Пересечение плоскостей заданных треугольниками онлайн. Прямая как линия пересечения плоскостей

Одной из основополагающих задач начертательной геометрии является задача на на построение линии пересечения двух плоскостей общего положения. Случаи задания плоскостей бывают разные, но в любом случае вам встретится задача, в которой будет необходимо построить линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками (или другими плоскими геометрическими фигурами). Алгоритм решения такой задачи я и предлагаю рассмотреть сейчас.

Итак, даны две плоскости, заданные треугольниками АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы поочередно найти две точки пересечения двух ребер одного треугольника с плоскостью другого. Соединив эти точки мы получим линию пересечения двух плоскостей. Построение точки пересечения прямой с плоскостью более подробно было рассмотрено в предыдущем уроке, напомню только механические действия:

Заключим прямую АС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми DE и DF - точки 1 и 2

На горизонтальной проекции соединим проекции точек 1 и 2 и найдем точку пересечения получившейся линии с горизонтальной проекцией той прямой, которую мы заключали во фронтально-проецирующую плоскость, в этом случае - с прямой AC. Мы получили точку M.

Заключим прямую BС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми EF и DF - точки 3 и 4

Соединим их горизонтальные проекции и получим точку пересечения этой прямой с прямой ВС - точку N.

Соединив точки M и N мы получим линию пересечения плоскостей заданных треугольниками. По сути линия пересечения уже найдена. - Осталось лишь определить видимость ребер треугольников. Это делается методом конкурирующих точек.

При помощи наиболее внимательных посетителей сайта удалось найти неточность при определении видимости плоскостей. Ниже приведен чертеж, на котором исправлена видимость линий, ограничивающих плоскости на горизонтальной плоскости

17. Метод замены плоскостей проекций.

Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П 1 или П 2 новой плоскостями П 4 (рис. 148 ). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

Для решения некоторых задач может потребоваться двойная замены плоскостей проекций (рис. 149 ). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1 : Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 148 ). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П 4 , параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П 1 . Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П 1 П 2 в систему П 1 П 4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А 4 В 4 будет натуральной величиной отрезка АВ .

3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двухплоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых одновременно принадлежит обеим плоскостям.

На рис. 3.37 плоскость общего положения, заданную тре-угольником АВС, пересекает фронтально - проецирующая плоскость, заданная треугольником DEF, Так как треугольник DEF проецируется на плоскость V в виде прямой линии D"F", то фронтальная проекция линии пересечения обеих плоскостей представляют собой отрезок K 1 "K2". Находим его горизонталь-ную проекцию и определяем видимость.

Рис.3.37 Рис.3.38

Горизонтально проецирующая плоскость а пересекает плоскость треугольника АВС (рис, 3.3 8), Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей представляет из себя отрезок M"N", который определяется на следе оси".

Е
сли плоскости заданы следами на плоскостях проекций, то, токи, определяющие прямую пересечения плоскостей} следует выбирать в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис.3.39); прямая, проходящая через эти точки, общие для обеих плоскостей, - их линия пересечения. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей  и  необходимо:

1) найти точку М" в пересечении следов н" и н" и точку N" в пересечении    и   , а по ним проекции М" и N".

2) провести прямые линии MN и M"N".

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей.

Р
ис.3.40

На рис.3.40 пересекаются плоскости  и . Плоскость  плоскость общего положения, Плоскость  - горизонтальная плоскость. Для построения линии пересечения необходимо:

1) найти точку N" в пересечении следов  и v;

2) провести через эту точку прямую, исходя из положения

плоскостей и их следов.

На рисунках (3.40 - 3.42) показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку от пересечения следов и, затем, провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

3.7.Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения выполняется по следующему алгоритму:

1) через данную прямую (MN) провести некоторую вспомогательную плоскость ();

2} построить прямую (ED), линию пересечения данной плоскости (АВС) и вспомогательной плоскости ();

3) определить положение точки (К) пересечения данной прямой (MN) и построенной линии пересечения (ED);

4) определить видимость прямой (MN) относительно плоскостей Н и V.

На рис.3.43 прямая MN пересекает плоскость, заданную треуголькомАВС. Через прямую MN проводим

ником АВС. Через прямую MN проводим

горизонтально проецирующую плоскость . Так как вспомогательная плоскость  горизонтально - проецирующая, то и горизонтальной проекцией плоскости  и треугольника АВС является прямая линия E"D". Находим ее фронтальную проекцию E"D". Затем построим К",в которой E " D " пересекает M"N" и определяем ее горизонтальную проекцию К". Определяем видимость отрезков МК и

K

N используя конкурирующие точки

Рис.3.44 Рис.3.45 3.46

На рис.3.44 прямая АВ пересекает плоскость а общего положения. Проводим через прямую АВ горизонтально - проецирующую плоскость , находим линию пересечения плоскости а и плоскости  (MN).

Определяем точку К" как точку пересечения M"N" и А"В". Находим точку К" и определяем видимость.

На рис. 3.45 плоскость а задана следами. Прямая, пересекающая плоскость , является горизонталью, Через прямую АВ проводим горизонтальную плоскость (||Н). Плоскость р пересекает плоскость а по горизонтали NK , принадлежащей плоскости  Затем определяем видимость. На рис. 3.46 плоскость а задана следами; прямая АВ, пересекающая плоскость а, горизонтально - проецирующая, на плоскость Н она проецируется в точку и, следовательно, горизонтальная проекция точки пересечения прямой АВ и плоскости (К) находится в этой точке.

A"=B=K", Положение К" определяется при помощи горизонтали.

3.8. Пересечение двух плоскостей общего положения

Рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей (рис.3.47).

Одна из пересекающихся плоскостей () задана двумя пере-секающимися прямыми (АВ  ВС). Вторая плоскость () задана двумя параллельными прямыми (DE FG). В результате взаимного пересечения плоскостей  и  получена прямая K 1 K 2 (== K 1 K 2). Для определения положения точек K 1 и К 2 возьмем две вспомогательные фронтально - проецирующие плоскости  1 и  2 пересекающие и плоскость , и плоскость . При пересечении плоскостью  1 плоскости  образуется прямая с проекциями 1"2" и 12". При пересечении плоскостью  1 плоскости  образуется прямая с проекциями 3"4" и 3"4". Пересечение линий12 и 34 определяет первую точку K 1 линии пересечения плоскостей  и .

Введя фронтально-проецирующую плоскость  2 , получаем в ее пересечении с плоскостями  и  прямые с проекциями 5 "б",5"б" и 7"8", 7"8". Эти прямые, расположенные в плоскости 2 , в

своем пересечении определяют вторую точку К 2 линии пересечения  и . Получив проекции K 1 " и К 2 " находим на следах  1 v" и  2 v"проекции K 1 " и К 2 ". Проекции K 1 "К 2  и K 1 "K 2 " являются проекциями искомой прямой пересечения плоскостей  и .

3.9. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пресечения прямых линий с плоскостью

Этот способ заключается в том, что находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Следовательно, необходимо уметь строить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис.3.43).

На рис. 3,48 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF. Прямая K 1 K 2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  1 проведенная через АС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1."2" и 1"2"; в пересечении проекций А"С" и 1"2" получаем горизонтальную проекцию точки K 1 " - пересечения

прямой АС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию K 1 //

Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  2 , проведенная через ВС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 3"4" и 3"4", В пересечении проекций 3"4" и В"С" получаем горизонтальную проекцию точки К 2 - пересечения прямой ВС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию точки К 2 . Видимость на чертеже определяем методом конкурирующих точек (см, рис.3.36),

4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Задание прямых линии и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение задач, позволяет получить ответ или не- посредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений. Такое частное взаимное расположение прямых линий, плоских фигур и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа. Достигается это:

1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в каком - либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций).

2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры, путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и частный случаи его способ совмещения).

3) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем перемещения их в частное, положение так, чтобы траектории перемещения их точек находились в параллельных плоскостях при неизменной системе плоскостей проекций (способ параллельного перемещения).

4.1 Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение точек, прямых линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система Н, V дополняется плоскостями, образующими с Н или с V, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций,

Каждая новая система выбирается таким образом, чтобы получить положение наиболее выгодное для выполнения требуемого построения.

4.1.1. Введение в систему Н, V одной дополнительной плоскости проекции

В большинстве случаев дополнительную плоскость в системуН, V вводят согласно определенному условию, отвечающему цели построения. Примером может служить плоскость V 1 на рис.4.1.

Т
ак как требовалось определить величину отрезка АВ и угол между АВ и плоскостью Н, то плоскость Vi расположена перпендикулярно к плоскости Н (образовалась система Н, V 1) и параллельно АВ

С
ледовательно в системе Н, V 1 отрезок АВ является фронталью (А"В" || оси X 1) и величина A 1 "B 1 " равна натуральной величине отрезка АВ, угол  1 равен углу наклона ка АВ к плоскости Н.

Рис.4.2 Рис.4.3

На рис.4.2 выбор плоскости H 1 также подчинен цели: определить угол между прямойCD и плоскостью V, а также натуральную величину отрезка CD. Поэтому плоскость H 1 выбрана перпендикулярно V и в тоже время параллельно отрезку CD (ось H 1 /V || C"D") Следовательно, в системе V, H 1 отрезок CD является горизонталью

(C"D" оси V/H 1), величина C 1 "D 1 " равна натуральной величине

отрезка CD , а угол ф 2 равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

В случае, изображенном на рис. 4.3, выбор плоскости H 1 вполне зависит от задания.

Необходимо определить натуральный вид треугольника АВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к плоскости V, то для изображения его без искажения необходимо ввести в систему H 1 , V дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: Н 1, V (для образования системы V,Н 1) и H 1 || АВС (H 1 || А"В"С"), что дает возможность изобразить треугольник АВС на плоскости Hiбез искажения. Новая ось V/H 1 || А"В"С". Для построения проекции A" 1 B 1 "C" 1 от новой оси откладываем отрезки, равные расстояниям точек А", В",С" от оси V/H. Натуральный вид треугольника АВС выражается новой его проекцией A" 1 B" 1 C" 1 .

Введение дополнительной плоскости проекции дает возможность преобразовать чертеж таким образом, что плоскость общего положения, заданная в системе Н, V, становиться перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.

Рис.4.4 Рис.4.5

На рис.4.4 плоскость общего положения, заданная треугольником АВС в системе Н, V, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций V 1 . Для этого в треугольнике АВС проведена горизонталь AD, Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к плоскости Н (так как.ADН). Этому соответствует плоскость V 1 и треугольник АВС проецируется на нее в отрезок B" 1 C" 1 , Угол ф 1 соответствует углу наклона треугольника АВС к плоскости Н.

Е
сли же взять плоскость H 1 (рис. 4.5), перпендикулярную к плоскости V и плоскости, заданной треугольником АВС (для чего необходимо провести ось V/H 1 перпендикулярно к фронтали треугольника АВС), то определим угол ф 2 - наклона плоскости треугольника АВС к плоскости V.

4.1.2.Введение в систему H . V двух дополнительных плоскостей проекций

Рассмотрим следующий пример (рис.4.б, 4.7): прямую общего положения АВ, заданную в системеН, V, требуется расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций.

В этом случае придерживаемся такой схемы:

1) от системы H,V переходим к системе Н, V 1 в которой дополнительная плоскость V 1  Н и V 1 || АВ,

2) от системы H,V 1 переходим к системе V 1 H 1 гдеH 1 V 1 и H 1 AB. Решение сводится к последовательному построению проекций А 1  и A 1 " точки.А, В 1  и B 1 " точки В.

Прямая АВ, общего положения в системе H,V, становится параллельной плоскости V 1 в системе Н, V 1 и проецируется в точку на плоскости H 1 в системе V 1 , H 1 т.е. АВ H 1 ,

На рис.4.8 дан пример построения натурального вида треугольника АВС.

Решение такой задачи проводится по следующей схеме:

1) от системы H,V переходим к системе H,V 1 , в которой V 1  Н и V 1  AD (AD - горизонталь треугольника АВС), V 1 АВС.

2) от системы Н, V 1 переходим к системе Vi, Hi, в которой H 1 1 V 1 и H 1 || АВС,

В первой части задачи дополнительная плоскость V 1 перпендикулярна плоскости треугольникаАВС. Это построение повторяет показанное на рис, 4.4.

Во второй части построения на рис.4.8 сводятся к проведению оси V 1 /H 1  C" 1 "A 1 "B 1 " т.е. плоскость H 1 проведена параллельно плоскости АВС, что приводит к определению натурального вида, выражаемого проекцией C" 1 "A 1 "B 1 ".

4.2.Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (цен m р вращения). Радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо точка данной системы находится на оси вращения i, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось вращения может быть, задана и выбрана. Если ось вращения выбирается, то ее выгодно располагать перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.

4.2.1.Вращение вокруг заданной оси

Рис.4.9 Рис.4.10

Пусть точка А вращается вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости Н (рис.4.9). При вращении точка А описывает окружность радиуса R, плоскость которой находится в плоскости  и перпендикулярна к плоскости V, а, следовательно, параллельна плоскости Н Величина радиуса R выражается длиной перпендикуляра, проведенного из точки А на ось вращения. Окружность, описанная в пространстве точкой А, проецируется на плоскость Н без искажения, Так как плоскость а перпендикулярна к V, то проекции точек окружности на плоскость V расположатся на v" , т.е. на прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции

оси вращения. Нарис.4.9 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси i, спроецирована без искажения на плоскость Н. Из центра О проведена окружность радиуса R=OA. На плоскость V эта окружность спроецировалась в виде отрезка прямой, равного 2R,

На рис,4.10 изображено вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости V. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на плоскость V. Из точки О проведена окружность радиуса R==OA". На плоскости Н эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.

Из этого следует, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из проекций вращаемой точки перемещаетсяпо прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения.

4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси

В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов отрезка, то построение упрощается, так как точка, через которую проходит ось, будет неподвижной и для поворота отрезка необходимо будет построить новое положение проекции только одной точки - другого конца отрезка.

Рис.4.11 Рис.4.12

На рис. 4.11 необходимо определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н. Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости Н и проходит через точку А. Поворачивая отрезок АВ вокруг оси i переводим его в положение,

параллельное плоскости V (т.е. АВ становится фронталью). Величина А В равна натуральной величине отрезка АВ, а угол А // В // В // равен углу наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогично определяется натуральная величина отрезка CD и угол наклона его к плоскости V (рис.89). Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости V и проходит через точку С. Поворачивая отрезок CD вокруг оси i переводим его в положение, параллельное плоскости Н (т.е. CD становится горизонталью). Величина С D равна натуральной величине отрезка CD и угол С / D равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

На рис 4.13 необходимо определить натуральный вид треугольника АВС и угол наклона его к плоскости Н. Т.к.. плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, то данную задачу решаем по схеме:

1 Вращением вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через точкуС, переводим треугольник АВС из общего положения в положение фронтально - проецирующей плоскости.

2.Вращением вокруг оси i 1 , перпендикулярной к плоскости V и проходящей через точку А, переводим треугольникАВС из положения фронтально- проецирующей плоскости в положение плоскости, параллельной плоскости Н.

Для того, чтобы треугольник АВС перевести в положение фронтально- проецирующей плоскости, в плоскости треугольника АВС проводим горизонталь плоскости СК, Ее фронтальная проекция С // К // параллельна оси X. Горизонтальная проекция С / К / равна натуральной величине отрезка СК. Ось вращения i выбираем перпендикулярно Н и проводим через точку С, Плоскость АВС становится в положение фронтально- проецирующей плоскости, если горизонталь данного треугольника (СК) займет положение, перпендикулярное к плоскости V и, следовательно, отрезок СК станет перпендикулярен к оси X, а фронтальная проекция С // К // проецируется в точку. Из центра i / С / радиусом, равным С / К / , проводим дугу и строим новую проекцию К.Т.к. при вращении любой точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, траектория перемещения точки расположена в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, то проекция К // расположена на прямой К // К // , параллельной оси X.

Методом засечек находим В / и А / . Фронтальная проекция В"" лежит на прямойВ // В // и параллельной оси X, фронтальная проекция А / лежит на прямой А / А / , параллельной оси X. В результате данного вращения плоскость АВС стала фронтально проецирующей и угол (р равен углу наклона плоскостиАВС к плоскости Н.

Ось вращения i 1 выбираем перпендикулярно V и проводим через точку А. Вращаем точку К и точку С радиусом А К, точку В радиусом А В до тех пор, пока плоскость АВС не займет положение, параллельное плоскости Н и, следовательно, отрезок А 1 // К 1 // В 1 // параллелен оси ОХ. Т.к. траектории перемещения точек С,В и К при этом на горизонтальную плоскость Н с проецировалась в прямые, параллельные

С / лежит на прямой С / С / ,

В / 1 лежит на прямой В / В / 1 ,

К / 1 лежит на прямой К / К / 1.

Проекция A / B / C / определяет натуральный вид треугольника АВС.

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям. Так, прямая K 1 К 2 (рис. 163), по которой пересекаются между собой плоскость, заданная треугольником АВС, и пл. β, заданная прямыми DE и DF, проходит через точки K 1 и K 2 ; но в этих точках прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. β т. е. точки К 1 и К 2 принадлежат обеим плоскостям.

Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.

Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается. Начнем с такого случая.

На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к пл. π 2 . Так как треугольник DEF проецируется на пл.π 2 в виде прямой линии (D"F"), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К" 1 К" 2 на проекции D"F". Дальнейшее построение ясно из чертежа.

Другой пример дан на рис. 165. Горизонтально-проецирующая плоскость α пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей - отрезок M"N" - определяется на следе α".

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей . Пусть одна из плоскостей, β, задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ,- двумя параллельными прямыми. Построение показано на рис. 166. В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая K 1 K 2 . Выразим это записью: β × γ = К 1 K 2 .

Для определения положения точек K 1 и К 2 возьмем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости (α 1 , и α 2), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ плоскостью α 1 . получаем прямые с проекциями 1"2", 1"2" и 3"4", 3"4". Эти прямые, расположенные в пл. α 1 , в своем пересечении определяют первую точку, К 1 , линии пересечения плоскостей β и γ.

Получив проекции К" 1 и К" 2 находим на следах и α" 1 и α" 2 проекции К" 1 и К" 2 . Этим определяются проекции К" 1 К" 2 и К" 1 К" 2 искомой прямой пересечения плоскостей β и γ(проекции проведены штрихпунктирной линией).

При построении можно иметь в виду следующее: так как вспомогательные секущие плоскости α 1 и α 2 взаимно параллельны, то, построив проекции 1"2" и 3"4" следует для проекций 5"6" и 7"8" взять по одной точке, хотя бы 5 и 8, так как 5"6"||1"2" и 7"8"||3"4".

В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две фронгально- проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими

плоскостей β и γ горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис. 167 показывает, что β и γ пересекаются между собой, хотя их горизонтали параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные проекции горизонталей АВ и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо испытать плоскости β и γ при помощи хотя бы, горизонгально-проецирующей плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная плоскость σ, пересечет β и γ, также оказались бы параллельны одна другой, то плоскости β и γ не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения плоскостей β и γ параллельно прямым ВА и CD.

Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией пересечения.

Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166) можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами. Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости проекций:

α × π 1 =h" 0α ; β× π 1 =h" 0β ; h" 0α × h" 0β =M;

α × π 2 =f" 0α ; β× π 2 =f" 0β ; f" 0α × f" 0β =N.

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей α и β (рис. 168) надо: 1) найти точку М" в пересечении следов h" 0α и h" 0β

и точку N" в пересечении f" 0α и f" 0β , а по ним - проекции М" и N"; 2) провести прямые линии M"N" и M"N",

На рис. 169-171 показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лйшь одну точку от пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

Вопросы к §§ 22-24

1. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости?
2. Каков признак параллельности двух плоскостей?
3. Как взаимно располагаются фронтальные следы двух параллельных между собой фронтально-проецирующих плоскостей?
4. Как взаимно располагаются горизонтальные следы двух параллельных между собой горизонтально-проецирующих плоскостей?
5. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей?
6. Служит ли признаком взаимного пересечения двух плоскостей пересечение хотя бы одной пары их одноименных следов?
7. Как установить взаимное положение прямой и Плоскости?
8. Как строится точка пересечения прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций?
9. Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к а) пл. π 1 б) пл. π 2 считается видимой соответственно на π 1 , на π 2 ?
10. Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых хотя бы одна перпендикулярна к пл. π 1 или к пл. π 2 ?
11. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?

Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построе­нию второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224, а показано построение точки пересе­чения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника ABC (перпендику­лярной плоскости V) На плоскость V тре­угольник ABC проецируется в отрезок а"с" пря­мой линии, и точка к" будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения e"f с а"с". Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Види­мость прямой относительно плоскости тре­угольника АВС определяют по взаимному рас­положению проекций треугольника ABC и пря­мой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224, а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого нахо­дится выше проекции треугольника, будет ви­димым. Левее точки к" проекция прямой нахо­дится над проекцией треугольника, следова­тельно, на плоскости Н этот участок види­мый.

На рис. 224, б прямая EF пересекает гори­зонтальную плоскость Р. Фронтальная проек­ция к" точки К - точки пересечения прямой EF с плоскостью Р - будет находиться в точке пересечения проекции е"f "со следом плоскости P v , так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Гори­зонтальную проекцию k точки К находят с по­мощью линии проекционной связи.

Построение линии пересечения двух пло­скостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построе­ния линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения - прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересече­ния совпадает со следом плоскости, находя­щимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция т"п" линии пересечения MN совпадает со следом P v фрон­тально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225, б горизонтальная проекция kl совпа­дает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересе­чения строятся с помощью линий проекцион­ной связи.

Построение точки пересечения прямой с пло­скостью общего положения (рис. 226, а) вы­полняют с помощью вспомогательной проеци­рующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R . с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF - заданная пря­мая и 12 - построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке K .

Нахождение проекций точки К показано на рис. 226, б. Построения выполняют в следую­щей последовательности.

Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след Rн совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.

Строят фронтальную проекцию 1׳2" линии пересечения 12 плоскости R с заданной пло­скостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R H пло­скости R.

Определяют фронтальную проекцию к" иско­мой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проек­цией 1"2" линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.

Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом кон­курирующих точек. Для определения види­мости прямой на фронтальной плоскости про­екций (рис. 226, б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направле­ние взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К׳ прямая закрыта плоскостью треугольника ABC. Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z 1 > Z 5 , точка 1 видимая. Следова­тельно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспо­могательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227, а. Одна плоскость задана тре­угольником ABC, другая - параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогатель­ной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пе­ресекает заданные плоскости по прямым лини­ям 12 и 34, которые в пересечении дают точ­ку К , принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежа­щую на линии пересечения заданных плоскос­тей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q . Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.

На рис. 227, б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1"2" и 3"4" пло­скости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом R v плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и ли­нии пересечения) проецируется на ее фрон­тальный след R v . Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий про­екционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1", 2", 3", 4" до пересечения с горизонтальными проекциями соответствую­щих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки K , принадлежащей линии пе­ресечения двух плоскостей. Фронтальная проек­ция этой точки находится на следе R v .

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися, частным случаем пересекающихся плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

Построение линии пересечения плоскостей - одна из основных задач начертательной геометрии, имеющих большое практическое значение. Она относится к так называемым позиционными задачам.

Позиционными называются задачи на определение общих элементов различных сопрягаемых геометрических форм. К ним относятся задачи на принадлежность геометрических элементов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение прямой и плоскости с поверхностью, пересечение двух поверхностей и, в частности, задача на пересечение двух плоскостей.

Линия пересечения двух плоскостей является прямой, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся плоскостям . Поэтому для построения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой или одну точку и направление линии пересечения.

Рассмотрим частный случай пресечения плоскостей, когда одна из них проецирующая. На рис. 3.6 приведены плоскость общего положения, - заданная треугольником АВС и горизонтально-проецирующая Р. Двумя общими точками, принадлежащими обеим плоскостям, являются точки D и Е, которые и определяют линию пересечения.

Для определения этих точек были найдены точки пересечения сторон АВ и ВС с проецирующей плоскостью. Построение точек D и Е как на пространственном чертеже (рис. 3.6, а), так и на эпюре (рис. 3.6,б) не вызывает затруднений, т.к. основано на разобранном выше собирательном свойстве проецирующих следов плоскостей.

Соединяя одноименные проекции точек D и Е получим проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС и плоскости Р. Таким образом, горизонтальная проекция D 1 Е 1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости Р – с её горизонтальным следом.

Рассмотрим общий случай пересечения когда обе плоскости - общего положения. На рис. 3.7. показаны две плоскости общего положения, заданные треугольником и двумя параллельными прямыми. Для определения двух общих точек линии пересечения плоскостей проводим две вспомогательные (горизонтальные) плоскости уровня R и Т. Вспомогательная плоскость R пересекает заданные плоскости по двум горизонталям h и h 1 , которые в своем пересечении определяют точку 1, общую для плоскостей P и Q, так как они одновременно принадлежат вспомогательной секущей плоскости R. Вторая плоскость – посредник Т также пересекает каждую из заданных плоскостей по горизонталям h 2 и h 3 , которые параллельны первым двум горизонталям. В пересечении горизонталей получим вторую общую точку 2 заданных плоскостей. Соединяя на эпюре (рис. 3.8,б) одноименные проекции этих точек, получим проекции линии пересечения плоскостей.

На рис. 3.8 приведены две плоскости, заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки пересечении М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получил проекции линии пересечения плоскостей.

Если точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа (см. пример 5), а также в тех случаях, когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные плоскости уровня – горизонтальные или фронтальные. Необходимо отметить, что при построении линии пересечения плоскостей, заданных следами, роль вспомогательных секущих плоскостей выполняют плоскости проекций П 1 и П 2 .

На рис. 3.9 показан случай пересечения двух плоскостей, когда известно направление линии пресечения, т.к. плоскость Р является плоскостью уровня (Р||П 1). Поэтому достаточно иметь лишь одну точку пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов. В нашем случае линия пересечения является общей горизонталью NА плоскостей Р и Т.