvationen för en linje definierar ett analytiskt uttryckt förhållande mellan koordinaterna för punkter som ligger på denna linje. Låt detta förhållande ges av ekvationen

F( x,y)=0. (2.1)

Ett par nummer som uppfyller (2.1) är inte godtyckligt: ​​if X givet alltså på kan inte vara någonting, mening på associerad med X. När det ändras Xändringar på, och en punkt med koordinater ( x,y) beskriver denna rad. Om koordinaterna för punkt M 0 ( X 0 ,på 0) uppfylla ekvation (2.1), dvs. F( X 0 ,på 0)=0 är en sann likhet, då ligger punkt M 0 på denna linje. Det omvända är också sant.

Definition. En ekvation för en linje på ett plan är en ekvation som är uppfylld av koordinaterna för någon punkt som ligger på denna linje, och inte uppfylld av koordinaterna för punkter som inte ligger på denna linje.

Om ekvationen för en viss linje är känd, kan studiet av de geometriska egenskaperna för denna linje reduceras till studiet av dess ekvation - detta är en av huvudidéerna för analytisk geometri. För att studera ekvationer finns det välutvecklade metoder för matematisk analys som förenklar studiet av linjers egenskaper.

När man överväger linjer används termen aktuell punkt linje – variabel punkt M( x,y), rör sig längs denna linje. Koordinater X Och på nuvarande punkt kallas nuvarande koordinater linjepunkter.

Om från ekvation (2.1) kan vi uttrycka uttryckligen på
genom X, det vill säga skriv ekvation (2.1) i formen , då kallas kurvan som definieras av en sådan ekvation schema funktioner f(x).

1. Ekvationen ges: , eller . Om X tar godtyckliga värden, alltså på tar värden lika med X. Följaktligen består linjen som definieras av denna ekvation av punkter på samma avstånd från koordinataxlarna Ox och Oy - detta är bisektrisen för koordinatvinklarna I–III (rät linje i fig. 2.1).

Ekvationen, eller, bestämmer bisektrisen för II–IV-koordinatvinklarna (rät linje i fig. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

ris. 2.1 fig. 2.2 fig. 2.3

2. Ekvationen ges: , där C är någon konstant. Denna ekvation kan skrivas annorlunda: . Denna ekvation uppfylls av dessa och endast dessa punkter, ordinaterna på som är lika med C för alla abskissvärden X. Dessa punkter ligger på en rät linje parallell med Ox-axeln (Fig. 2.2). På liknande sätt definierar ekvationen en rät linje parallell med Oy-axeln (Fig. 2.3).

Inte varje ekvation av formen F( x,y)=0 definierar en linje på planet: ekvationen är uppfylld av en enda punkt – O(0,0), och ekvationen är inte uppfylld av någon punkt på planet.

I de givna exemplen använde vi en given ekvation för att konstruera en linje som bestäms av denna ekvation. Låt oss överväga det omvända problemet: konstruera dess ekvation med hjälp av en given linje.

3. Skapa en ekvation för en cirkel med centrum i punkten P( a,b) Och
radie R .

○ En cirkel med mittpunkt i punkt P och radie R är en uppsättning punkter som ligger på ett avstånd R från punkt P. Detta betyder att för varje punkt M som ligger på cirkeln är MP = R, men om punkt M inte ligger på cirkeln, sedan MP ≠ R.. ●

Rak linje på ett plan och i rymden.

Studiet av egenskaperna hos geometriska figurer med hjälp av algebra kallas analytisk geometri , och vi kommer att använda den så kallade koordinatmetod .

En linje på ett plan definieras vanligtvis som en uppsättning punkter som har egenskaper som är unika för dem. Det faktum att x- och y-koordinaterna (talen) för en punkt som ligger på denna linje skrivs analytiskt i form av någon ekvation.

Def.1 Ekvation för en linje (ekvation för en kurva) på Oxy-planet kallas en ekvation (*), som är uppfylld av x- och y-koordinaterna för varje punkt på en given linje och inte uppfylls av koordinaterna för någon annan punkt som inte ligger på denna linje.

Av definition 1 följer att varje linje på planet motsvarar någon ekvation mellan de aktuella koordinaterna ( x,y ) punkter på denna linje och vice versa, varje ekvation motsvarar generellt sett en viss linje.

Detta ger upphov till två huvudproblem med analytisk geometri på planet.

1. En linje ges i form av en uppsättning punkter. Vi måste skapa en ekvation för denna linje.

2. Linjens ekvation ges. Det är nödvändigt att studera dess geometriska egenskaper (form och plats).

Exempel. Gör poängen lögn A(-2;1) Och I (1;1) på rad 2 X +på +3=0?

Problemet med att hitta skärningspunkterna för två linjer som ges av ekvationerna och handlar om att hitta koordinater som uppfyller båda linjernas ekvation, dvs. att lösa ett system av två ekvationer med två okända.

Om detta system inte har några riktiga lösningar, skärs inte linjerna.

Konceptet med en linje introduceras i UCS på liknande sätt.

En linje på ett plan kan definieras av två ekvationer

Var X Och på – godtyckliga punktkoordinater M(x;y), liggande på denna linje, och t - en variabel som kallas parameter , bestämmer parametern positionen för punkten på planet.

Till exempel, om , så motsvarar värdet på parametern t=2 punkten (3;4) på ​​planet.

Om parametern ändras, flyttas punkten på planet, vilket beskriver denna linje. Denna metod för att definiera en linje kallas parametrisk, och ekvation (5.1) är en parametrisk ekvation för linjen.

För att gå från parametriska ekvationer till en allmän ekvation (*) måste man på något sätt eliminera parametern från de två ekvationerna. Vi noterar dock att en sådan övergång inte alltid är tillrådlig och inte alltid möjlig.

En linje på ett plan kan anges vektorekvation , där t är en skalär variabel parameter. Varje parametervärde motsvarar en specifik planvektor. När du ändrar parametern kommer slutet av vektorn att beskriva en viss linje.

Vektor ekvation i DSC motsvarar två skalära ekvationer

(5.1), dvs. ekvationen för projektioner på koordinataxlarna för vektorekvationen för en linje är dess

parametrisk ekvation.

Vektorekvationen och de parametriska linjeekvationerna har en mekanisk betydelse. Om en punkt rör sig på ett plan, anropas de angivna ekvationerna rörelseekvationer och linjen är punktens bana, parametern t är tid.

Slutsats: varje linje på planet motsvarar en formekvation.

I det allmänna fallet motsvarar ALLA EKVATION AV EN VY en viss linje, vars egenskaper bestäms av den givna ekvationen (med undantag för att ingen geometrisk bild motsvarar en ekvation på ett plan).

Låt ett koordinatsystem på planet väljas.

Def. 5.1. Linjeekvation denna typ av ekvation kallasF(x;y) =0, vilket är uppfyllt av koordinaterna för varje punkt som ligger på denna linje, och inte uppfyllt av koordinaterna för någon punkt som inte ligger på den.

Formens ekvationF(x;y )=0 – kallas den allmänna ekvationen för en linje eller en ekvation i implicit form.

Linjen Г är således platsen för punkter som uppfyller denna ekvation Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linjen kallas också krokig.

Lösa ekvationen

Illustration av en grafisk metod för att hitta rötterna till en ekvation

Att lösa en ekvation är uppgiften att hitta sådana värden för de argument vid vilka denna jämlikhet uppnås. Ytterligare villkor (heltal, reellt, etc.) kan ställas på argumentens möjliga värden.

Att ersätta en annan rot ger ett felaktigt påstående:

.

Således måste den andra roten kasseras som främmande.

Typer av ekvationer

Det finns algebraiska, parametriska, transcendentala, funktionella, differentiala och andra typer av ekvationer.

Vissa ekvationsklasser har analytiska lösningar, som är bekväma eftersom de inte bara ger det exakta värdet på roten, utan låter dig också skriva lösningen i form av en formel, som kan innehålla parametrar. Analytiska uttryck tillåter inte bara att beräkna rötterna, utan också att analysera deras existens och deras kvantitet beroende på parametervärdena, vilket ofta är ännu viktigare för praktisk användning än de specifika värdena för rötterna.

Ekvationer för vilka analytiska lösningar är kända inkluderar algebraiska ekvationer som inte är högre än den fjärde graden: linjärekvation, andragradsekvation, kubisk ekvation och fjärdegradsekvation. Algebraiska ekvationer med högre grader i det allmänna fallet har ingen analytisk lösning, även om vissa av dem kan reduceras till ekvationer med lägre grader.

En ekvation som inkluderar transcendentala funktioner kallas transcendentala. Bland dem är analytiska lösningar kända för vissa trigonometriska ekvationer, eftersom nollorna för trigonometriska funktioner är välkända.

I det allmänna fallet, när en analytisk lösning inte kan hittas, används numeriska metoder. Numeriska metoder ger ingen exakt lösning, utan tillåter bara att man begränsar intervallet där roten ligger till ett visst förutbestämt värde.

Exempel på ekvationer

se även

Litteratur

• Bekarevich, A. B. Ekvationer i en skolmatematikkurs / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
• Markushevich, L. A. Ekvationer och ojämlikheter i den slutliga upprepningen av gymnasiets algebrakurs / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematik i skolan. - 2004. - Nr 1.
• Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kiev: Radyanska skolan, 1968.
• Ekvationen- artikel från Great Soviet Encyclopedia
• Ekvationer// Collier's Encyclopedia. – Öppet samhälle. 2000.
• Ekvationen// Encyclopedia Around the World
• Ekvationen// Matematisk uppslagsverk. - M.: Sovjetiskt uppslagsverk. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Länkar

• EqWorld - World of Mathematical Equations - innehåller omfattande information om matematiska ekvationer och ekvationssystem.

Wikimedia Foundation. 2010.

Synonymer:

Antonymer:

• Khadzhimba, Raul Dzhumkovich
• ES DATOR

Se vad "ekvation" är i andra ordböcker:

EKVATIONEN- (1) en matematisk representation av problemet med att hitta sådana värden av argumenten (se (2)), för vilka värdena för två data (se) är lika. Argumenten som dessa funktioner beror på kallas okända, och värdena för de okända där värdena ... ... Big Polytechnic Encyclopedia

EKVATIONEN- EKVATION, ekvationer, jfr. 1. Åtgärd enligt kap. utjämna utjämna och kondition enligt 2 kap. utjämna utjämna. Lika rättigheter. Tidsekvation (översättning av sann soltid till medelsoltid, accepterad i samhället och inom vetenskapen;... ... Ushakovs förklarande ordbok

EKVATIONEN- (ekvation) Kravet på att ett matematiskt uttryck får ett specifikt värde. Till exempel skrivs en andragradsekvation som: ax2+bx+c=0. Lösningen är värdet på x vid vilket den givna ekvationen blir en identitet. I… … Ekonomisk ordbok

EKVATIONEN- en matematisk representation av problemet med att hitta värdena för de argument för vilka värdena för två givna funktioner är lika. Argumenten som dessa funktioner beror på kallas okända, och värdena för de okända där funktionsvärdena är lika... ... Stor encyklopedisk ordbok

EKVATIONEN- EKVATION, två uttryck förbundna med ett likhetstecken; dessa uttryck involverar en eller flera variabler som kallas okända. Att lösa en ekvation innebär att hitta alla värden för de okända där den blir en identitet, eller att fastställa... Modernt uppslagsverk