Функцийн хамгийн том утгыг олно гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгууд

$z=f(x,y)$ функц тодорхойлогдсон бөгөөд зарим нэг хязгаарлагдмал хаалттай домайн $D$-д тасралтгүй байг. Өгөгдсөн функц нь энэ мужид эхний эрэмбийн хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн деривативтай байг (хязгаарлагдмал тооны цэгийг эс тооцвол). Өгөгдсөн хаалттай муж дахь хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд энгийн алгоритмын гурван алхам шаардлагатай.

$D$ хаалттай домайн дахь $z=f(x,y)$ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.

1. $D$ мужид хамаарах $z=f(x,y)$ функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол. Чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох.
2. $D$ домэйны зааг дээрх $z=f(x,y)$ функцийн үйлдлийг боломжит хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын цэгүүдийг олох замаар судал. Хүлээн авсан цэгүүдэд функцын утгыг тооцоол.
3. Өмнөх хоёр догол мөрөнд олж авсан функцийн утгуудаас хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу.

Чухал цэгүүд юу вэ? харуулах/нуух

Доод чухал цэгүүднэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг илэрхийлнэ (жишээ нь $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ба $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) эсвэл дор хаяж нэг хэсэгчилсэн дериватив байхгүй.

Ихэнхдээ нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг дууддаг суурин цэгүүд. Тиймээс хөдөлгөөнгүй цэгүүд нь чухал цэгүүдийн дэд хэсэг юм.

Жишээ №1

$x=3$, $y=0$, $y=x шугамаар хязгаарлагдсан хаалттай муж дахь $z=x^2+2xy-y^2-4x$ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол. +1 доллар.

Бид дээр дурдсан зүйлийг дагаж мөрдөх боловч эхлээд $D$ үсгээр тэмдэглэсэн өгөгдсөн талбайн зургийг авч үзэх болно. Энэ талбайг хязгаарласан гурван шулуун шугамын тэгшитгэлийг бидэнд өгсөн. $x=3$ шулуун нь у тэнхлэгтэй параллель $(3;0)$ цэгийг дайран өнгөрдөг (Oy тэнхлэг). $y=0$ шулуун шугам нь абсцисса тэнхлэгийн (Ox тэнхлэг) тэгшитгэл юм. $y=x+1$ шулуун барихын тулд энэ шулуун шугамыг татах хоёр цэгийг олъё. Мэдээжийн хэрэг, та $ x $ -ийн оронд хэд хэдэн дурын утгыг орлуулж болно. Жишээлбэл, $x=10$-г орлуулахад бид дараахыг авна: $y=x+1=10+1=11$. Бид $y=x+1$ шулуун дээр байрлах $(10;11)$ цэгийг оллоо. Гэхдээ $y=x+1$ шулуун нь $x=3$ ба $y=0$ шулуунуудтай огтлолцох цэгүүдийг олох нь дээр. Яагаад илүү дээр вэ? Яагаад гэвэл бид нэг чулуугаар хэд хэдэн шувууг хэвтүүлнэ: $y=x+1$ шулууныг барихад бид хоёр цэг авах ба нэгэн зэрэг энэ шулуун нь өгөгдсөн шугамыг холбосон бусад шулуунуудыг ямар цэгээр огтолж байгааг олж мэдэх болно. талбай. $y=x+1$ шулуун нь $x=3$ шугамыг $(3;4)$ цэгээр, $y=0$ - шулууныг $(-1;0)$ цэгээр огтолно. Шийдлийн явцыг туслах тайлбараар будлиулахгүйн тулд би эдгээр хоёр цэгийг олж авах асуултыг тэмдэглэлд оруулах болно.

$(3;4)$ болон $(-1;0)$ оноог хэрхэн авсан бэ? харуулах/нуух

$y=x+1$ ба $x=3$ шулуунуудын огтлолцсон цэгээс эхэлье. Хүссэн цэгийн координатууд нь эхний болон хоёр дахь мөрөнд хамаарах тул үл мэдэгдэх координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & y=x+1;\\ & x=3. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$

Ийм системийн шийдэл өчүүхэн: $x=3$-г эхний тэгшитгэлд орлуулбал $y=3+1=4$ болно. $(3;4)$ цэг нь $y=x+1$ ба $x=3$ шугамуудын хүссэн огтлолцох цэг юм.

Одоо $y=x+1$ ба $y=0$ шулуунуудын огтлолцох цэгийг олъё. Дахин хэлэхэд бид тэгшитгэлийн системийг зохиож, шийддэг.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & y=x+1;\\ & y=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлд $y=0$-г орлуулбал: $0=x+1$, $x=-1$ болно. $(-1;0)$ цэг нь $y=x+1$ ба $y=0$ (абсцисса тэнхлэг) шугамуудын хүссэн огтлолцох цэг юм.

Ийм зураг зурахад бүх зүйл бэлэн байна.

Зургаас бүх зүйл харагдаж байгаа тул тэмдэглэлийн асуулт тодорхой харагдаж байна. Гэсэн хэдий ч зураг нь нотлох баримт болж чадахгүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэ зураг нь зүгээр л тодорхой болгохын тулд дүрслэл юм.

Манай талбайг хязгаарласан шугамын тэгшитгэлийг ашиглан тогтоосон. Эдгээр зураас нь гурвалжинг тодорхойлж байгаа нь ойлгомжтой биз дээ? Эсвэл тодорхойгүй байна уу? Эсвэл бидэнд ижил шугамаар хязгаарлагдсан өөр талбай өгсөн байж магадгүй:

Мэдээж тухайн нөхцөлөөр тухайн газар хаалттай гэсэн учир үзүүлсэн зураг буруу байна. Гэхдээ ийм ойлгомжгүй байдлаас зайлсхийхийн тулд бүс нутгийг тэгш бус байдлаар тодорхойлох нь дээр. Бид $y=x+1$ шугамын доор байрлах онгоцны хэсгийг сонирхож байна уу? За, тэгэхээр $y ≤ x+1$. Манай талбай $y=0$ шугамаас дээш байх ёстой юу? Гайхалтай, тэгэхээр $y ≥ 0$. Дашрамд хэлэхэд, сүүлийн хоёр тэгш бус байдлыг хялбархан нэг болгон нэгтгэдэг: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Эдгээр тэгш бус байдал нь $D$ домайныг тодорхойлж, ямар ч эргэлзээгүйгээр өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Гэхдээ зүүлт тайлбарын эхэнд байгаа асуултад энэ нь бидэнд хэрхэн туслах вэ? Энэ нь бас туслах болно :) Бид $M_1(1;1)$ цэг $D$ бүсэд хамаарах эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Энэ мужийг тодорхойлох тэгш бус байдлын системд $x=1$ ба $y=1$-г орлуулъя. Хэрэв тэгш бус байдал хоёулаа хангагдсан бол цэг нь тухайн бүс нутагт оршдог. Хэрэв тэгш бус байдлын дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол цэг нь тухайн бүсэд хамаарахгүй. Тэгэхээр:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Хоёр тэгш бус байдал хоёулаа үнэн. $M_1(1;1)$ цэг нь $D$ бүсэд хамаарна.

Одоо домэйны хил дээрх функцийн зан төлөвийг судлах ээлж ирлээ, i.e. руу явах. $y=0$ шулуун шугамаар эхэлцгээе.

Шулуун шугам $y=0$ (абсцисса тэнхлэг) нь $-1 ≤ x ≤ 3$ нөхцөлөөр $D$ мужийг хязгаарладаг. $y=0$ гэж орлуулна өгөгдсөн функц$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Нэг хувьсагчийн $x$ орлуулах функцийг $f_1(x)$ гэж тэмдэглэнэ:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Одоо $f_1(x)$ функцийн хувьд $-1 ≤ x ≤ 3$ интервал дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй. Энэ функцийн деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүл.

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ утга нь $-1 ≤ x ≤ 3$ сегментэд хамаарах тул бид мөн цэгийн жагсаалтад $M_2(2;0)$ нэмдэг. Нэмж дурдахад бид $-1 ≤ x ≤ 3$ сегментийн төгсгөлд $z$ функцийн утгуудыг тооцоолно. цэг дээр $M_3(-1;0)$ болон $M_4(3;0)$. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв $M_2$ цэг нь авч үзэж буй сегментэд хамаарахгүй байсан бол мэдээжийн хэрэг, $z$ функцийн утгыг тооцоолох шаардлагагүй болно.

Ингээд $M_2$, $M_3$, $M_4$ цэгүүдэд $z$ функцийн утгыг тооцоод үзье. Мэдээжийн хэрэг та эдгээр цэгүүдийн координатыг $z=x^2+2xy-y^2-4x$ илэрхийлэлд орлуулж болно. Жишээлбэл, $M_2$ цэгийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Гэсэн хэдий ч тооцооллыг бага зэрэг хялбарчилж болно. Үүнийг хийхийн тулд $M_3M_4$ сегмент дээр $z(x,y)=f_1(x)$ байгаа гэдгийг санах нь зүйтэй. Би үүнийг дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Мэдээжийн хэрэг, ийм нарийвчилсан бичилт хийх шаардлагагүй бөгөөд ирээдүйд бид бүх тооцоог илүү богино хэлбэрээр бичиж эхэлнэ.

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Одоо $x=3$ шулуун шугам руу эргэцгээе. Энэ мөр нь $0 ≤ y ≤ 4$ нөхцөлөөр $D$ домайныг хязгаарладаг. Өгөгдсөн $z$ функцэд $x=3$-г орлуулна. Ийм орлуулалтын үр дүнд бид $f_2(y)$ функцийг авна.

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ функцийн хувьд $0 ≤ y ≤ 4$ интервал дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй. Энэ функцийн деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүл.

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ утга нь $0 ≤ y ≤ 4$ сегментэд хамаарах тул бид өмнө нь олдсон цэгүүдэд $M_5(3;3)$ нэмнэ. Үүнээс гадна $0 ≤ y ≤ 4$ сегментийн төгсгөлд байрлах цэгүүдэд $z$ функцийн утгыг тооцоолох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. $M_4(3;0)$ болон $M_6(3;4)$ цэгүүдэд. $M_4(3;0)$ цэг дээр бид $z$-ийн утгыг аль хэдийн тооцоолсон. $M_5$ ба $M_6$ цэгүүдэд $z$ функцийн утгыг тооцоолъё. $M_4M_6$ сегмент дээр $z(x,y)=f_2(y)$ байгааг сануулъя.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Эцэст нь, $D $-ын сүүлчийн хил хязгаарыг авч үзье, өөрөөр хэлбэл. $y=x+1$ мөр. Энэ шугам нь $-1 ≤ x ≤ 3$ нөхцөлөөр $D$ мужийг хязгаарладаг. $y=x+1$-г $z$ функцэд орлуулбал бид дараах байдалтай болно:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Дахин нэг удаа бидэнд $x$ нэг хувьсагчийн функц байна. Дахин хэлэхэд та $-1 ≤ x ≤ 3$ сегментээс энэ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй. $f_(3)(x)$ функцийн деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүл.

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ утга нь $-1 ≤ x ≤ 3$ интервалд хамаарна. Хэрэв $x=1$ бол $y=x+1=2$. Цэгүүдийн жагсаалтад $M_7(1;2)$-г нэмж, энэ үед $z$ функцийн утга ямар байхыг олж мэдье. Сегментийн төгсгөлд байрлах цэгүүд $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. $M_3(-1;0)$ ба $M_6(3;4)$ цэгүүдийг өмнө нь авч үзсэн тул бид тэдгээрийн функцийн утгыг аль хэдийн олсон.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Уусмалын хоёр дахь алхам дууссан. Бид долоон утгыг авсан:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

-руу хандъя. Гурав дахь догол мөрөнд олж авсан тоонуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгохдоо бид дараахь зүйлийг авна.

$$z_(мин)=-4; \; z_(хамгийн их)=6.$$

Асуудал шийдэгдсэн, хариултыг бичихэд л үлдлээ.

Хариулах: $z_(мин)=-4; \; z_(хамгийн их)=6$.

Жишээ №2

$x^2+y^2 ≤ 25$ мужаас $z=x^2+y^2-12x+16y$ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Эхлээд зураг зуръя. $x^2+y^2=25$ (энэ нь өгөгдсөн талбайн хилийн шугам) тэгшитгэл нь гарал үүсэл дээр төвтэй (өөрөөр хэлбэл $(0;0)$ цэг дээр) радиустай тойргийг тодорхойлдог. 5. $x^2 +y^2 ≤ 25$ тэгш бус байдал нь дурдсан тойргийн дотор болон дээрх бүх цэгүүдийг хангаж байна.

Бид үйл ажиллагаа явуулах болно. Хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, чухал цэгүүдийг олж мэдье.

$$ \frac(\хэсэг z)(\хэсэг х)=2х-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Олдсон хэсэгчилсэн дериватив байхгүй цэг байхгүй. Аль аль цэгт хэсэгчилсэн деривативууд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү болохыг олж мэдье. хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олох.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. \;\; \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x =6;\\ & y=-8.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун.$$

Бид $(6;-8)$ хөдөлгөөнгүй цэгийг авсан. Гэхдээ олсон цэг нь $D$ бүсэд хамаарахгүй. Үүнийг зурахгүйгээр харуулахад хялбар байдаг. Манай $D$ домайныг тодорхойлсон $x^2+y^2 ≤ 25$ тэгш бус байдал байгаа эсэхийг шалгацгаая. Хэрэв $x=6$, $y=-8$ бол $x^2+y^2=36+64=100$, i.e. $x^2+y^2 ≤ 25$ тэгш бус байдал хангагдаагүй. Дүгнэлт: $(6;-8)$ цэг нь $D$ бүсэд хамаарахгүй.

Тиймээс $D$ дотор ямар ч чухал цэг байхгүй. Үргэлжлүүлье. Бид өгөгдсөн талбайн хил дээрх функцийн зан төлөвийг судлах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. $x^2+y^2=25$ тойрог дээр. Мэдээжийн хэрэг та $y$-г $x$-р илэрхийлж, дараа нь үүссэн илэрхийллийг манай $z$ функцэд орлуулж болно. Тойргийн тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна: $y=\sqrt(25-x^2)$ эсвэл $y=-\sqrt(25-x^2)$. Жишээ нь $y=\sqrt(25-x^2)$-г өгөгдсөн функцэд орлуулбал бид:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x) ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Цаашдын шийдэл нь өмнөх жишээн дэх №1-ийн бүсийн зааг дээрх функцийн зан төлөвийг судлахтай бүрэн ижил байх болно. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөлд Лагранжийн аргыг хэрэглэх нь илүү үндэслэлтэй юм шиг санагдаж байна. Бид энэ аргын эхний хэсгийг л сонирхож байна. Лагранжийн аргын эхний хэсгийг хэрэглэсний дараа бид оноо авч, $z$ функцийг хамгийн бага ба хамгийн их утгыг шалгана.

Бид Лагранж функцийг бүтээдэг:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25). $$

Бид Лагранжийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, харгалзах тэгшитгэлийн системийг байгуулна.

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\ламбда х; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\ламбда у.\\ \зүүн \( \эхлэх (зэрэгцүүлсэн) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\төгсгөл(зохицуулсан) \ баруун. \;\; \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

Энэ системийг шийдэхийн тулд $\lambda\neq -1$ гэдгийг нэн даруй зааж өгье. Яагаад $\lambda\neq -1$? Эхний тэгшитгэлд $\lambda=-1$-г орлуулахыг оролдъё.

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Үүний үр дүнд $0=6$ гэсэн зөрчилдөөн нь $\lambda=-1$ утга хүчингүй байна. Гаралт: $\lambda\neq -1$. $x$ ба $y$-г $\lambda$-р илэрхийлье:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ламбда)=6;\; x=\frac(6)(1+\ламбда). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\ламбда)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\ламбда). \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Бид яагаад $\lambda\neq -1$ нөхцөлийг тусгайлан заасан нь эндээс тодорхой болно гэдэгт би итгэж байна. Үүнийг $1+\lambda$ илэрхийллийг хуваагчдад хөндлөнгийн оролцоогүйгээр оруулахын тулд хийсэн. Өөрөөр хэлбэл, хуваагч нь $1+\lambda\neq 0$ байна.

Олж авсан илэрхийлэлүүдийг $x$ ба $y$-ийн хувьд системийн гурав дахь тэгшитгэлд орлуулъя. $x^2+y^2=25$-д:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \баруун)^2+\left(\frac(-8)(1+\ламбда) \баруун)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\ламбда)^2)+\фрак(64)((1+\ламбда)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\ламбда)^2)=25 ; \; (1+\ламбда)^2=4. $$

Үүссэн тэгшитгэлээс харахад $1+\lambda=2$ эсвэл $1+\lambda=-2$ байна. Тиймээс бидэнд $\lambda$ параметрийн хоёр утга байна, тухайлбал: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Үүний дагуу бид $ x $ ба $ y $ гэсэн хоёр хос утгыг авдаг:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тэгэхээр бидэнд хоёр боломж бий нөхцөлт экстремум, өөрөөр хэлбэл $M_1(3;-4)$ болон $M_2(-3;4)$. $M_1$ ба $M_2$ цэгүүдээс $z$ функцийн утгыг ол.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Бид эхний болон хоёр дахь үе шатанд олж авсан утгуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгох ёстой. Гэхдээ энэ тохиолдолд сонголт бага байна :) Бидэнд:

$$z_(мин)=-75; \; z_(макс)=125. $$

Хариулах: $z_(мин)=-75; \; z_(хамгийн их)=125$.

Ийм даалгаврыг шийдвэрлэх стандарт алгоритм нь функцийн тэгийг олсны дараа интервал дээрх деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлоход оршино. Дараа нь тухайн нөхцөл байдалд ямар асуулт байгаагаас хамааран хамгийн их (эсвэл хамгийн бага) цэгүүд болон интервалын хил дээрх утгыг тооцоолно.

Би та бүхнийг арай өөрөөр хийхийг зөвлөж байна. Яагаад? Энэ тухай бичсэн.

Би дараахь ажлуудыг шийдвэрлэхийг санал болгож байна.

1. Деривативыг ол.
2. Деривативын тэгийг ол.
3. Аль нь өгөгдсөн интервалд хамаарахыг тодорхойл.
4. Бид 3-р зүйлийн интервал ба цэгүүдийн хил дээр функцийн утгыг тооцоолно.
5. Бид дүгнэлт гаргадаг (бид тавьсан асуултанд хариулдаг).

Үзүүлсэн жишээнүүдийг шийдвэрлэх явцад шийдлийг нарийвчлан авч үзээгүй болно. квадрат тэгшитгэл, та үүнийг хийх боломжтой байх ёстой. Тэд бас мэдэж байх ёстой.

Жишээнүүдийг авч үзье:

77422. y=x функцийн хамгийн том утгыг ол[–2;0] сегмент дээр 3 –3x+4.

Деривативын тэгийг олъё:

x = –1 цэг нь нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Бид функцийн утгыг -2, -1 ба 0 цэгүүдэд тооцоолно.

Функцийн хамгийн том утга нь 6 байна.

Хариулт: 6

77425. y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 функцын сегмент дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Деривативын тэгийг олъё:

x = 2 цэг нь тухайн нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Бид 1, 2, 4-р цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолно.

Функцийн хамгийн бага утга нь -2.

Хариулт: -2

77426. [-3; 3] сегмент дээрх y \u003d x 3 - 6x 2 функцийн хамгийн том утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Деривативын тэгийг олъё:

x = 0 цэг нь тухайн нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Бид функцийн утгыг -3, 0, 3 цэгүүдэд тооцоолно.

Функцийн хамгийн бага утга нь 0 байна.

Хариулт: 0

77429. y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 функцын сегмент дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Бид үндсийг авдаг: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Зөвхөн x = 1 нь нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

1 ба 4-р цэгүүдэд функцийн утгыг ол.

Функцийн хамгийн бага утга нь 3 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: 3

77430. [- 4] сегмент дээрх y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 функцийн хамгийн том утгыг ол; -нэг].

Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Деривативын тэгийг ол, квадрат тэгшитгэлийг шийд:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Үндсийг нь авцгаая:

Үндэс х = –1 нь нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

–4, –1, –1/3 ба 1 цэгүүдээс функцийн утгыг ол.

Функцийн хамгийн том утга нь 3 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: 3

77433. y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 функцын сегмент дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Деривативын тэгийг ол, квадрат тэгшитгэлийг шийд:

3х 2 - 2х - 40 = 0

Үндсийг нь авцгаая:

Үндэс x = 4 нь тухайн нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Бид функцийн утгыг 0 ба 4 цэгээс олно.

Функцийн хамгийн бага утга нь -109 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: -109

Деривативгүйгээр функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох аргыг авч үзье. Хэрэв танд деривативын тодорхойлолтод том асуудал байгаа бол энэ аргыг ашиглаж болно. Энэ зарчим нь энгийн - бид интервалаас бүх бүхэл утгыг функц руу орлуулдаг (баримт нь ийм бүх прототипүүдэд хариулт нь бүхэл тоо юм).

77437. [-2; 2] сегмент дээрх y \u003d 7 + 12x - x 3 функцийн хамгийн бага утгыг ол.

Бид -2-оос 2 хүртэлх оноог орлуулна: Шийдэл харах

77434. [-2; 0] сегмент дээрх y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 функцийн хамгийн том утгыг ол.

Тэгээд л болоо. Чамд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь авч үзсэн интервал дахь ордны хамгийн том (хамгийн бага) хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.

Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. Өгөгдсөн сегментэд ямар суурин цэгүүд багтаж байгааг шалгана уу.
2. 3-р алхамаас эхлэн сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол
3. Олж авсан үр дүнгээс хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг сонгоно уу.

Хамгийн их эсвэл хамгийн бага оноог олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. $f"(x)$ функцийн уламжлалыг ол
2. $f"(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдэж хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол
3. Функцийн деривативыг үржүүлэх.
4. Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, 3-р зүйлийн тэмдэглэгээг ашиглан олж авсан интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
5. Дүрмийн дагуу хамгийн их буюу хамгийн бага оноог ол: хэрэв тухайн цэг дээр дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг болно (хэрэв хасахаас нэмэх бол энэ нь хамгийн бага цэг болно). Практикт сумны дүрсийг интервал дээр ашиглах нь тохиромжтой байдаг: дериватив эерэг байх интервал дээр сумыг дээш, эсрэгээр нь зурдаг.

Зарим энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт:

Ялгах үндсэн дүрмүүд

1. Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$(f(x) ± g(x))'= f'(x)± g'(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Бүтээгдэхүүний дериватив.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ деривативыг ол

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Хэсгийн дериватив

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Цогц функцийн дериватив нь гадаад функцийн дериватив ба дотоод функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ функцийн хамгийн бага цэгийг ол

1. Функцийн ODZ-ийг ол: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ функцийн уламжлалыг ол.

3. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол

$(2x+21)/(x+11)=0$

Хэрэв тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш бол бутархай нь тэг болно

$2x+21=0; x≠-11$

4. Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, олж авсан интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид хэт баруун бүсээс дурын тоог, жишээлбэл, тэгийг дериватив болгон орлуулна.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Хамгийн бага цэг дээр дериватив тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул $-10.5$ цэг нь хамгийн бага цэг болно.

Хариулт: -10.5 доллар

$[-5;1]$ сегмент дээрх $y=6x^5-90x^3-5$ функцийн хамгийн их утгыг ол.

1. $y′=30x^4-270x^2$ функцийн уламжлалыг ол.

2. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, суурин цэгүүдийг ол

$30х^4-270х^2=0$

Нийтлэг хүчин зүйл болох $30x^2$-ыг хаалтнаас гаргая

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүл

$x^2=0; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Өгөгдсөн $[-5;1]$ сегментэд хамаарах хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг сонго

$x=0$ болон $x=-3$ хөдөлгөөнгүй цэгүүд бидэнд тохиромжтой

4. 3-р зүйлээс сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэг дэх функцийн утгыг тооцоол.

Математикийн USE-ийн B14 даалгаварт нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгыг олох хэрэгтэй. Энэ бол математикийн шинжилгээнээс харахад маш энгийн ажил бөгөөд ийм учраас төгсөгч бүр үүнийг хэрхэн яаж шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой бөгөөд сурах ёстой. ахлах сургууль. 2011 оны 12-р сарын 7-нд Москвад болсон математикийн оношилгооны ажилд сургуулийн сурагчдын шийдвэрлэсэн хэд хэдэн жишээнд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олохыг хүссэн интервалаас хамааран дараах стандарт алгоритмуудын аль нэгийг энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

I. Сегмент дээрх функцийн хамгийн том буюу хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

• Функцийн деривативыг ол.
• Экстремум гэж сэжиглэгдсэн цэгүүдээс тухайн сегмент болон функцын домэйнд хамаарахыг сонгоно уу.
• Утгыг тооцоолох функцууд(үүсмэл биш!) эдгээр цэгүүдэд.
• Хүлээн авсан утгуудын дотроос хамгийн том эсвэл хамгийн жижигийг сонго, энэ нь хүссэн зүйл байх болно.

Жишээ 1Функцийн хамгийн бага утгыг ол
y = х 3 – 18х 2 + 81хсегмент дээр + 23 .

Шийдвэр:Бид сегмент дэх функцийн хамгийн бага утгыг олох алгоритмын дагуу ажилладаг.

• Функцийн хамрах хүрээ хязгаарлагдахгүй: D(y) = Р.
• Функцийн дериватив нь: чи' = 3х 2 – 36х+ 81. Функцийн деривативын хамрах хүрээ нь мөн хязгаарлагдахгүй: D(y') = Р.
• Деривативын тэг: чи' = 3х 2 – 36х+ 81 = 0, тэгэхээр х 2 – 12х+ 27 = 0, эндээс х= 3 ба х= 9, бидний интервалд зөвхөн орно х= 9 (экстремумын хувьд сэжигтэй нэг цэг).
• Бид функцийн утгыг экстремумын сэжигтэй цэг болон интервалын ирмэг дээр олдог. Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс функцийг дараах хэлбэрээр төлөөлдөг. y = х 3 – 18х 2 + 81х + 23 = х(х-9) 2 +23:
  • y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Тиймээс олж авсан утгуудаас хамгийн бага нь 23 байна. Хариулт: 23.

II. Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

• Функцийн хамрах хүрээг ол.
• Функцийн деривативыг ол.
• Экстремумын сэжигтэй цэгүүдийг (функцийн дериватив алга болох цэгүүд ба хоёр талт төгсгөлтэй дериватив байхгүй цэгүүдийг) тодорхойл.
• Эдгээр цэгүүд болон функцийн мужийг тооны шулуун дээр тэмдэглэж, тэмдгүүдийг тодорхойлно уу дериватив(функц биш!) үүссэн интервалууд дээр.
• Үнэт зүйлсийг тодорхойлох функцууд(үүсмэл биш!) хамгийн бага цэгүүдэд (үүсмэлийн тэмдэг нь хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгддөг цэгүүд) эдгээр утгуудын хамгийн бага нь функцийн хамгийн бага утга байх болно. Хэрэв хамгийн бага цэг байхгүй бол функц нь хамгийн бага утгагүй болно.
• Үнэт зүйлсийг тодорхойлох функцууд(үүсмэл биш!) хамгийн их цэгүүдэд (үүсмэлийн тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдөх цэгүүд) эдгээр утгуудын хамгийн том нь функцийн хамгийн том утга байх болно. Хэрэв дээд цэг байхгүй бол функц хамгийн их утгагүй болно.

Жишээ 2Функцийн хамгийн том утгыг ол.

Сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

1) интервалд хамаарах функцийн бүх чухал цэгүүдийг ол;

2) Эдгээр цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолох;

3) Хүлээн авсан утгуудаас хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу.

Жишээ 8.1.Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол
сегмент дээр
.

Шийдвэр. 1) Функцийн чухал цэгүүдийг ол.

,




.

Сегмент дээр
хуваагч арилдаггүй. Тиймээс, тоологч нь тэг байвал бутархай нь тэг болно:




.

гэсэн үг,
функцийн чухал цэг юм. Энэ сегментэд хамаарна.

Чухал цэг дээрх функцийн утгыг ол:

2) Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг ол:

, .

3) Хүлээн авсан утгуудаас бид хамгийн том ба хамгийн жижигийг сонгоно.

,
.

9. Хэмжигдэхүүний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудал

Хэмжигдэхүүний хамгийн бага, хамгийн том утгыг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэхдээ юуны өмнө тухайн асуудлын аль хэмжигдэхүүнд хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгыг олох шаардлагатайг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ утга нь судалж буй функц байх болно. Дараа нь функцийн хэрэглээ нь өөрчлөлтөөс хамаардаг хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгийг бие даасан хувьсагч болгон авч, функцийг түүгээр илэрхийлэх ёстой. Энэ тохиолдолд судалж буй функцийг хамгийн энгийнээр илэрхийлэх утгыг бие даасан хувьсагч болгон сонгох шаардлагатай. Үүний дараа тухайн асуудлын мөн чанараас ихэвчлэн тодорхойлогддог бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн тодорхой интервалд олж авсан функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олохын тулд асуудлыг шийддэг.

Жишээ 9.1.Радиустай бөмбөрцөгт бичиж болох хамгийн том конусын өндрийг ол .

Р шийдэл.Суурийн радиус, конусын өндөр, эзэлхүүнийг тус тус тэмдэглэнэ ,болон , бичих
. Энэ тэгш байдал нь хоёр хувьсагчийн хамаарлыг илэрхийлдэг болон ; Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгийг нь хасъя . Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжингаас
бид (гипотенузын зөв өнцгийн оройноос унасан перпендикулярын квадрат дээрх теоремоор) гаргана.

Зураг 6 - Зураг жишээ 9.1.

эсвэл
.

Утгыг орлуулах конусын эзэлхүүний томъёонд бид дараахь зүйлийг авна.

.

эзлэхүүн байгааг бид харж байна радиустай бөмбөлөгт сийлсэн конус , нь энэ конусын өндрийн функц юм . Бичсэн конус нь их хэмжээний эзэлхүүнтэй өндрийг олохын тулд үүнийг олох гэсэн үг юм , үүнд зориулсан функц дээд талтай. Бид хамгийн дээд функцийг хайж байна:

1)
,

2)
,
,
, хаана
эсвэл
,

3)
.

Оронд нь орлуулах хамгийн эхэнд
, Тэгээд
, бид авах:

Эхний тохиолдолд бид хамгийн бага (
цагт
), хоёрдугаарт, хүссэн дээд тал нь (
цагт
).

Тиймээс, at
радиустай бөмбөрцөгт сийлсэн конус , хамгийн их эзэлхүүнтэй.

П Жишээ 9.2. Төмөр торны урттай хашаа барих шаардлагатай 60 мбайшингийн хананд зэргэлдээх тэгш өнцөгт талбай (Зураг 7). Хамгийн том талбайтай байхын тулд талбайн урт, өргөн нь ямар байх ёстой вэ?

Шийдвэр.Талбайг өргөн болго м, болон талбай м 2 , дараа нь:

Зураг 7 - Жишээ нь 9.2-д зориулсан зураг.

Үнэ цэнэ болон сөрөг байж болохгүй тул үржүүлэгч
, a
.

Дөрвөлжин функц байдаг , бид түүний өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлно.

.
, мөн үед функц нь нэмэгдэж байна
;
, мөн үед функц буурч байна
. Эндээс л санаа гарч байна
хамгийн дээд цэг юм. Учир нь энэ нь интервалд хамаарах цорын ганц цэг юм
, дараа нь цэг дээр
функц нь хамгийн өндөр утгатай байна.

Тиймээс талбайн талбай нь өргөн бол хамгийн том (хамгийн их) байна
м,ба урт м.

Жишээ 9.3.Тэгш өнцөгт өрөөний хэмжээ ямар байх ёстой вэ, талбай нь ямар байх ёстой вэ? 36 м 2 Тэгэхээр түүний периметр нь хамгийн жижиг байх ёстой юу?

Шийдвэр. Урт нь байг м,Дараа нь тэгш өнцөгтийн өргөн м, ба периметр:

.

Периметр уртын функц юм , бүх эерэг утгуудад тодорхойлсон :
.

Бид түүний өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлно.

Деривативын тэмдгийг ялгах тэмдгээр тодорхойлно
. Завсрын хугацаанд

, болон хооронд

.

Эндээс л санаа гарч байна
хамгийн бага цэг юм. Энэ нь интервалд хамаарах цорын ганц цэг учраас:
, дараа нь цэг дээр
функц нь хамгийн бага утгатай байна.

Тиймээс тэгш өнцөгтийн периметр нь урттай бол хамгийн бага утгатай (хамгийн бага) байна 6 мба өргөн м = 6 м,өөрөөр хэлбэл дөрвөлжин байх үед.