Физика: Определение температуры фазового перехода ферромагнетик-парамагнетик, Лабораторная работа. При каких условиях ферромагнетик превращается в парамагнетик? Фазовый переход ферромагнетик парамагнетик

Цель работы: изучение фазового перехода второго рода ферромагнетик–парамагнетик, определение зависимости спонтанной намагниченности от температуры и проверка закона Кюри - Вейсса.

Введение

В природе существуют различные скачкообразные изменения состояния вещества, называемые фазовыми превращениями. К числу таких превращений относятся плавление и отвердевание, испарение и конденсация, переход металлов в сверхпроводящее состояние и обратный переход и так далее.

Одним из фазовых переходов является превращение из ферромагнитного в парамагнитное состояние у некоторых веществ, таких как металлы группы железа, некоторые лантаноиды и другие.

Переход ферромагнетик–парамагнетик широко исследуется в наше время не только из-за его важности в материаловедении, но и ввиду того, что для его изучения можно применить весьма простую модель (модель Изинга), а, следовательно, этот переход можно наиболее детально изучить математически, что важно для создания пока еще отсутствующей общей теории фазовых переходов.

В этой работе рассматривается переход ферромагнетик - парамагнетик в двумерной кристаллической решетке, исследуется зависимость спонтанной намагниченности от температуры, проверяется закон Кюри–Вейсса.

Классификация магнетиков

Все вещества в той или иной степени обладают магнитными свойствами, то есть являются магнетиками. Магнетики подразделяются на две большие группы: сильномагнитные и слабомагнитные вещества. Сильномагнитные вещества обладают магнитными свойствами даже в отсутствие внешнего магнитного поля. К ним относятся ферромагнетики, антиферромагнетики и ферримагнетики. Слабомагнитные вещества приобретают магнитные свойства только при наличии внешнего магнитного поля. Они подразделяются на диамагнетики и парамагнетики.

К диамагнетикам относятся вещества, атомы или молекулы которых в отсутствие внешнего поля не имеют магнитного момента. Атомы этих веществ устроены так, что орбитальные и спиновые моменты входящих в них электронов в точности компенсируют друг друга. Примером диамагнетиков являются инертные газы, атомы которых имеют только замкнутые электронные оболочки. При появлении внешнего магнитного поля вследствие явления электромагнитной индукции атомы диамагнетиков намагничиваются, и у них появляется магнитный момент, направленный, согласно правила Ленца, против поля.

К парамагнетикам относятся вещества, атомы которых имеют отличные от нуля магнитные моменты. В отсутствие внешнего поля эти магнитные моменты ориентированы беспорядочно вследствие хаотического теплового движения, и поэтому результирующая намагниченность парамагнетика равна нулю. При появлении внешнего поля магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно по полю, поэтому появляется результирующая намагниченность, направление которой совпадает с направлением поля. Следует отметить, что сами атомы парамагнетиков в магнитном поле намагничиваются так же, как и атомы диамагнетиков, но этот эффект всегда слабее эффекта, связанного с ориентацией моментов.

Главной особенностью ферромагнетиков является наличие спонтанной намагниченности, которая проявляется в том, что ферромагнетик может быть намагниченным даже в отсутствии внешнего магнитного поля. Это связано с тем, что энергия взаимодействия любой пары соседних атомов ферромагнетика зависит от взаимной ориентации их магнитных моментов: если они направлены в одну сторону, то энергия взаимодействия атомов меньше, а если в противоположные стороны, то больше. На языке сил можно сказать, что между магнитными моментами действуют короткодействующие силы, которые стараются заставить атом–сосед иметь такое же направление магнитного момента, как и у самого данного атома.

Спонтанная намагниченность ферромагнетика постепенно уменьшается с ростом температуры, и при некоторой критической температуре – точке Кюри – она становится равной нулю. При более высоких температурах ферромагнетик ведет себя в магнитном поле как парамагнетик. Таким образом, в точке Кюри происходит переход из ферромагнитного в парамагнитное состояние, который является фазовым переходом второго рода или непрерывным фазовым переходом.

Модель Изинга

Для изучения магнитного и атомного упорядочения была создана простая модель Изинга. В этой модели предполагается, что атомы располагаются неподвижно, не совершая колебаний, в узлах идеальной кристаллической решетки. Расстояния между узлами решетки постоянно, оно не зависит ни от температуры, ни от намагниченности, то есть в этой модели не учитывается теплового расширения твердого тела.

Взаимодействие между магнитными моментами в модели Изинга учитывается, как правило, лишь между ближайшими соседями. Считается, что величина этого взаимодействия также не зависит от температуры и намагниченности. Взаимодействие обычно (но не всегда) считается центральным и парным.

Однако даже в такой простой модели изучение фазового перехода ферромагнетик–парамагнетик встречает огромные математические трудности. Достаточно сказать, что точного решения трехмерной задачи Изинга в общем случае до сих пор не получено, а применение более-менее точных приближений в этой задаче приводит к большим вычислительным трудностям и находится на грани возможностей даже современной вычислительной техники.

Энтропия

Рассмотрим магнетик в двумерной решетке Изинга (рис. 1). Пусть узлы образуют квадратную решетку. Магнитные моменты, направленные вверх, обозначим А , а вниз – B .

Рис. 1
Пусть число магнитных моменты, направленных вверх, равно N A , а вниз – N B , полное число моментов равно N . Ясно, что

N А + N В = N . (1)

Число способов, которыми можно разместить N A моментов сорта А и N B моментов сорта В по N узлам, равно числу перестановок всех этих узлов друг с другом, то есть равно N !. Однако из этого общего числа все перестановки одинаковых магнитных моментов друг с другом не приводят к новому состоянию (их называют неразличимыми перестановками). То есть, чтобы узнать число способов размещения моментов, нужно N ! поделить на число неразличимых перестановок. Таким образом, получим величину

. (2)

Эта величина является полным числом микросостояний, соответствующих макросостоянию с данной намагниченностью, т. е. статистическим весом макросостояния.

При вычислении статистического веса по формуле (2) было сделано достаточно сильное приближение, заключающееся в том, что появление конкретного магнитного момента на каком-то узле решетки не зависит от того, какие магнитные моменты имеют атомы на соседних узлах. На самом же деле атомы с моментами любой ориентации вследствие взаимодействия частиц друг с другом «стараются» окружить себя атомами с такими же магнитными моментами, но в формуле (2) это не учитывается. Говорят, что в этом случае мы не учитываем корреляцию в расположении моментов. Такое приближение в теории магнетизма носит название приближения Брэгга–Вильямса. Отметим, что проблема учета корреляции является одной из самых сложных проблем в любой теории, имеющей дело с коллективом взаимодействующих друг с другом частиц.

Если применить формулу Стирлинга ln N !  N (ln N – 1), справедливую для больших N , то из формулы (2) можно получить выражение для энтропии, связанной с расположением магнитных моментов (ее называют конфигурационной энтропией):

Введем вероятность появления магнитного момента «вверх»:
. Аналогично можно ввести вероятность появления магнитного момента «вниз»:
. Тогда выражение для энтропии запишется так:

Из формулы (1) следует, что введенные выше вероятности связаны соотношением:

. (3)

Введем так называемый параметр дальнего порядка:

(4)

Тогда из формул (3) и (4) можно выразить все вероятности через параметр порядка:

Подставляя эти соотношения в выражение для энтропии, получим:

. (6)

Выясним физический смысл параметра дальнего порядка . Намагниченность магнетика М определяется в нашей модели избытком атомов с одной из двух возможных ориентаций магнитного момента, и она равна:

откуда
, где М max = N  – максимальная намагниченность, достигаемая при параллельной ориентации всех магнитных моментов ( – величина магнитного момента одного атома). Таким образом, параметр порядка  – относительная намагниченность, и она может изменяться в пределах от –1 до +1. Отрицательные значения параметра порядка говорят лишь о направлении преимущественной ориентации магнитных моментов. При отсутствии внешнего магнитного поля значения параметра порядка +  и – физически эквивалентны.

Энергия

Атомы взаимодействуют друг с другом, причем это взаимодействие наблюдается только на достаточно малых расстояниях. При теоретическом рассмотрении проще всего учесть взаимодействие только ближайших друг к другу атомов. Внешнее поле пусть отсутствует (Н = 0).

Пусть взаимодействуют лишь атомы–соседи. Пусть энергия взаимодействия двух атомов с одинаково направленными магнитными моментами (оба «вверх» или оба «вниз») равна –V (притяжению соответствует отрицательная энергия), а с противоположно направленными + V .

Пусть кристалл таков, что каждый атом имеет z ближайших соседей (например, в простой кубической решетке z = 6, в объемно-центрированной кубической z = 8, в квадратной z = 4).

Энергия взаимодействия одного атома, магнитный момент которого направлен «вверх», со своим ближайшим окружением (т. е. с z p A моментами «вверх» и с z p B моментами «вниз») в нашей модели равна –V z (p A – p B ). Аналогичная величина для атома с моментом «вниз» равна V z (p A – p B ). При этом мы снова сделали уже использованное при выводе формулы для энтропии приближение Брэгга–Вильямса, не учитывающее корреляции в расположении атомов, то есть считали, что вероятность появления конкретного магнитного момента на каком-то узле решетки не зависит от того, какие магнитные моменты имеют атомы на соседних узлах.

В этом приближении полная энергия магнетика равна:

где множитель ½ появился для того, чтобы взаимодействие всех соседних атомов друг с другом не учитывалось бы дважды.

Выражая N A и N B через вероятности, получим:

. (7)

Уравнения равновесия

Энергия взаимодействия отражает тенденцию системы к установлению в ней полного порядка, именно при полном порядке (в нашем случае при  = 1) энергия минимальна, что соответствовало бы устойчивому равновесию при отсутствии теплового движения. Энтропия системы, напротив, отражает тенденцию к максимальному молекулярному хаосу, к максимальному тепловому движению. Чем сильнее тепловое движение, тем больше энтропия, и если бы не было взаимодействия молекул друг с другом, то система стремилась бы к максимальному хаосу с максимальной энтропией.

В реальной же системе имеются обе эти тенденции, и это проявляется в том, что при постоянных объеме и температуре в состоянии термодинамического равновесия достигает экстре­мального (минимального) значения не энергия и не энтропия, а свободная энергия Гельмгольца:

F = U – T S .

Для нашего случая из формул (6) и (7) можно получить:

В состоянии термодинамического равновесия степень упорядочения должна быть такой, чтобы свободная энергия была бы минимальной, поэтому мы должны исследовать функцию (8) на экстремум, взяв от нее производную по  и приравняв ее к нулю. Таким образом, условие равновесия примет вид:

. (9)

В этом уравнении
– безразмерная температура.

Рис. 2
Уравнение (9) – трансцендентное, и его можно решить численными методами. Однако его решение можно исследовать графически. Для этого нужно построить графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, при различных значениях параметра . Обозначим эти функции соответственно F 1 и F 2
(рис. 2).

Функция F 1 не зависит от параметра , она представляет собой кривую с двумя вертикальными асимптотами при значениях переменной , равных +1 и –1. Функция эта монотонно возрастает, она нечетная, ее производная в начале координат равна
. Функция F 2 изображается прямой, проходящей через начало координат, ее наклон зависит от параметра : чем меньше , тем больше тангенс угла наклона, который равен
.

Если   1, то
, тогда кривые пересекаются только в начале координат, то есть в этом случае уравнение (9) имеет лишь одно решение  = 0. При   1 кривые пересекаются в трех точках, то есть уравнение (9) имеет 3 решения. Одно из них по-прежнему нулевое, два других отличаются лишь знаком.

Оказывается, что нулевое решение при  А и В (т. е. моментов «вверх» и «вниз»).

Подставив значение  = 1, получим значение температуры, разделяющей два типа решений уравнения (9):

.

Эта температура называется температурой или точкой Кюри для перехода ферромагнетик–парамагнетик или просто критической температурой.

При более низких температурах магнетик существует в упорядоченном ферромагнитном состоянии, а при более высоких – дальний порядок в расположении магнитных моментов атомов отсутствует, и вещество является парамагнетиком. Отметим, что данный переход является фазовым переходом второго рода, параметр порядка  постепенно уменьшается с увеличением температуры и в критической точке становится равным нулю.

Зависимость параметра порядка  от приведенной температуры , полученная из решения уравнения (9), показана на

рис. 3.

Свободная энергия (8) для ферромагнетика во внешнем поле запишется:

Рис. 3
где  – магнитный момент атома. В этой формуле второе слагаемое представляет собой энергию взаимодействия магнитных моментов атомов с внешним магнитным полем, равную
. Общий случай ферромагнетика в магнитном поле математически исследовать довольно трудно, ограничимся лишь рассмотрением ферромагнетика при температурах выше точки Кюри. Тогда уравнение равновесия, аналогичное (9), примет вид:

.

Ограничимся случаем слабого намагничивания, которое наблю­дается при температурах значительно выше точки Кюри

(Т ≫ T C) и слабых магнитных полях. При  ≪ 1 левую часть этого уравнения можно разложить в ряд, ограничиваясь линейными членами, т. е.

ln (1+)  . Тогда 2kT  = Н +2k Т С, и намагниченность
, т. е. парамагнитная восприимчивость
. Таким образом, восприимчивость ферромагнетика при температурах выше точки Кюри в слабых магнитных полях обратно пропорциональна (Т – Т С) , т. е. наблюдается согласие теории с экспериментальным законом Кюри–Вейсса.

Описание работы

Кадр из компьютерной лабораторной работы приведен на рис. 4. Ферромагнетик моделируется фрагментом простой квадратной решетки из 100 узлов, на которой размещаются магнитные моменты «вверх» и «вниз», изображаемые соответственно направленными стрелками. Задаются температура магнетика в приведенных единицах
и напряженность внешнего магнитного поля.

Необходимо выполнить два упражнения. В первом из них нужно определить зависимость намагниченности от температуры при отсутствии внешнего магнитного поля. Во втором упражнении нужно исследовать намагничивание магнетика внешним полем при температуре выше точки Кюри и проверить закон Кюри–Вейсса.

Ход работы

1. Нажать кнопку "СБРОС", при этом появится кнопка "ПУСК".

2. Установить нужные значения напряженности поля Н и приведенной температуры
.

3. Нажать кнопку "ПУСК", при этом появится изображение ферромагнетика, в котором число магнитных моментов "вверх" и "вниз" определяются заданными параметрами. В соответствующем окне появится число магнитных моментов "вверх".

4. Вычислить значение параметра порядка. При этом следует иметь в виду, что полное число магнитных моментов равно 100.

5. Проделать описанный выше опыт при других значениях напряженности поля и температуры, вычисляя каждый раз параметр порядка.

6. Рекомендуется выбирать значения напряженности поля в интервале от 2 до 10 единиц (4–5 значений), а приведенную температуру – в интервале от 4 до 15–20 (4–5 значений).

7. Для каждой температуры построить зависимость намагниченности от напряженности поля и определить магнитную восприимчивость при данной температуре как тангенс угла наклона соответствующего графика.

8. Оценить выполнение закона Кюри–Вейсса, для чего построить график зависимости восприимчивости от отношения
. Согласно закону Кюри – Вейсса, эта зависимость должна быть линейной.

9. Построить график зависимости намагниченности от приведенной температуры при напряженности поля Н = 0 при температурах ниже точки Кюри (значения приведенной температуры следует брать в интервале от 0,5 до 1).

Контрольные вопросы

1. 
   Какие вещества называют сильномагнитными?
2. 
   Что такое спонтанная намагниченность?
3. 
   В чем причина того, что ферромагнетик обладает спонтанной намагниченностью?
4. 
   Что представляет собой ферромагнетик при температуре выше точки Кюри?
5. 
   Почему парамагнетик не обладает спонтанной намагниченностью?
6. 
   Каковы основные особенности модели Изинга?
7. 
   Каков физический смысл степени дальнего порядка?
8. 
   Какова природа взаимодействия между магнитными моментами?
9. 
   В чем заключается приближение Брэгга–Вильямса и что означают слова, что это приближение не учитывает корреляции в расположении магнитных моментов?
10. 
    Как определяется энтропия ферромагнетика?
11. 
    Как находятся условия термодинамического равновесия ферромагнетика?
12. 
    Графическое решение уравнения равновесия.
13. 
    От чего зависит температура Кюри?
14. 
    В чем заключается закон Кюри–Вейсса?
15. 
    Как можно исследовать зависимость намагниченности ферромагнетика от температуры?
16. 
    Как определить магнитную восприимчивость ферромагнетика выше точки Кюри?

Как проверить закон Кюри–Вейсса?

Фазовые переходы второго рода - фазовые превращения, при которых плотность вещества, энтропия и термодинамические потенциалы не испытывают скачкообразных изменений, а теплоемкость, сжимаемость, коэффициент термического расширения фаз меняются скачком. Примеры: переход Не в сверхтекучее состояние, Fe из ферромагнитного состояния в парамагнитное (в Кюри точке).

Фазовый переход парамагнетик-ферромагнетик

Магнитные системы важны в связи с тем, что вся терминология, используемая в теории фазовых переходов, основана на именно этих системах. Рассмотрим небольшой образец, изготовленный из железа, помещенный в магнитное поле (). Пусть - намагниченность этого образца, зависящая от магнитного поля. Очевидно, что уменьшение магнитного поля приводит к уменьшению намагниченности. Могут иметь место две ситуации. Если температура высокая, магнитный момент становится равным нулю, когда магнитная поле стремится к нулю. Зависимость магнитного момента от магнитного поля для этого случая представлена на рисунке 3 а. .

Рисунок 3. График зависимости намагниченности от магнитного поля: а -при высоких; б - при низких температурах.

Однако, возможна и другая ситуация, которая реализуется при низких температурах: намагниченность образца, возникшая под влиянием внешнего магнитного поля, сохраняется и при уменьшении этого поля до нуля. (рисунок 3б). Эта остаточная намагниченность называется спонтанной намагниченностью ().Существует вполне определенная температура, при которой спонтанная намагниченность появляется впервые. Эта температура называется температурой Кюри. В области температур, ниже температуры Кюри, спонтанная намагниченность оказывается тем большей, чем ниже абсолютная температура. Намагниченность называется параметром порядка. Магнитное поле, являющееся переменной, термодинамически сопряженной намагниченности, называется упорядочивающим полем. Такие пары сопряженных переменных будут очень важны для дальнейшей теории.Есть очень полезная модель фазового перехода парамагнетик-ферромагнетик. Эта модель называется моделью Изинга. Рассмотрим несжимаемую решетку, в каждом узле которой находится магнитные стрелки. Эти стрелки могут быть направлены или вверх, или вниз. Соседние стрелки взаимодействуют таким способом что силы, действующие между этими стрелками, стремятся расположить их параллельно друг другу.

Рисунок 4. Пояснения к модели Изинга.

Предполагается, что энергия взаимодействия стрелок положительна. В этом случае с точки зрения энергии стрелкам выгодно быть параллельными, т.е. чтобы все стрелки смотрели либо вверх, либо все - вниз. Энергия системы в этом случае минимальна. С точки зрения энергии такое состояние наиболее выгодное. Однако, таких полностью упорядоченных состояний всего лишь два (все стрелки - вверх и все стрелки - вниз). В этом смысле такие упорядоченные состояния совершенно невыгодны с точки зрения энтропии. Энтропия «стремится» полностью разупорядочить систему

При высоких температурах энтропия побеждает. В системе имеет место беспорядок и средняя намагниченность равна нулю. (число синих стрелок равно числу красных стрелок). При низких температурах побеждает энергия и в системе возникает спонтанная намагниченность (число синих стрелок равно десяти; а число красных стрелок равно шестнадцати).

Это означает, что в рассмотренной системе существует такая температура, начиная с которой, в системе появляется спонтанная намагниченность

Поведение всех систем около точек фазового перехода полностью универсально. Это очень удобно. Изучая самую простую систему (например, модель Изинга) около ее критической точки, мы сможем предсказывать физические свойства сложных систем около их точек фазового перехода.

Страницы:

Ufr>=C(r>^£!r> (r^l,2), (21) где s"rl - диэлектрическая проницаемость г -й среды.

По полученным соотношениям были проведены расчеты,

у(\)

характеризующие порядок степенной особенности у = 1 - - в вершине

составного клина при щ = я/2, а2=я (табл.1). Для случаев щ - щ = 2ж/3 , р1 = 0.5 , 0Л - , X - 3 и Л - 0.01 построены изотермические линии (рис.2 и рис.3 соответственно).

SUMMARY

Different questions mechanics of composite materials, heat conductivity, electrostatics, magnetostatics, mathematical biology result in boundary problems of elliptic type for piecewise ■ homogeneous mediums. When the border of area has angular points for correct determination о/ physical fields it is necessary to have the information about fields singularities In an angular point- It is considered u problem of the potential theory for compound wedge . Green"s function Is built for situation when the concentrated source works in one of phases .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арсеїшн В.Я., Мнтематическля физика. Основные уравнения и специальные функции.- Щ Наука, 1966.

УДК 537.624

ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД ПАРАМАГНЕТИК-ФЕРРОМАГНЕТИК В СИСТЕМЕ ОДНОДОМЕНЛЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ

С.И.Денисов, проф.; В.Ф.Иефедченко, осп.

Хорошо известно , что причиной появления дальнего магнитного порядка в большинстве известных в настоящее время магнетиковзз.-.^:..-. обменное взаимодействие. Вместе в тем еще в 1946 году - _^ г :г Тисса теоретически ШЖВМЛЯі ч ги мпгнптидииолькас взаимодействие также может выполнять эту роль. Поскольку последнее швкмз-еястйие, как правило, намного слабее обменного, температура перехода із упорядоченное состояние еиетемы атомных

Момянтое, взаимодействующих маї читолнпол^ньш оОрл.чиг,:,
вызывается очень малой и составляет доли градуса Кельвина. Это

Г^лъство, а также отсутствие веществ, в которых иерархический рил магнитных взаимодействий начинается с маггштодипольного, долгое щжжл не позволяли провести экспериментальную проверку этой

- >ы. И только недавно соответствующая проверка, подтиерд нетал вывод Латтинжера и Тиссы, была проведена в на кристаллах солей КОРЕЯХ земель, имеющих химическую формулу Cs^Naii(N02)e.

"Квасе систем, в которых магнитодипольное взаимодействие
еируктурных элементов играет основную роль, включает также системы
«азсдоменных ферромагнитных частиц, случайно распределенных в
ввмагнитной твердой матрице. Исследованию таких систем, чрезвычайно
ашЕзых с практической точки зрения, посвящено много литературы.
Ойвако изучение кооперативных эффектов в них начато только в
последние годы. Основной результат, полученный как численными ,
да и аналитическими , так и прямыми экспериментальными данными,
состоит в том, что так же, как и в системах атомных магнитных
моментов, в системах однодоменных ферромагнитных частиц может
„■ходить (разовый переход ферромагнитное состояние. Хотя

некоторые особенности этого перехода изучены в , остались
нерешенными многие важные вопросы. Среди них, в частности,
яржнтшпиальный вопрос о влиянии на фазовый переход анизотропии
растре л чтения частиц в пространстве. Дело в том, что аналитические
методы, развитые в , предсказывают существование фазового
перехода и для изотропного распределения частиц. Однако этот вывод
противоречит одному из результатов , согласно которому в системе
ч. ;. :-.ь.х диполей, расположенных в узлах простои куопческой
решетки, фазовый переход в ферромагнитное состояние не происходит.
Ржеее не рассматривался также вопрос о влиянии конечности размера
Шш§ амагкитнЫХ частиц на величину среднего магнитного поля,
мвйствуюгцего на какую-либо частицу со стороны остальных. Между тем
его решение необходимо, в частности, для построения количественной
-- кооперативных эффектов в ЙИСТамаЯ ПДОТНвуИаЙОваЯЯЫХ частиц.

Решению отмеченных выше вопросов как раз и посвящена данная работа. Рассмотрим ансамбль сферических однодоменных ферромагнитных

Радиуса г, случайно распределенных л немагнитной твердой
хгтрице. Распределение частиц в матрице будем моделировать,

что их центры с вероятностью р занимают узлы простой

тетрагональной решетки, имеющей периоды dx(>2r) (вдоль осей х и у ) и Лг{>2г\ (вдоль оси 2 - оси четвертого порядка). Будем также ^ре.гліо.тагать, что частицы одноосные, их легкие оси намагничивания z±: -=:;-;:кулярны плоскости ху, взаимодействие частиц , _-- ;-. ;,:гилыюе, а динамика магнитного момента т=чп|і| ОрРвавоА&не ..й частицы описывается стохастическим уравнением Ланлау-

...

m - -ута х (Н + h) - (Ху j m)m к m x H (m(0) = e,m). (1)

4вка ,4>0)- гиромагнитное отношение; Я - параметр диссипации; m=|m|; е. - единичный вектор вдоль оси г; Н - -rfVfcia - эффективное ,= С-.лЗУи. 1999. Х>2(13)

13 магнитное поле; W - магнитная энергия частицы; h - тепловое магнитное ноле, определяемое соотношениями:

к ш = о. +?) = шт%0Щ$0д, (2)

где Т - абсолютная температура; $ц# - симиол Кроненера; a,fi=x,y.z Щ т)- (ї-функция, а черта обозначает усреднение по реализациям h.

Согласно выбранной модели в приближении среднего ноля имеем

W -(Haj2m)ml - H(t)m, , (3)

где Н/, - поле магнитной анизотропии; H(t) ~ среднее магнитное поле, действующее на выделенную частицу со стороны остальных. В (3) мы учли, что в соответствии с симметрийцыми соображениями в рассматриваемом случае среднее поле имеет только 2 -компоненту. Поместив начало координат в узел решетки, занимаемый выделенной частицей, и пронумеровав остальные индексом і, выражение для H(tj Представим в виде

(7)Наконец, отождествив в (7) выражение в скобках с тг(і) , учтя соотношение ШПу^м - Р и определив функцию 1 v 2-лі- 4

г 2 2 г2 2 "i .™s,"a ["і + 1д + С," П§

(8) {g = d2/dl), для среднего магнитного поля получаем следующее выражение:

Шй^ЩЩтМ, (9)

гае л = pfd-fd? - концентрация частиц.

Характерной особенностью функции S(^), обусловливающей

особенности магнитных свойств трехмерного
ансамбля однодоменных частиц, анизотропно
распределенных в пространстве, является
непостоянство ее знака: S( £)>0 при ljи
S(g)<0 цри £>1 (см. рис. 1). Согласно (9) это
означает, что при f направления средних
магнитных моментов частиц и среднего
магнитного поля совпадают, а при £>1 имеют
противоположные направления.
^-Следовательно, ферромагнитное упорядочение
в системах однодомепных частиц имеет место
~лишь при В частности, а полном

соответствии с предсказанием Латтинжера и
Тиссы к случае |- 3, отвечающем простой
Рисунок і кубической решетке, ферромагнитное

О"чьние отсутствует. Отметим также, что ферромагнитный порядок отсутствует и в предельном случае двухмерного распределения частиц, когда f = », a S(*>)*> -1,129.

Согласно (2),{3) и (9) стохастическому уравнению (1), интерпретируемому по Стратоновичу , отвечает уравнение Фоккера-Планка

- = - - j |a(ain 29 + 2b(t) sin в) - cot antfjP + - J (10)

= 2/ZyHa, a = Ham/2kT, Щ = H(t)/Ha ), для плотности (P=P(0,t)) if--: .^ тіі"сгї : того, что вектор m в момеВІ врамвВИ 1 гмеет полярный уГОЛ 6. Полагая, что на границах интервала (0,;г) изменения угла 0 поток вероятности отсутствует, находим стационарное решение уравнения (10):

(И)

гзе C(a,2ab)

(12) Вісник СидДУ». iS°S, №2(13)

15 (b=b(fj)). Определим параметр порядка рассматриваемой системы

однодоменных частиц как /л - т,г(со)/т. Тогда, воспользовавшись соотношением

(13)

И выражениями (11) и (12), для /.і получаем уравнение2е°

С(а,ЗТ0 ц/Г)

Sinn

т; г

(И) гдеГ0 - onm 2 ZS (£)/3k.

Анализ уравнения (14) показывает, что в соответствии с изложенными выше физическими соображениями при ££J (когда Тд<0) оно имеет единственное решение /(=0 при любых температурах, т.е. дальний порядок в этом случае не возникает. Ненулевое же решение может существовать лишь при £<1. Как и в случае уравнения Ланжевена, p=co\&nh{3Tnp./T)-T/3T0fi, к которому сводится уравнение (14) при Н„-*0, оно существует, если при /t~ »0 тангенс угла наклона касательной к графику функции, определяемой правой частью (14), превышает 1. Легко проверить, что это условие выполняется при Т<Т^Г, где Tcr ~ температура фазового перехода парамагнетик-ферромагнетик, которая определяется как решение уравнения T=3T0f(a) ( f(a)= равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (например, Bi, Ag, Аu, Сu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т.д.

Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнего магнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойствен всем веществам. Однако наряду с диамагнетиками существуют и парамагнетики - вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля.

У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамагнетиков всегда обладают магнитным моментом. Однако вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свойствами не обладают. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным.

При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ориентация магнитных моментов вследствие теплового движения нарушается и парамагнетик размагничивается. К парамагнетикам относятся редкоземельные элементы, Pt, A1 и т.д. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно слабее парамагнитного и поэтому остается незаметным.

Помимо рассмотренных двух классов веществ - диа- и парамагнетиков, называемых слабомагнитными веществами, существуют еще сильномагнитные вещества - ферромагнетики - вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, т.е. они намагничены даже при отсутствии внешнего магнитного поля. К ферромагнетикам кроме основного их представителя - железа (от него и идет название «ферромагнетизм») - относятся, например, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения.

Ферромагнетики помимо способности сильно намагничиваться обладают еще и другими свойствами, существенно отличающими их от диа- и парамагнетиков. Если для слабомагнитных веществ зависимость от линейна, то для ферромагнетиков эта зависимость является довольно сложной. По мере возрастания H намагниченность J сначала растет быстро, затем медленнее и, наконец, достигается так называемое магнитное насыщение J на c , уже не зависящее от напряженности поля.

Рис. 2

Подобный характер зависимости J от Н можно объяснить тем, что по мере увеличения намагничивающего поля возрастает степень ориентации молекулярных магнитных моментов по полю. Однако этот процесс начнет замедляться, когда остается все меньше и меньше несориентированных моментов, и, наконец, когда все моменты будут ориентированы по полю, дальнейшее увеличение Н прекращается и наступает магнитное насыщение.

Рис. 3

Магнитная индукция В = μ 0 (Н + J) в слабых полях растет быстро с увеличением Н вследствие возрастания J , а в сильных полях, поскольку второе слагаемое постоянно (J= J Hac ), В возрастает с увеличением Н по линейному закону.

Существенная особенность ферромагнетиков - не только большие значения μ (например, для железа - 5000, для сплава супермаллоя - 800 000!), но и зависимость μ от Н (рис. 3). Вначале μ растет с увеличением Н , затем, достигая максимума, начинает уменьшаться, стремясь в случае сильных полей к 1 ( , поэтому при J= J Hac = const с ростом Н отношение , а μ → 1).

Рис.4

Характерная особенность ферромагнетиков состоит также в том, что для них зависимость J от Н (а следовательно, и В от Н ) определяется предысторией намагничивания ферромагнетика. Это явление получило название магнитного гистерезиса. Если намагнитить ферромагнетик до насыщения (рис. 4, точка 1), а затем начать уменьшать напряженность Н намагничивающего поля, то, как показывает опыт, уменьшение описывается кривой 1 - 2, лежащей выше кривой 1 - 0. При Н = 0 , J отличается от нуля, т. е. в ферромагнетике наблюдается остаточное намагничивание J oc .

С наличием остаточного намагничения связано существование постоянных магнитов. Намагничивание обращается в нуль под действием поля Н с, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничивание. Напряженность Н с называется коэрцитивной силой.

При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3 - 4), и при Н = - Н нас достигается насыщение (точка 4 ). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4 - 5-6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6- 1 ).

Таким образом, при действии на ферромагнетик переменного магнитного поля намагниченность J изменяется в соответствии с кривой 1-2-3-4- 5-6-1, которая называется петлей гистерезиса (от греч. «запаздывание»). Гистерезис приводит к тому, что намагничивание ферромагнетика не является однозначной функцией Н , т. е. одному и тому же значению Н соответствует несколько значений J.

Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью: для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства. При нагревании образца выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик. Переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, происходящий в точке Кюри, не сопровождается поглощением или выделением теплоты, т.е. в точке Кюри происходит фазовый переход II рода.

Наконец, процесс намагничивания ферромагнетиков сопровождается изменением его линейных размеров и объема. Это явление получило название магнитострикции . Величина и знак эффекта зависят от напряженности H намагничивающего поля, от природы ферромагнетика и ориентации кристаллографических осей по отношению к полю.

Похожая информация.

Определение температуры фазового перехода

ферримагнетик-парамагнетик

Цель работы : определить температуру Нееля для ферримагнетика (ферритового стержня)

Краткие теоретические сведения

Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под воздействием на него магнитного поля приобретать магнитный момент. Таким образом вещество создает магнитное поле , которое накладывается на внешнее поле . Оба поля в сумме дают результирующее поле:

Намагничивание магнетика характеризуют магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагничивания

где - магнитный момент отдельной молекулы.

Вектор намагничивания связан с напряженностью магнитного поля следующим соотношением:

где c - характерная для данного вещества величина, называемая магнитной восприимчивостью.

Вектор магнитной индукции связан с напряженностью магнитного поля:

Безразмерная величина называется относительной магнитной проницаемостью.

Все вещества по магнитным свойствам могут быть разделены на три класса:

1) парамагнетики m > 1 в которых намагниченность увеличивает суммарное поле

2) диамагнетики m < 1 в которых намагниченность вещества уменьшает суммарное поле

3) ферромагнетики m >> 1 намагниченность увеличивает суммарное магнитное поле.

Вещество является ферромагнетиком, если оно обладает самопроизвольным магнитным моментом даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Намагниченность насыщения ферромагнетика I S определяется как самопроизвольный магнитный момент единицы объема вещества.

Ферромагнетизм наблюдается у 3d -металлов (Fe , Ni , Co ) и 4f металлов ( Gd , Tb , Er , Dy , Ho , Tm ) , кроме того имеется огромное количество ферромагнитных сплавов. Интересно отметить, что ферромагнетизмом обладают только 9 перечисленных выше чистых металлов. Все они имеют недостроенные d - или f - оболочки.

Ферромагнитные свойства вещества объясняются тем, что между атомами этого вещества существует особое взаимодействие, не имеющее места в диа- и парамагнетиках, приводящее к тому, что ионные или атомные магнитные моменты соседних атомов ориентируются в одном направлении. Физическая природа этого особого взаимодействия, получившего название обменного, была установлена Я.И. Френкелем и В. Гейзенбергом в 30-х годах XX века на основе квантовой механики. Исследование взаимодействия двух атомов с точки зрения квантовой механики показывает, что энергия взаимодействия атомов i и j , имеющих спиновые моменты S i и S j , содержит член, обусловленный обменным взаимодействием:

где J – обменный интеграл, наличие которого связано с перекрытием электронных оболочек атомов i и j . Значение обменного интеграла сильно зависит от межатомного расстояния в кристалле (периода кристаллической решетки). У ферромагнетиков J >0, в случае, если J<0 вещество является антиферромагнетиком, а при J =0 – парамагнетиком. Обменная энергия не имеет классического аналога, хотя и имеет электростатическое происхождение. Она характеризует различие в энергии кулоновского взаимодействия системы в случаях, когда спины параллельны и когда они антипараллельны. Это является следствием принципа Паули. В квантово-механической системе изменение относительной ориентации двух спинов должно сопровождаться изменением пространственного распределения заряда в области перекрытия. При температуре Т =0 К спины всех атомов должны быть ориентированы одинаково, при повышении температуры упорядоченность в ориентации спинов уменьшается. Существует критическая температура, называема температурой (точкой) Кюри Т С , при которой исчезает корреляция в ориентациях отдельных спинов, - вещество из ферромагнетика становится парамагнетиком. Можно выделить три условия благоприятствующие возникновению ферромагнетизма

1) наличие у атомов вещества значительных собственных магнитных моментов (это возможно только в атомах с недостроенными d - или f - оболочками);

2) обменный интеграл для данного кристалла должен быть положительным;

3) плотность состояний в d - и f - зонах должна быть велика.

Магнитная восприимчивость ферромагнетика подчиняется закону Кюри-Вейсса :

, С – постоянная Кюри.

Ферромагнетизм тел, состоящих из большого числа атомов, обусловлен наличием макроскопических объемов вещества (доменов), в которых магнитные моменты атомов или ионов параллельны и одинаково направлены. Эти домены обладают самопроизвольной спонтанной намагниченностью даже при отсутствии внешнего намагничивающего поля.

Модель атомной магнитной структуры ферромагнетика с гранецентрированной кубической решеткой. Стрелками показаны магнитные моменты атомов.

В отсутствие внешнего магнитного поля в целом ненамагниченный ферромагнетик состоит из большего числа доменов, в каждом из которых все спины ориентированны одинаково, но направление их ориентации отличается от направлений спинов в соседних доменах. В среднем в образце ненамагниченного ферромагнетика одинаково представлены все направления, поэтому макроскопического магнитного поля не получается. Даже в одиночном кристалле имеются домены. Разделение вещества на домены происходит потому что оно требует меньше энергии, чем расположение с одинаково ориентированными спинами.

При помещении ферромагнетика во внешнее поле, магнитные моменты параллельные полю будут иметь энергию меньшую, чем моменты, антипараллельные полю или направленные как ни будь иначе. Это дает преимущество некоторым доменам, которые стремятся увеличится в объеме за счет других, если это возможно. Также может происходить поворот магнитных моментов в пределах одного домена. Таким образом слабое внешнее поле может вызвать большое изменение намагниченности.

При нагревании ферромагнетиков до точки Кюри тепловое движение разрушает области спонтанной намагниченности, вещество теряет особые магнитные свойства и ведет себя как обычный парамагнетик. Температуры Кюри для некоторых ферромагнитных металлов приведены в таблице.

Вещество
Fe	769
Ni	364
Co	1121
Gd	18

Кроме ферромагнетиков существует большая группа магнитоупорядоченных веществ, в которых спиновые магнитные моменты атомов с недостроенными оболочками ориентированы антипараллельно. Как показано выше, такая ситуация возникает в случае, когда обменный интеграл отрицателен. Так же, как и ферромагнетиках, магнитное упорядочение имеет место здесь в интервале температур от 0 К до некоторой критической Q N , называемой температурой Нееля. Если при антипараллельной ориентации локализованных магнитных моментов результирующая намагниченность кристалла равна нулю, то имеет место антиферромагнетизм . Если же при этом полной компенсации магнитного момента нет, то говорят об ферримагнетизме . Наиболее типичными ферримагнетиками являются ферриты – двойные окислы металлов. Характерным представителем ферритов является магнетит (Fe 3 O 4). Большинство ферримагнетиков относятся к ионным кристаллам и поэтому обладают низкой электропроводностью. В сочетании с хорошими магнитными свойствами (высокая магнитная проницаемость, большая намагниченность насыщения и др.) – это важное преимущество по сравнению с обычными ферромагнетиками. Именно это качество позволило использовать ферриты в технике сверхвысоких частот. Обычные ферромагнитные материалы, обладающие высокой проводимостью, здесь применяться не могут из-за очень высоких потерь на образование вихревых токов. Вместе с тем у многих ферритов точка Нееля очень низкая (100 – 300 °С) по сравнению с температурой Кюри для ферромагнитных металлов. В настоящей работе для определения температуры перехода ферримагнетик-парамагентик используется стержень, изготовленный именно из феррита.

Выполнение работы

Схема экспериментальной установки.

Идея эксперимента

Основной данной установки является трансформатор с незамкнутым сердечником, изготовленным из феррита. Первичная обмотка, выполненная из нихрома, служит также и для нагрева сердечника. Напряжение на первичную обмотку подается с ЛАТРа во избежание перегрева. Индукционный ток регистрируется с помощью вольтметра, включенного во вторичную обмотку. Для измерения температуры сердечника используется одинарная термопара, термо-э.д.с. которой пропорциональна разности температур между окружающим воздухом и спаем термопары. Вычислить температуру сердечника можно по следующей формуле: T =T 0 +23.5×e, где e - термо-э.д.с. (в милливольтах), Т 0 – температура воздуха в лаборатории.

Идея эксперимента состоит в следующем: ЭДС индукции во вторичной обмотке , где I i - ток в первичной обмотке, L - индуктивность первичной обмотки; известно, что где - индуктивность вторичной обмотки без сердечника, а m - магнитная проницаемость сердечника.

Магнитная проницаемость с ростом температуры уменьшается, и при достижении точки Нееля резко падает. Следовательно и ЭДС индукции, и индукционный ток резко падают при достижении .

Проведение эксперимента

1. Соберите установку согласно схеме, приведенной на рис. 2.

2. Установите ручки регуляторов ЛАТРов (их две) в крайнее левое положение.

3. Включите в сеть ЛАТР и питание милливольтметра.

4. Установите напряжение на выходе первого ЛАТРа - 220V, на выходе второго - не более 30 V .

5. Снимите показания с милливольтметра через каждые 1-2 деления одновременно снимая показания миллиамперметра.

6. После того, как будет достигнута точка Нееля, выключите ЛАТР, и дайте остыть сердечнику. Затем повторите измерения минимум 3 раза.

7. По данным таблицы постройте графики. Определите по графикам температуру, при которой значение ЭДС индукции во вторичной обмотке начинает резко уменьшаться (см. рис.), это значение температуры будем принимать равным температуре Нееля в данном опыте. Определите таким образом для каждой серии измерений. Вычислите среднее значение .

8. Определите случайную погрешность измерений температуры фазового перехода.

Образец таблицы для отчета.

№	1 серия				2 серия
	ТЭДС,мВ				ТЭДС,мВ
1
2
…

Контрольные вопросы

1. Что такое магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость?