Стивен строгац - удовольствие от х.

В один из майских дней прошлого года, я сидела ассистентом на контрольной работе по математике в 10 классе. Скучая, я взяла с учительского стола "лишний" вариант работы и начала его решать. Работа была сделана в формате ЕГЭ по математике, которую я закончила изучать в далёком 1989 году, выпустившись из средней школы. Однако, без особых усилий мне удалось решить 11 заданий в части В — больше, чем многие писавшие работу в тот день . Одна из учениц, +Юлия Соболева , с удивлением наблюдала за тем, как я решала, а после подошла ко мне:

— Я впервые вижу, как ассистент, не являющийся учителем математики, сидит и решает. Простите за вопрос, но Вам это как-то в жизни пригодилось?

Вопрос десятиклассницы не поставил меня в тупик. Дело в том, что с математикой в школе у меня была любовь без взаимности: в том смысле, что математика меня любила, а я её — нет. То есть, математика всегда мне давалась легко, каких-то проблем не было, всех своих учителей математики тоже вспоминаю с теплотой... Но вот не любила я математику, и всё тут! Вот так бывает. А, поступив в гуманитарный вуз (по образованию я учитель истории), я вдруг стала остро ощущать нехватку математики. Мне стало казаться, что я глупею не по дням, а по часам. А потому, на 1 —2 курсах, чтобы заполнить эту пустоту, сама (!) брала и решала сборники олимпиадных задач, по-новой прорешала весь учебник за выпускной класс. И — о, чудо! Ясность ума и логичность мышления начали понемногу возвращаться. А потом, учась уже на 3 курсе, прочитала книгу Л. Кэрролла "Логическая игра" (спасибо Сергею Михельсону), увлеклась логикой и потребность в занятиях математикой как-то отпала. А уж когда, спустя пару лет после окончания института, начала преподавать экономику, то математика прочно обосновалась в моём сознании — задачки-то надо как-то решать.
К чему я написала всё это? Столь длинное предисловие призвано объяснить: почему я с удовольствием приняла предложение +Наталья Шанина , ассистента менеджера проектов издательства +Манн, Иванов и Фербер , взять на рецензию книгу "Удовольствие от Х" (такой вот словесный каламбур получился).
Книга понравилась с первых страниц: люблю, когда показывают красоту математики. А ещё люблю, когда в простом находятся закономерности. Поэтому, уже в первой главе, меня потрясло открытие: если складывать последовательно нечётные числа, то в сумме мы будем получать квадраты чисел, соответствующих количеству взятых нечётных чисел в ряду. Затем — что нечётные числа образуют уголки, из которых можно сделать квадрат, вот такой, к примеру:

По мере чтения книги, я совершала для себя новые открытия. Питая любовь к разным алгоритмам (стремлюсь вывести алгоритм даже в каких-то творческих и околотворческих процессах), не могла не отметить простой алгоритм возведения в квадрат чисел до 50. Настолько он мне понравился, что я даже зарисовала его в блокноте.

Даже чтение тех разделов книги, которые для меня оказались сложными (ну, не помню я уже математику в таком объёме), далось легко. Не всё поняла, но удовольствие от чтения получила и в этом случае. Потому, что автор во всём видит конкретное применение математических законов в окружающей действительности. Статистика, онкология, даже выбор партнёра в браке — везде есть следы математики. А особенно умилила эта цитата: "В те далёкие времена, когда Google ещё не существовало, поиск в сети был безнадёжным занятием" .

Мешали при чтении только две вещи.

1. Ну, не люблю я читать в электронном формате. Тем более, что в случае с математикой, сразу хочется что-то порешать/сосчитать. Если бы читала бумажную книгу, писала бы прямо на полях и свободных страницах — книги издательства +Манн, Иванов и Фербер изданы так, что изначально предполагают, что найдутся читатели, которые будут не только читать книгу, но и писать в ней.
2. В книге большое количество примечаний. Издательство традиционно оставляет в тексте книги лишь ссылки с краткой информацией, а развёрнутые примечания делает в виде концевых сносок. Для меня такой формат чтения неудобен (а в электронном формате неудобен вдвойне). Скакать по книге взад/вперёд я не люблю. А читать примечания после прочтения основного текста нелогично. В итоге просто просмотрела их глазами. Хотя они заслуживают того, чтобы быть частью основного текста: написаны интересно, в той же стилистике, что и текст книги.

Порекомендовала бы эту книгу не только любителям математики, но и старшеклассникам и студентам. Чтобы обеспечить понимание каких-то вещей, которые в школьном или вузовском курсе кажутся слишком абстрактными. Ну, и учителям математики, конечно. Вот +Наталья Львова уже прочитала (отзыв ). Очень хотела бы порекомендовать эту книгу и +Diana Sonina , но — увы и ах! — дочь идёт тем же путём, что и мама. Математика даётся легко, она призёр муниципальной олимпиады, а то, что они делают со своим учителем математики со степенями в исследовательской работе (с которой не раз занимала призовые места на различных конференциях), решая олимпиадные задачи для старшеклассников, моему пониманию труднодоступно. Но при этом про математику даже слышать не хочет. Надо — делает, но без удовольствия. А, между тем, отвечая своей ученице на вопрос о том, как мне пригодилась математика в жизни, помимо прагматичных каких-то вещей, у меня всегда припасён ответ: учиться в школе надо хорошо, в том числе, и для того, чтобы потом суметь помочь в учёбе собственным детям. Но дочери моя помощь особо и не требуется — справляется сама. А потому вопрос так и остаётся открытым: почему, при отличных стартовых условиях — хороший учитель, неплохие способности к предмету, находятся дети, которые не любят математику? На днях обсуждала это с +Marina Kurvits , готова обсудить это и с другими "знакомыми математиками" — +Jüri Kurvits и +Ljudmilla Rozhdestvenskaja . В чём причина? И н адо ли как-то менять ситуацию? Вот у меня она разрешилась в юности. Но мне до сих пор не даёт покоя мысль, что, не полюбив математику раньше, я упустила какие-то возможности в своей жизни...

Купить книгу на Озоне >>>
Купить книгу в Лабиринте >>>
Информация о книге на сайте издательства >>>

В 2010 году Стивен Строгац написал серию статей об основах математики для газеты The New York Times. Статьи вызвали бурю восторга. Каждая колонка становилась самым популярным материалом в газете и собирала сотни комментариев. Читатели просили еще, и Стивен не подвел — появилась эта книга, в которую вошли как уже опубликованные части, так и совершенно новые главы.

Математика пронизывает все в этом мире, включая нас самих, но, к сожалению, мало кто понимает этот универсальный язык настолько хорошо, чтобы по достоинству оценить его мудрость и красоту. Стивен Строгац — тот самый учитель математики, о котором вы мечтали в школе. Учитель, который способен зажечь искру интереса и привить любовь к своему предмету на всю жизнь. В этой невероятно легкой и увлекательной книге, он дает всем нам второй шанс познакомиться с математикой. В каждой короткой главе вы открываете для себя что-то новое: начиная с того, зачем вообще нужны цифры и далее к таким темам, как геометрия, интегральное исчисление, статистика и бесконечность. Автор объясняет великие математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому. Эта книга для всех. Те, кто мало знаком с математикой — познакомятся с ней близко, а те, кто математику любит — с удовольствием почитают о «царице наук».

Предисловие

У меня есть друг, который, несмотря на свое ремесло (он — художник), страстно увлечен наукой. Всякий раз, когда мы собираемся вместе, он с энтузиазмом рассуждает о последних достижениях в области психологии или квантовой механики. Но стоит нам заговорить о математике — и он чувствует дрожь в коленках, что его сильно огорчает. Он жалуется, что эти странные математические символы не только не поддаются его пониманию, но порой он даже не знает, как их произносить.

На самом деле причина его неприятия математики гораздо глубже. Он никак не возьмет в толк, чем математики вообще занимаются и что имеют в виду, когда говорят, что данное доказательство изящно. Иногда мы шутим, что мне нужно просто сесть и начать его учить с самых азов, буквально с 1 + 1= 2, и углубиться в математику настолько, насколько он сможет.

И хотя эта затея кажется безумной, именно ее я и попытаюсь осуществить в данной книге. Я проведу вас по всем основным разделам науки, от арифметики до высшей математики, чтобы те, кто хотел получить второй шанс, наконец смогли им воспользоваться. И на сей раз вам не придется садиться за парту. Эта книга не сделает вас экспертом в математике. Зато поможет разобраться в том, что изучает данная дисциплина и почему она так увлекательна для тех, кто это понял.

Мы узнаем, как слэм-данки Майкла Джордана могут помочь объяснить азы исчисления. Я покажу вам простой и потрясающий способ, как понять основополагающую теорему евклидовой геометрии — теорему Пифагора. Мы постараемся добраться до самой сути некоторых тайн жизни, больших и малых: убивал ли свою жену Джей Симпсон; как перекладывать матрас, чтобы он прослужил максимально долго; сколько партнеров нужно сменить перед тем, как сыграть свадьбу, — и увидим, почему одни бесконечности больше, чем другие.

Математика повсюду, надо только научиться ее узнавать. Можно разглядеть синусоиду на спине зебры, услышать отголоски теорем Евклида в Декларации о независимости; да что там говорить, даже в сухих отчетах, предшествовавших Первой мировой войне, присутствуют отрицательные числа. Также можно увидеть, как на нашу сегодняшнюю жизнь влияют новые направления математики, например, когда мы ищем рестораны с помощью компьютера или пытаемся хотя бы понять, а еще лучше — пережить пугающие колебания фондового рынка .

— Читать онлайн книгу Стивена Строгаца «Удовольствие от X» —

Серия из 15 статей под общим названием «Основы математики» появилась в сети в конце января 2010 года. В ответ на их публикацию посыпались письма и комментарии от читателей всех возрастов, среди которых было много студентов и преподавателей. Встречались и просто любознательные люди, по тем или иным причинам «сбившиеся с пути» постижения математической науки; теперь же они почувствовали, что упустили что-то стоящее, и хотели бы попробовать еще раз. Особую радость мне доставляли благодарности от родителей за то, что они с моей помощью смогли объяснить математику своим детям, да и сами стали лучше ее понимать . Казалось, что даже мои коллеги и товарищи, горячие поклонники этой науки, получали удовольствие от чтения статей, за исключением тех моментов, когда они наперебой предлагали всевозможные рекомендации по улучшению моего детища.

Несмотря на расхожее мнение, в обществе наблюдается явный интерес к математике, хотя этому феномену и уделяют мало внимания. Мы только и слышим, что о страхе перед математикой, и тем не менее, многие с радостью бы попробовали разобраться в ней лучше. И стоит этому случиться — их уже будет трудно оторвать.

Данная книга познакомит вас с самыми сложными и передовыми идеями из мира математики. Главы небольшие, легко читаются и особо не зависят друг от друга. Среди них есть и вошедшие в ту, первую серию статей в New York Times. Так что как только почувствуете легкий математический голод, не раздумывая беритесь за следующую главу. Если захотите подробнее разобраться в заинтересовавшем вас вопросе, то в конце книги есть примечания с дополнительной информацией и рекомендациями, что еще об этом можно почитать.

Удовольствие от X — Стивен Строгац (скачать)

(версия для ознакомительного знакомства)

А напоследок предлагаем посмотреть интересное видео

Главная проблема школьной математики в том, что в ней нет задач. Да, я знаю, что выдаётся за задачи на уроках: эти безвкусные, скучные упражнения. «Вот задача. Вот как её решить. Да, такие бывают на экзамене. На дом задачи 1-15». Что за тоскливый способ изучать математику: стать дрессированным шимпанзе.

Пол Локхард

из эссе «Плач математика»

Математика, наверное, - один из самых странных разделов науки. Ни в одном другом предмете не сочетаются так сильно противоположности: от строгости формальных доказательств до умения «видеть» те или иные построения. Математика обладает как внутренней красотой, так и внешней. Нет ничего более увлекательного, нежели решение математических задач. И ни один другой предмет не преподаётся в школе так бездарно.

С чего начинается обычно изучение математики в школе? С выдачи 7-8 летним детям непонятного набора символов и определений и систему алгоритмов для применения этой абракадабры. Отдельные вещи, например, таблица умножения - заучиваются.

В следующих классах на основе этой системы ученикам расскажут и заставят заучить набор шаманских ритуалов, позволяющих решить вымученные задачи. Возникнут новые определения, такие как «правильная дробь» и «неправильная дробь» без малейшего объяснения, откуда это взялось и, главное, зачем. Особое внимание будет уделено решению бесполезных и вымученных текстовых задач, имеющих такое же отношение к реальности, как и сами алгоритмы.

В качестве небольшого теста можно предложить вспомнить: сколько раз в жизни вам потребовались определения правильной или неправильной дроби?

Меня заставляли учить наизусть: квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов, увеличенной на их удвоенное произведение. У меня не было ни малейшего представления о том, что бы это могло значить; когда я не мог запомнить этих слов, учитель треснул меня книгой по голове, что, однако, ни капли не стимулировало мой интеллект.

Бертран Рассел

английский философ, логик и математик

При этом учителя будут беспощадно подавлять любое инакомыслие. Попробуй записать 5/2 вместо 2 1/2 (на что всегда хочется возразить: если у меня есть три яблока, каждое из которых разделено пополам, то я возьму 5 половинок, а не 2 яблока и 1 половину).

Эту тему можно продолжать достаточно долго. Более того, это уже сделано в эссе Пола Локхарда «Плач математика» . В нём достаточно неплохо показано «Кто виноват». Но не дан ответ на второй важный вопрос - «Что делать».

Вариант ответа на этот вопрос приводится в замечательной книге, недавно переведённой на русский язык. Книга называется «Удовольствие от х» .

Удовольствие от х

Если вы что-то не можете объяснить шестилетнему ребёнку, вы сами этого не понимаете.

Альберт Эйнштейн

Это та книга, которая обязана стать настольной для любого преподавателя любого технического предмета, будь то математика или информатика.

Автор этого удовольствия, Стивен Строгац - математик мирового уровня, преподаватель прикладной математики в Корнелльском университете США (один из ведущих технических вузов мира). И, судя по книге, в этом человеке соединились воедино два замечательных качества, которые сделали это произведение бестселлером: Стивен Строгац - сильный математик и преподаватель в одном лице.

Можно уметь преподавать, но не знать хорошо предмет. Можно хорошо знать предмет, но не уметь преподавать. Можно уметь делать и то, и другое, но посредственно. Стивен Строгац принадлежит другому типу: он знает и умеет преподавать правильно.

О чём же эта книга? На самом деле, обо всём, что хоть как-то связано с математикой. Разделы книги на первый взгляд подобраны хаотично (Числа, Соотношения, Фигуры, Время перемен, Многоликие данные, Границы возможно), но по мере чтения начинаешь понимать то, что хотел донести автор. Книга построена на исследовании. Исследовании, которое ведёт автор совместно с читателем.

Спектр рассматриваемых задач огромен. Любой человек, даже отлично знающий математику, почерпнёт в ней что-то новое. При этом рассматриваются как практические задачи (например, вычисление процентов, полученных с акций, вкладываемых в фондовый рынок), так и абсолютно абстрактные.

Многие задачи даются в историческом контексте. Здесь хотелось бы остановиться отдельно: сейчас практически из всех учебников выброшена история развития математики. А между тем, только понимая исторический контекст, можно пройти весь путь - от простейшей арифметики к современным математическим теориями.

Вспомним, к примеру, квадратные уравнения. Сколько слёз было пролито и учениками, и учителями в попытке запомнить заклинание: икс один-два равно минус бэ плюс-минус корень из бэ в квадрате минус четыре а-цэ и поделить всё на два а.

Кстати, такой способ записи уже не является правильным согласно новым математическим стандартам - прим. редактора.

Люди с хорошей памятью и/или «в теме» могу ещё вспомнить теорему Виета. Но вместо всего этого Стивен Строгац приводит элегантное объяснение, придуманное аль-Хорезми, с помощью которого без всяких формул можно легко и непринуждённо найти решение (хоть и неполное: в те времена отрицательные числа ещё не применялись повсеместно). И, уверяю вас, любой прочитавший это решение, запомнит его навсегда. С первого раза.

От главы к главе сложность задач возрастает. Но понимание не теряется, в чём и состоит особое удовольствие от чтения «Удовольствия от х». Читатель погружается в ту атмосферу, которую для него создал автор, практически, в дивный новый мир.

Я не знаю, с чем можно сравнить эту книгу. Возможно, со знаменитыми Феймановскими лекциями по физике или же с «Вы, наверное, шутите, мистер Фейман». Но одно можно сказать точно: эта книга оставит свой след в душе тех, кто её прочитает.

Насколько полезны числа для изучения окружающего мира, в чем прелесть геометрии, насколько изящны интегральные счисления и важна статистика? Обо всем этом в своей книге «Удовольствие от Х» рассказывает Стивен Строгац. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя примеры, понятные каждому. сайт публикует одну из глав книги, опубликованной в издательстве «Манн, Иванов и Фербер».

Статистика внезапно стала сверхмодным направлением. С появлением Интернета, электронной торговли, социальных сетей, проекта по расшифровке генома человека, а также в связи с развитием цифровой культуры в целом мир стал захлебываться в данных. Маркетологи изучают наши вкусы и привычки. Разведывательные службы собирают информацию о нашем местонахождении, электронной переписке и телефонных звонках. Специалисты по спортивной статистике жонглируют цифрами, решая, каких игроков покупать, кого набирать в команду, а кого посадить на скамью запасных. Каждый стремится объединить точки в график и обнаружить закономерность в беспорядочном скоплении данных.

Неудивительно, что эти тенденции отражаются и в обучении. «Давайте обратимся к статистике», - увещевает в своей колонке газеты New York Times Грег Мэнкью, экономист из Гарвардского университета.

«В учебной программе по математике в средней школе слишком много времени уделяется традиционным темам, таким как евклидова геометрия и тригонометрия. Эти полезные для обычного человека умственные упражнения, однако, малоприменимы в повседневной жизни. Учащимся было бы гораздо полезнее больше узнать о теории вероятности и статистике». Дэвид Брукс идет еще дальше. В своей статье, посвященной дисциплинам, заслуживающим внимания для получения достойного образования, он пишет: «Возьмите статистику. Вот увидите, окажется, что знание того, что такое стандартное отклонение, вам очень пригодится в жизни».

Вполне вероятно, а еще неплохо разбираться в том, что такое распределение. Это первое, о чем я намерен поговорить. И хотел бы заострить на нем внимание, поскольку в этом заключается один из главных уроков статистики: вещи кажутся безнадежно случайными и непредсказуемыми при рассмотрении их по отдельности, однако в совокупности в них обнаруживается закономерность и предсказуемость.

Возможно, вы видели демонстрацию этого принципа в каком-нибудь научном музее (если нет, видеоролики можно найти в Интернете). Типичный экспонат представляет собой приспособление под названием доска Гальтона, которая чем-то напоминает автомат для игры в пинбол, только без флипперов. Внутри его с равными интервалами располагаются ровные ряды штырьков.

Доска Гальтона

Опыт начинается с того, что в верхнюю часть доски Гальтона запускаются сотни шариков. При падении они сталкиваются со штырьками и с равной вероятностью отскакивают то вправо, то влево, а затем распределяются внизу доски, попадая в отсеки одинаковой ширины. Высота столбика из шариков показывает, с какой вероятностью шарик может оказаться в данном месте. Большинство шариков размещаются примерно в середине, по бокам их уже меньше, и еще меньше - по краям.

В общем, картина чрезвычайно предсказуема: шарики всегда образуют распределение в форме колокола, хотя предугадать, где окажется каждый отдельно взятый шарик, невозможно.

Каким образом отдельные случайности превращаются в общие закономерности? Но именно так действует случайность. В среднем столбике скопилось больше всего шариков потому, что, прежде чем скатиться вниз, многие из них совершат примерно одинаковое количество прыжков вправо и влево и в результате окажутся где-то посередине. Несколько одиноких шариков, расположившихся по краям, образуют хвосты распределения - это те шарики, которые при столкновении со штырьками отскакивали всегда в одном направлении. Такие отскоки маловероятны, поэтому по краям так мало шариков.

Подобно тому как местоположение каждого шарика определяется суммой множества случайных событий, многие явления в этом мире являются следствием множества мелких обстоятельств и тоже подчиняются колоколообразной кривой. По этому принципу работают страховые компании. Они с высокой точностью могут назвать количество своих клиентов, которые умирают каждый год. Однако не знают, кому именно не повезет на этот раз.

Или возьмем, к примеру, рост человека. Он зависит от бесчисленного количества случайностей, связанных с генетикой, биохимией, питанием и окружающей средой. Следовательно, велика вероятность, что при рассмотрении в совокупности рост взрослых мужчин и женщин будет представлять собой колоколообразную кривую.

В одном блоге под названием «Ложные данные, которые люди сообщают о себе в Интернете» статистическая служба сайта знакомств OkCupid недавно опубликовала график роста своих клиентов или, скорее, указанных ими значений. Обнаружилось, что показатели роста представителей обоих полов, как и ожидалось, образуют колоколообразную кривую. Однако удивительно то, что оба распределения были примерно на два дюйма смещены вправо относительно ожидаемых значений.

Строгац С. Удовольствие от Х. - М. : Манн, Иванов и Фербер, 2014.

Таким образом, либо рост клиентов, опрошенных компанией OkCupid, превышает средний, либо при описании себя в Интернете они прибавляют к своему росту еще пару дюймов.

Идеализированной версией подобных колоколообразных кривых является то, что математики называют нормальным распределением. Это одно из важнейших понятий в статистике, имеющее теоретическое обоснование. Можно доказать, что нормальное распределение возникает при сложении большого количества мелких случайных факторов, причем каждый из них действует независимо от других. И многие события происходят именно таким образом.

Но не все. И это второй пункт, на который я хотел бы обратить внимание. Нормальное распределение не такое уж вездесущее, как кажется. На протяжении сотни лет, и особенно в последние несколько десятилетий, ученые и специалисты в области статистики отмечают существование множества явлений, отклоняющихся от этой кривой и следующих собственному графику. Любопытно, что подобные типы распределений практически не упоминаются в учебниках по элементарной статистике, а если и встречаются, то обычно рассматриваются как некие патологии.

Это странно. Я попытаюсь объяснить, что многие явления современной жизни приобретают больший смысл при условии понимания этих «патологических» распределений. Это новая нормальность. Возьмем, к примеру, распределение размеров городов в США. Вместо того чтобы скапливаться вокруг некоей средней величины колоколообразной кривой, подавляющее большинство городов имеют небольшой размер и, следовательно, скапливаются в левой части графика.

Строгац С. Удовольствие от Х. - М. : Манн, Иванов и Фербер, 2014.

И чем больше население города, тем реже такие города встречаются. Иначе говоря, в совокупности распределение будет представлять собой скорее кривую в форме буквы L, чем колоколообразную кривую.

И в этом нет ничего удивительного. Все знают, что мегаполисов гораздо меньше, чем маленьких городов. Хотя это не так очевидно, размеры городов подчиняются простому красивому распределению - если посмотреть на них в логарифмическом масштабе.

Будем считать, что различие между двумя городами одно и то же, если их население отличается в одно и то же число раз (подобно тому как две любые клавиши рояля, отстоящие на октаву, всегда разнятся вдвое по частоте). И сделаем то же самое на вертикальной оси.

Строгац С. Удовольствие от Х. - М. : Манн, Иванов и Фербер, 2014.

Теперь данные располагаются на кривой, представляющей собой почти идеальную прямую линию. Исходя из свойств логарифмов, нетрудно вывести, что исходная L-образная кривая представляет собой степенную зависимость, которая описывается функцией вида

где x - население города, у - количество городов, имеющих такой размер, с - константа, а показатель степени a (показатель степенной зависимости) определяет отрицательный наклон прямой линии.

Степенные распределения имеют некоторые нелогичные, с точки зрения традиционной статистики, свойства. Например, в отличие от нормального распределения, их моды, медианы и средние значения не совпадают из-за скошенной асимметричной формы L-образных кривых.

Президент Буш извлек из этого немалую пользу, заявив в 2003 году, что сокращение налогов позволило каждой семье сэкономить в среднем 1586 долларов. Хотя математически это верно, здесь он к своей выгоде взял за основу среднее значение вычета, под которым скрывались огромные вычеты в сотни тысяч долларов, полученные 0,1% богатейшего населения страны. Известно, что «хвост» в правой части распределения дохода следует степенной зависимости, и в подобной ситуации использование средней величины вводит в заблуждение, поскольку она далека от своего реального значения. В действительности большинству семей вернули менее 650 долларов. В данном распределении медиана значительно меньше, чем среднее значение.

Этот пример демонстрирует важнейшее свойство распределений степенной зависимости: они имеют «тяжелые хвосты» по сравнению по крайней мере с маленькими «жидкими хвостиками» нормального распределения. Подобные большие хвосты хотя и редкость, но встречаются чаще в распределениях данных, чем обычные колоколообразные кривые.

В «черный понедельник», 19 октября 1987 года, промышленный индекс Доу-Джонса упал на 22%. По сравнению с обычным уровнем нестабильности на фондовом рынке это падение составило более двадцати стандартных отклонений. Согласно традиционной статистике (в которой используется нормальное распределение), подобное событие практически невозможно: его вероятность составляет менее чем один случай на 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (10 в 50 степени). Однако это произошло - поскольку колебания цен на фондовом рынке не соответствовали нормальному распределению.

Для их описания лучше подходят распределения с «тяжелым хвостом». Подобное происходит с землетрясениями, пожарами и наводнениями, что усложняет страховым компаниям задачу управления рисками.

Такая же математическая модель описывает число погибших в результате войн и террористических атак, а также другие, гораздо более мирные вещи, такие как количество слов в романе или число сексуальных партнеров у человека.

Хотя прилагательные, используемые для описания длинных хвостов, выставляют их в не слишком выгодном свете, «хвостатые» распределения гордо несут свои хвосты. Жирный, тяжелый и длинный? Да, это так. Но в таком случае покажите, какой нормальный?

Математика - самый точный и универсальный язык науки, но можно ли с помощью цифр объяснить человеческие чувства? Формулы любви, семена хаоса и романтические дифференциальные уравнения - Т&P публикуют главу из книги одного из лучших преподавателей математики в мире Стивена Строгаца «Удовольствие от Х» , выпущенную издательством «Манн, Иванов и Фербер».

Весной, - писал Теннисон, - воображение молодого человека с легкостью поворачивается к мыслям о любви. Увы, потенциальный партнер молодого человека может иметь собственные представления о любви, и тогда их отношения будут полны бурных взлетов и падений, которые делают любовь столь волнующей и столь болезненной. Одни страдальцы от безответной ищут объяснение этих любовных качелей в вине, другие - в поэзии. А мы проконсультируемся у исчислений.

Представленный ниже анализ будет насмешливо-ироничным, но он затрагивает серьезные темы. К тому же если понимание законов любви может от нас ускользнуть, то законы неодушевленного мира в настоящее время хорошо изучены. Они принимают форму дифференциальных уравнений, описывающих изменение взаимосвязанных переменных от момента к моменту в зависимости от их текущих значений. Возможно, у таких уравнений мало общего с романтикой, но они хотя бы могут пролить свет на то, почему, по словам другого поэта, «путь истинной любви никогда не был гладким». Чтобы проиллюстрировать метод дифференциальных уравнений, предположим, что Ромео любит Джульетту, но в нашей версии этой истории Джульетта - ветреная возлюбленная. Чем больше Ромео любит ее, тем сильнее она хочет от него спрятаться. Но когда Ромео охладевает к ней, он начинает казаться ей необыкновенно привлекательным. Однако юный влюбленный склонен отражать ее чувства: он пылает, когда она его любит, и остывает, когда она его ненавидит.

Что происходит с нашими несчастными влюбленными? Как любовь их поглощает и уходит с течением времени? Вот где дифференциальное исчисление приходит на помощь. Составив уравнения, обобщающие усиление и ослабление чувств Ромео и Джульетты, а затем решив их, мы сможем предсказать ход отношений этой пары. Окончательным прогнозом для нее будет трагически бесконечный цикл любви и ненависти. По крайней мере четверть этого времени у них будет взаимная любовь.

Чтобы прийти к такому выводу, я предположил, что поведение Ромео может быть смоделировано с помощью дифференциального уравнения,

которое описывает, как его любовь ® изменяется в следующее мгновение (dt). Согласно этому уравнению, количество изменений (dR) прямо пропорционально (с коэффициентом пропорциональности a) любви Джульетты (J). Данная зависимость отражает то, что мы уже знаем: любовь Ромео усиливается, когда Джульетта любит его, но это также говорит о том, что любовь Ромео растет прямо пропорционально тому, насколько Джульетта его любит. Это предположение линейной зависимости эмоционально неправдоподобно, но оно позволяет значительно упростить решение уравнения.

Напротив, поведение Джульетты можно смоделировать с помощью уравнения

Отрицательный знак перед постоянной b отражает то, что ее любовь остывает, когда любовь Ромео усиливается.

Единственное, что еще осталось определить, - их изначальные чувства (то есть значения R и J в момент времени t = 0). После этого все необходимые параметры будут заданы. Мы можем использовать компьютер, чтобы медленно, шаг за шагом двигаться вперед, изменяя значения R и J в соответствии с описанными выше дифференциальными уравнениями. На самом деле с помощью основной теоремы интегрального исчисления мы можем найти решение аналитически. Поскольку модель простая, интегральное исчисление выдает пару исчерпывающих формул, которые говорят нам, сколько Ромео и Джульетта будут любить (или ненавидеть) друг друга в любой момент времени в будущем.

Представленные выше дифференциальные уравнения должны быть знакомы студентам-физикам: Ромео и Джульетта ведут себя как простые гармонические осцилляторы. Таким образом, модель предсказывает, что функции R (t) и J (t), описывающие изменение их отношений во времени, будут синусоидами, каждая из них возрастающая и убывающая, но максимальные значения у них не совпадают.

«Глупая идея описать любовные отношения с помощью дифференциальных уравнений пришла мне в голову, когда я был влюблен в первый раз и пытался понять непонятное поведение моей девушки»

Модель можно сделать более реалистичной разными путями. Например, Ромео может реагировать не только на чувства Джульетты, но и на свои собственные. А вдруг он из тех парней, которые настолько боятся, что их бросят, что станет остужать свои чувства. Или относится к другому типу парней, которые обожают страдать - именно за это он ее и любит.

Добавьте к этим сценариям еще два варианта поведения Ромео: он отвечает на привязанность Джульетты либо усилением, либо ослаблением собственной привязанности - и увидите, что в любовных отношениях существуют четыре различных стиля поведения. Мои студенты и студенты группы Питера Кристофера из Вустерского политехнического института предложили назвать представителей этих типов так: Отшельник или Злобный Мизантроп для того Ромео, который охлаждает свои чувства и отстраняется от Джульетты, и Нарциссический Болван и Флиртующий Финк для того, который разогревает свой пыл, но отвергается Джульеттой. (Вы можете придумать собственные имена для всех этих типов).

Хотя приведенные примеры фантастические, описывающие их типы уравнений весьма содержательны. Они представляют собой наиболее мощные инструменты из когда-либо созданных человечеством для осмысления материального мира. Сэр Исаак Ньютон использовал дифференциальные уравнения для открытия тайны движения планет. С помощью этих уравнений он объединил земные и небесные сферы, показав, что и к тем и к другим применимы одинаковые законы движения.

Спустя почти 350 лет после Ньютона человечество пришло к пониманию того, что законы физики всегда выражаются на языке дифференциальных уравнений. Это верно для уравнений, описывающих потоки тепла, воздуха и воды, для законов электричества и магнетизма, даже для атома, где царит квантовая механика.

Во всех случаях теоретическая физика должна найти правильные дифференциальные уравнения и решить их. Когда Ньютон обнаружил этот ключ к тайнам Вселенной и понял его великую значимость, он опубликовал его в виде латинской анаграммы. В вольном переводе она звучит так: «Полезно решать дифференциальные уравнения».

Глупая идея описать любовные отношения с помощью дифференциальных уравнений пришла мне в голову, когда я был влюблен в первый раз и пытался понять непонятное поведение моей девушки. Это был летний роман в конце второго курса колледжа. Я очень напоминал тогда первого Ромео, а она - первую Джульетту. Цикличность наших отношений сводила меня с ума, пока я не понял, что мы оба действовали по инерции, в соответствии с простым правилом «тяни-толкай». Но к концу лета мое уравнение начало разваливаться, и я был еще более озадачен. Оказалось, произошло важное событие, которое я не учел: ее бывший возлюбленный захотел ее вернуть.

В математике мы называем такую задачу задачей о трех телах. Она заведомо неразрешима, особенно в контексте астрономии, где впервые и возникла. После того как Ньютон решил дифференциальные уравнения для задачи о двух телах (что объясняет, почему планеты движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца), он обратил внимание на задачу о трех телах для Солнца, Земли и Луны. Ни он, ни другие ученые так и не смогли ее решить. Позже выяснилось, что задача о трех телах содержит семена хаоса, то есть в долгосрочной перспективе их поведение непредсказуемо.

Ньютон ничего не знал о динамике хаоса, но, по словам его друга Эдмунда Галлея, пожаловался, что задача о трех телах вызывает головную боль и так часто не дает ему спать, что он больше не будет об этом думать.

Здесь я с вами, сэр Исаак.