RMS-uppskattning. Root-mean-square approximation av tabellmässigt givna funktioner

Låt tabellen innehålla värdena för funktionen erhållen, till exempel från experiment, dvs mätt med ett fel. Sedan approximationen med hjälp av interpolationsapparat , som bygger på att likställa polynomets värden i interpolationsnoderna med tabellvärdena, opraktisk.

Med en sådan formulering av problemet bör man utföra en genomsnittlig approximation, d.v.s. beskriva en tabellmässigt given funktion genom något ganska enkelt analytiskt beroende som har ett litet antal parametrar. Det optimala valet av dessa parametrar kommer att tillåta oss att utföra rot-medelkvadrat-approximationen av funktionen som ges av tabellen.

Välja typ av analytiskt beroende bör börja med att sätta tabelldata på koordinatplan- så att fältet för experimentella punkter kommer att bildas. En jämn kurva ritas genom fältet för dessa punkter så att några av punkterna ligger på denna kurva, några av punkterna är högre och några av punkterna är lägre än den ritade kurvan. Genom formen av denna kurva bör man bestämma typen av analytiskt beroende - oavsett om det är linjärt, exponentiellt, hyperboliskt eller något annat.

Men enligt grafen är det mycket svårt att välja typ av analytiskt beroende med ögat. Därför föreslogs det en metod för grov uppskattning och val av typ av analytiskt beroende. Denna metod är verkligen ungefärlig och felaktig, eftersom kurvan kan ritas på olika sätt genom fältet av experimentella punkter, och olika referenspunkter kan tas i tabellen för beräkning, och noggrannheten hos den föreslagna tekniken är okänd. Samtidigt kan det betraktas som ett ungefärligt sätt att välja typ av beroende.

Följande algoritm för åtgärder föreslås.

1. I källtabellen väljer du två punkter med koordinater (x 1, y 1) och (x n, y n) - referenspunkter, långt ifrån varandra, och för varje koordinatpar beräkna det aritmetiska medelvärdet, geometriskt medelvärde och övertonsmedelvärde.

2. På kurvan ritad genom fältet av experimentella punkter, hitta tre ordinater som motsvarar den hittade abskissan x ar, x geom, x harmm:

3. Utför en jämförelse som finns på kurvan med den beräknade genom att beräkna följande moduler av skillnader:

4. Från de hittade värdena väljs minimum:

5. Slutsatser: om det visade sig vara minimalt

Linjärt beroende

Beroende är vägledande

Beroende bråk-linjär

Beroendet är logaritmiskt

Maktberoende

Beroende hyperbolisk

Fraktionellt-rationellt beroende

Vilket som helst av dessa beroenden kan reduceras till ett linjärt genom att utföra en koordinattransformation eller den s.k. datajustering.
Således slutar det första steget med valet av typen av analytiskt beroende, vars parametrar inte är definierade.

Andra fasen består i att bestämma de bästa värdena för koefficienterna för det valda analytiska beroendet. För detta, matematisk minsta kvadratmetoden.

Metoden är baserad på att minimera summan av kvadrerade avvikelser av de givna tabellvärdena () från de beräknade enligt det teoretiska beroendet (): .

Låt det valda beroendet vara rak linje: . Ersättare i det funktionella: . Då minimeras det funktionella:

För att hitta de bästa värdena på koefficienterna och det är nödvändigt att hitta de partiella derivatorna av med avseende på och och likställa dem med noll:

Efter transformationer tar ekvationssystemet formen:

Lösning av detta system linjära ekvationer låter dig hitta bästa värden koefficienter och linjärt beroende.

Om det valda beroendet är kvadratisk parabel:

då minimeras det funktionella: .

Parabeln har tre variabla koefficienter - vars bästa värden bör hittas genom att likställa partiella derivator av den minimerade funktionalen med noll i förhållande till de önskade koefficienterna. Detta tillåter oss att erhålla följande system med tre linjära ekvationer för att hitta koefficienterna:

Exempel 1 Bestäm vilken typ av beroende som ges av följande tabell.

X
Y	0,55	0,64	0,78	0,85	0,95	0,98	1,06	1,11

Beslut.

Punkterna som anges i tabellen ska appliceras på koordinatplanet - a området för experimentella data. Genom detta fält slät kurva.

Enligt tabellen väljs två ankarpunkter med koordinater (3; 0.55) och (10; 1.11) och för varje par abskissor och ordinater beräknas det aritmetiska, geometriska och övertonska medelvärdet:

För de tre beräknade abskissorna längs kurvan som dras genom fältet av experimentella punkter, bestäms tre motsvarande ordinater:

Notera om beräkningarnas inriktning. Därefter definieras sju skillnadsmoduler:

Tre minimala, nära varandra värden erhålls

I det andra steget är det nödvändigt att bestämma de bästa värdena för koefficienterna för vart och ett av dessa beroenden med hjälp av minsta kvadratmetoden och sedan beräkna standardavvikelsen från de givna tabellvärdena.

Det slutliga valet av det analytiska beroendet utförs av minimivärdet för standardavvikelsen.

Exempel 2 Tabellen visar resultaten experimentella studier, som kan approximeras med en rät linje. Hitta de bästa värdena på linjens koefficienter genom att använda minsta kvadratmetoden.

Beslut.

k	X k	Y k	X k Y k	X k 2	Y k teori	Y k -Y k teori	(Y k -Y k teori) 2
		66,7			67,50	0,20	0,0400
		71,0	284,0		70,98	0,02	0,0004
		76,3	763,0		76,20	0,10	0,0100
		80,6	1209,0		80,55	0,05	0,0025
		85,7	1799,7		85,77	- 0,07	0,0049
		92,9	2694,1		92,73	0,17	0,0289
		99,4	3578,4		98,82	0,58	0,3364
		113,6	5793,6		111,87	1,73	2,9929
		125,1	8506,8		126,66	- 1,56	2,4336
belopp		811,3	24628,6				5,8496

Allmän ekvation för en rät linje: .

Systemet med linjära ekvationer, från vilket de bästa värdena för koefficienterna och bör bestämmas, styrt av minsta kvadratmetoden, har formen:

Låt oss ersätta de beräknade summorna från den 2:a, 3:e, 4:e och 5:e kolumnen i den sista raden i tabellen i ekvationssystemet:

Var bestäms koefficienterna för linjärt beroende från? Så ekvationen för den teoretiska linjen har formen:

. (*)

Den sjätte kolumnen i tabellen visar funktionsvärdena beräknade av den teoretiska ekvationen för de givna värdena för argumentet. Den sjunde kolumnen i tabellen visar värdena för skillnaderna mellan de givna värdena för funktionen (3:e kolumnen) och de teoretiska värdena (6:e kolumnen) beräknade med ekvationen (*).

Den åttonde kolumnen visar de kvadratiska avvikelserna för de teoretiska värdena från experimentvärdena och summan av de kvadratiska avvikelserna bestäms. Nu kan du hitta

Exempel 3 Låt de experimentella data som ges i tabellen approximeras med en kvadratisk parabel: Hitta de bästa värdena för parabelns koefficienter genom att använda minsta kvadratmetoden.

Beslut.

k	X k	Y k	X k 2	X k 3	X k 4	X k Y k	X k 2 Y k	Y k teori	Y k -Y k teori
		29,8						29,28	0,52	0,2704
		22,9				45,8	91,6	22,22	0,68	0,4624
		17,1				68,4	273,6	17,60	-0,50	0,2500
		15,1				75,5	377,5	15,56	-0,46	0,2116
		10,7				85,6	684,8	11,53	-0,83	0,6889
		10,1				101,0	1010,0	10,60	-0,50	0,2500
		10,6				127,2	1526,4	11,06	-0,46	0,2116
		15,2				228,0	3420,0	14,38	0,82	0,6724
Sumy		122,5				731,5	7383,9			3,0173

Systemet med linjära ekvationer för att bestämma koefficienterna för en parabel har formen:

Från den sista raden i tabellen ersätts motsvarande summor i ekvationssystemet:

Lösningen av ekvationssystemet låter dig bestämma värdena för koefficienterna:

Så beroendet som ges av tabellen på segmentet approximeras av en kvadratisk parabel:

Beräkning enligt den givna formeln för de givna värdena för argumentet gör det möjligt att bilda den nionde kolumnen i tabellen som innehåller de teoretiska värdena för funktionen.

Summan av de kvadrerade avvikelserna för de teoretiska värdena från de experimentella ges i den sista raden i den elfte kolumnen i tabellen. Detta låter dig bestämma standardavvikelse:

ÖVNING #3

Ämne: Metoder för att lösa ekvationssystem

Gauss metod - metod för successiv uteslutning av okända - tillhör gruppen exakta metoder och om det inte fanns något räknefel kunde en exakt lösning erhållas.

För manuella beräkningar är det lämpligt att utföra beräkningar i en tabell som innehåller en kontrollkolumn. Nedan finns en generell version av en sådan tabell för att lösa ett system av linjära ekvationer av 4:e ordningen.

				Gratis medlemmar	Kontrollkolumn

				Gratis medlemmar	Kontrollkolumn

Exempel 1 Använd Gauss-metoden och lös ekvationssystemet av fjärde ordningen:

Dessa ungefärliga värden på rötterna kan ersättas med det ursprungliga ekvationssystemet och beräknas rester - , som är skillnaderna mellan den högra och vänstra delen av varje ekvation i systemet när de hittade rötterna ersätts med den vänstra delen. Sedan ersätts de som fria medlemmar av restsystemet och får tillägg

rötter - :

För att jämna ut Altmans diskreta funktioner, och därigenom introducera idén om kontinuitet i teorin, användes rot-medelkvadrat-integralapproximationen med ett polynom av olika grader.

Det är känt att en sekvens av interpolationspolynom över ekvidistanta noder inte nödvändigtvis konvergerar till en funktion, även om funktionen är oändligt differentierbar. För den approximerade funktionen, med hjälp av ett lämpligt arrangemang av noder, är det möjligt att minska graden av polynomet. . Strukturen för Altman-funktionerna är sådan att det är mer bekvämt att använda approximationen av funktionen inte genom interpolation, utan genom att konstruera den bästa rot-medelkvadrat-approximationen i ett normaliserat linjärt rum. Tänk på de grundläggande begreppen och informationen för att konstruera den bästa approximationen. Approximations- och optimeringsproblem uppstår i linjära normerade utrymmen.

Metriska och linjära normerade utrymmen

De bredaste begreppen inom matematik inkluderar "uppsättning" och "kartläggning". Konceptet "uppsättning", "uppsättning", "samling", "familj", "system", "klass" i icke-strikt mängdlära anses synonymer.

Termen "operatör" är identisk med termen "mappning". Termerna "drift", "funktion", "funktionell", "mått" är specialfall av begreppet "kartläggning".

Begreppen "struktur", "rum" i matematiska teoriers axiomatiska konstruktion har också nu fått grundläggande betydelse. Matematiska strukturer inkluderar mängdteoretiska strukturer (ordnade och partiellt ordnade mängder); abstrakta algebraiska strukturer (semigrupper, grupper, ringar, divisionsringar, fält, algebror, gitter); differentialstrukturer (yttre differentialformer, fiberutrymmen) , , , , , , .

En struktur förstås som en ändlig mängd som består av uppsättningar av en bärvåg (huvudmängd), ett numeriskt fält (hjälpmängd) och en mappning definierad på bärarens element och fältets nummer. Om uppsättningen av komplexa tal tas som bärare, spelar den rollen som både huvud- och hjälpmängden. Termen "struktur" är identisk med begreppet "utrymme".

För att definiera ett mellanslag är det först och främst nödvändigt att definiera en bäraruppsättning med dess element (punkter), betecknade med latinska och grekiska bokstäver

Uppsättningar av reella (eller komplexa) element kan fungera som en bärare: tal; vektorer, ; Matriser, ; Sekvenser, ; Funktioner

Uppsättningar kan också fungera som bärarelement: verklig axel, plan, tredimensionell (och multidimensionell) rymd, permutationer, rörelser; abstrakta uppsättningar.

Definition. Ett metriskt utrymme är en struktur som bildar en trippel, där mappningen är en icke-negativ reell funktion av två argument för valfritt x och y från M och uppfyller tre axiom.

• 1 - icke-negativitet; , kl.
• 2- - symmetri;
• 3- - axiom för reflexivitet.

var är avstånden mellan elementen.

I ett metriskt utrymme specificeras ett mått och konceptet med närheten av två element från stöduppsättningen bildas.

Definition. Ett verkligt linjärt (vektor) utrymme är en struktur där mappning är den additiva operationen att lägga till element som hör till den, och mappning är operationen att multiplicera ett tal med ett element från.

Operationen innebär att för alla två element är det tredje elementet unikt definierat, kallat deras summa och betecknat med, och följande axiom gäller.

kommutativ egenskap.

Associativ egenskap.

Det finns ett speciellt element i B, betecknat med sådant att det gäller för alla.

för någon existerar, sådan att.

Elementet kallas motsats till och betecknas med.

Operationen innebär att för vilket element och vilket tal som helst definieras ett element, betecknas med och axiomen är uppfyllda:

Ett element (punkter) i ett linjärt utrymme kallas också en vektor. Axiom 1 - 4 definierar en grupp (additiv), som kallas en modul och representerar en struktur.

Om en operation i en struktur inte följer några axiom, så kallas en sådan struktur en groupoid. Denna struktur är extremt dålig; den innehåller inte något axiom för associativitet, då kallas strukturen en monoid (halvgrupp).

I strukturen sätts, med hjälp av kartläggning och axiom 1-8, egenskapen linearitet.

Så det linjära utrymmet är en gruppmodul, i vars struktur ytterligare en operation läggs till - multiplikation av stödelementen med ett tal med 4 axiom. Om istället för operationen, tillsammans med ytterligare en gruppoperation av multiplikation av element med 4 axiom, och postulerar axiomet för distribution, så uppstår en struktur som kallas ett fält.

Definition. Ett linjärt normerat utrymme är en struktur där kartläggningen uppfyller följande axiom:

• 1. Och då och först då, när.
• 2. , .
• 3. , .

Och så i bara 11 axiom.

Till exempel, om vi lägger till en modul som har alla tre normegenskaper till strukturen av fältet med reella tal, där är reella tal, så blir fältet med reella tal ett normerat rum

Det finns två vanliga sätt att introducera normen: antingen genom att explicit specificera intervallformen för den homogent konvexa funktionella , , eller genom att ange skalärprodukten , .

Låt, då kan formen av den funktionella specificeras på ett oändligt antal sätt genom att ändra värdet:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Det andra vanliga sättet att acceptera uppdraget är att ytterligare en mappning introduceras i rummets struktur (en funktion av två argument, vanligtvis betecknade med och kallade skalärprodukten).

Definition. Euklidiskt rum är en struktur där den skalära produkten innehåller normen och uppfyller axiomen:

• 4. , och om och bara om

I det euklidiska rummet genereras normen av formeln

Det följer av egenskaperna 1 - 4 för den skalära produkten att alla normens axiom är uppfyllda. Om den skalära produkten är i form, kommer normen att beräknas med formeln

Utrymmesnormen kan inte specificeras med den skalära produkten .

I rum med en skalär produkt uppstår sådana kvaliteter som saknas i linjära normerade rum (elementens ortogonalitet, parallellogramlikhet, Pythagoras sats, Apollonius identitet, Ptolemaios ojämlikhet. Införandet av en skalär produkt ger sätt att mer effektivt lösa approximationsproblem.

Definition. En oändlig sekvens av element i ett linjärt normerat utrymme sägs vara normkonvergerande (helt enkelt konvergent eller har en gräns i) om det finns ett sådant element att det för något finns ett antal beroende på sådant som för

Definition. En sekvens av element i kallas fundamental om det för någon finns ett antal beroende på att några och är uppfyllda (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, s. 48)

Definition. Ett Banach-rum är en struktur där vilken grundläggande sekvens som helst konvergerar i norm.

Definition. Ett Hilbert-rum är en struktur där vilken fundamental sekvens som helst konvergerar i den norm som genereras av den skalära produkten.

Låt oss ta ett semi-kvadratiskt koordinatsystem. Detta är ett sådant koordinatsystem, där skalan är kvadratisk längs abskissan, d.v.s. divisionsvärdena plottas enligt uttrycket, här m- skala i någon längdenhet, till exempel i cm.

En linjär skala ritas ut längs y-axeln i enlighet med uttrycket

Vi sätter experimentella punkter på detta koordinatsystem. Om punkterna i denna graf ligger ungefär i en rät linje, bekräftar detta vårt antagande att beroendet y från x uttrycks väl av en funktion av formen (4.4). För att hitta koefficienterna a och b du kan nu använda en av metoderna som diskuterats ovan: metoden med sträckt tråd, metoden med utvalda punkter eller medelmetoden.

Tät tråd metod gäller på samma sätt som för en linjär funktion.

Vald poängmetod vi kan ansöka så här. På en rätlinjig graf, ta två punkter (långt från varandra). Vi betecknar koordinaterna för dessa punkter och ( x, y). Då kan vi skriva

Från det reducerade systemet med två ekvationer finner vi a och b och ersätt dem med formel (4.4) och erhåll den slutliga formen av den empiriska formeln.

Du kan inte bygga en rät linje graf, utan ta siffrorna, ( x,y) direkt från bordet. Formeln som erhålls med detta val av punkter kommer dock att vara mindre exakt.

Processen att konvertera en krökt graf till en rät linje kallas för utplaning.

Medium metod. Den tillämpas på samma sätt som i fallet med linjärt beroende. Vi delar upp experimentpunkterna i två grupper med samma (eller nästan samma) antal poäng i varje grupp. Jämlikhet (4.4) kan skrivas om som

Vi hittar summan av residualer för punkterna i den första gruppen och är lika med noll. Vi gör samma sak för poängen i den andra gruppen. Vi får två ekvationer med okända a och b. Att lösa ekvationssystemet finner vi a och b.

Observera att när du använder denna metod, är det inte nödvändigt att bygga en ungefärlig rät linje. Ett spridningsdiagram i ett semi-kvadratiskt koordinatsystem behövs bara för att kontrollera att en funktion av formen (4.4) är lämplig för en empirisk formel.

Exempel. När man studerade temperaturens inverkan på kronometerns förlopp erhölls följande resultat:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

I det här fallet är vi inte intresserade av själva temperaturen, utan av dess avvikelse från . Därför tar vi som ett argument , var t- temperatur i grader Celsius enligt den vanliga skalan.

Efter att ha plottat motsvarande punkter på det kartesiska koordinatsystemet, ser vi att en parabel med en axel parallell med y-axeln kan tas som en approximativ kurva (fig. 4). Låt oss ta ett semi-kvadratiskt koordinatsystem och rita experimentella punkter på det. Vi ser att dessa punkter passar tillräckligt bra på en rak linje. Alltså den empiriska formeln

kan sökas i formuläret (4.4).

Låt oss definiera koefficienterna a och b med medelmetoden. För att göra detta delar vi de experimentella punkterna i två grupper: i den första gruppen - de tre första punkterna, i den andra - de återstående fyra punkterna. Med hjälp av likhet (4.5) hittar vi summan av residualer för varje grupp och likställer varje summa till noll.

Ofta värdena för den interpolerade funktionen U u2 , ..., yn bestäms från experimentet med vissa fel, så det är orimligt att använda den exakta approximationen vid interpolationsnoderna. I det här fallet är det mer naturligt att approximera funktionen inte med poäng, utan med genomsnitt, dvs i en av Lp-normerna.

Mellanslag 1 p - uppsättning funktioner d(x), definieras på segmentet [a, b] och modulo integrerbar med p-te graden, om normen är definierad

Konvergens i en sådan norm kallas konvergens i genomsnitt. Rummet 1,2 kallas Hilbert-rummet, och konvergensen i det är det rms.

Låt funktionen Ax) och mängden funktioner φ(x) från något linjärt normerat utrymme ges. I samband med problemet med interpolation, approximation och approximation kan följande två problem formuleras.

Första uppgiftenär en approximation med en given noggrannhet, d.v.s. enligt en given e hitta ett φ(x) så att olikheten |[Ax) - φ(x)|| G..

Andra uppgiftenär en sökning den bästa uppskattningen dvs sökningen efter en funktion φ*(x) som uppfyller sambandet:

Låt oss utan bevis definiera ett tillräckligt villkor för existensen av den bästa approximationen. För att göra detta, i det linjära utrymmet av funktioner, väljer vi en uppsättning parametriserad av uttrycket

där uppsättningen funktioner φ[(x), ..., φn(x) antas vara linjärt oberoende.

Det kan visas att i vilket normerat utrymme som helst med linjär approximation (2.16) finns den bästa approximationen, även om den är unik i alla linjära utrymmen.

Låt oss betrakta Hilbertrymden LzCp) för verkliga kvadratintegrerbara funktioner med vikten p(x) > 0 på [ , där den skalära produkten ( g,h) bestämt av

formel:

Vi finner att den linjära kombinationen (2.16) ersätts med bästa approximationsvillkor

Att likställa derivatorna med noll med avseende på koefficienterna (D, k= 1, ..., П, får vi ett system av linjära ekvationer

Determinanten för ekvationssystemet (2.17) kallas Gram-determinanten. Grams determinant är icke-noll, eftersom det antas att funktionssystemet φ[(x), ..., φn(x) är linjärt oberoende.

Den bästa approximationen finns alltså och är unik. För att få det är det nödvändigt att lösa ekvationssystemet (2.17). Om funktionssystemet φ1(x), ..., φn(x) är ortogonaliserat, dvs (φ/, φ,) = sy, där SCH,I j = 1, ..., P, då kan ekvationssystemet lösas i formen:

Koefficienterna som finns enligt (2.18) Q, ..., th sid kallas koefficienterna för den generaliserade Fourierserien.

Om en uppsättning funktioner φ t (X), ..., φ "(x), ... bildar ett komplett system, då i kraft av Parsevals likhet för Π -» med felnormen minskar på obestämd tid. Detta betyder att den bästa approximationen konvergerar rms till Dx) med vilken noggrannhet som helst.

Vi noterar att sökningen efter koefficienterna för den bästa approximationen genom att lösa ekvationssystemet (2.17) är praktiskt taget orealiserbar, eftersom när ordningen på Gram-matrisen ökar tenderar dess determinant snabbt till noll och matrisen blir dåligt konditionerad. Att lösa ett system av linjära ekvationer med en sådan matris kommer att leda till en betydande förlust av noggrannhet. Låt oss kolla upp det.

Låt som ett system av funktioner φ„ i =1, ..., П, grader väljs, dvs. φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, sedan, om vi antar segmentet som ett approximationssegment, hittar vi Gram-matrisen

Formens (2.19) grammatris kallas också för Hilbertmatrisen. Detta är ett klassiskt exempel på en så kallad dåligt konditionerad matris.

Med hjälp av MATLAB beräknar vi determinanten för Hilbert-matrisen i formen (2.19) för några första värden P. Lista 2.5 visar koden för motsvarande program.

Lista 23

% Beräkna determinanten för Hilbert-matriser % rensa arbetsytan Rensa alla;

%välj det maximala värdet för ordningen % av Hilbert-matrisen ptah =6;

%bygga en loop för att generera %Hilbert-matriser och beräkna deras determinanter

för n = 1: nmax d(n)=det(hiIb(n)); slutet

%visa värdena för determinanterna % av Hilbert-matriserna

f o g ta t kortände

Efter att ha utarbetat koden i Listing 2.5, bör Hilbert-matrisdeterminantvärdena för de första sex matriserna visas i MATLAB-kommandofönstret. Tabellen nedan visar motsvarande numeriska värden för matrisordningarna (n) och deras determinanter (d). Tabellen visar tydligt hur snabbt determinanten för Hilbert-matrisen tenderar att bli noll när ordningen ökar och, med början från ordning 5 och 6, blir oacceptabelt liten.

Tabell över värden för determinanten av Hilbert-matriser

Numerisk ortogonalisering av funktionssystemet φ, i = 1, ..., П leder också till en märkbar förlust av noggrannhet, därför för att ta hänsyn till stort antal termer i expansion (2.16), är det nödvändigt att antingen utföra ortogonalisering analytiskt, dvs exakt, eller att använda ett färdigt system med ortogonala funktioner.

Om under interpolation vanligtvis grader används som ett system av basfunktioner, så väljs under approximation i genomsnitt polynom som är ortogonala med en given vikt som basfunktioner. De vanligaste av dessa är Jacobi-polynomen, ett specialfall av vilka är Legendre- och Chebyshev-polynomen. Lagsrr och Hermite polynom används också. Mer information om dessa polynom finns till exempel i bilagan Ortogonala polynom böcker.

I föregående kapitel övervägdes en av de vanligaste metoderna för att approximera funktioner, interpolation, i detalj. Men det här sättet är inte det enda. Vid lösning av olika tillämpade problem och konstruktion av beräkningskretsar används ofta andra metoder. I det här kapitlet kommer vi att titta på sätt att få approximationer av rot-medelkvadrat. Namnet på approximationer är associerat med metriska utrymmen där problemet med approximation av en funktion beaktas. I kapitel 1 introducerade vi begreppen "metriskt linjärt normerat utrymme" och "metriskt euklidiskt utrymme" och såg att approximationsfelet bestäms av metriken för det utrymme där approximationsproblemet betraktas. I olika utrymmen har begreppet fel en annan innebörd. Med tanke på interpolationsfelet fokuserade vi inte på detta. Och i det här kapitlet kommer vi att behöva behandla denna fråga mer i detalj.

5.1. Approximationer med trigonometriska polynom och Legendre polynom Space l2

Betrakta uppsättningen funktioner som är Lebesgue-kvadratintegrerbara på intervallet
, det vill säga sådan att integralen måste finnas
.

Eftersom den uppenbara ojämlikheten gäller, från funktionernas kvadratiska integrerbarhet
och
måste också följa kvadratintegrerbarheten för någon av deras linjära kombinationer
, (var
och
 eventuella reella tal), såväl som produktens integrerbarhet
.

Låt oss introducera den uppsättning funktioner som är Lebesgue square integrerbara på intervallet
, punktproduktoperationen

. (5.1.1)

Det följer av integralens egenskaper att den introducerade skalära produktoperationen har nästan alla egenskaperna hos den skalära produkten i det euklidiska rummet (se avsnitt 1.10, s. 57):

Endast den första fastigheten är inte helt utförd, det vill säga att villkoret inte kommer att uppfyllas.

Ja, om
, då följer det inte med det
på segmentet
. För att den introducerade operationen ska ha denna egenskap, kommer vi i det följande överens om att inte särskilja (anse likvärdiga) funktionerna
och
, för vilka

.

Med tanke på den sista anmärkningen har vi sett att uppsättningen av Lebesgue-kvadratintegrerbara funktioner (mer exakt uppsättningen klasser av ekvivalenta funktioner) bildar ett euklidiskt rum där den skalära produktoperationen definieras av formeln (5.1.1). Detta utrymme kallas Lebesgue-utrymmet och betecknas
eller kortare .

Eftersom varje euklidiskt utrymme automatiskt är både normerat och metriskt, är utrymmet
är också ett normerat och metriskt utrymme. Normen (elementstorlek) och metrisk (avstånd mellan element) skrivs vanligtvis in i den på ett standardsätt:

(5.1.2)

(5.1.3)

Egenskaper (axiom) för normen och metriken ges i avsnitt 1.10. Rymdelement
är inte funktioner, utan klasser av likvärdiga funktioner. Funktioner som tillhör samma klass kan ha olika värden på vilken ändlig eller till och med räknebar delmängd som helst
. Därför approximationer i rymden
definieras tvetydigt. Denna obehagliga egenskap av utrymme
betalas av bekvämligheten med att använda den skalära produkten.