Какое одз у корня. Область допустимых значений - ОДЗ

Научный руководитель:

1. Введение 3

2. Исторический очерк 4

3. «Место» ОДЗ при решении уравнений и неравенств 5-6

4. Особенности и опасность ОДЗ 7

5. ОДЗ – есть решение 8-9

6. Нахождение ОДЗ – лишняя работа. Равносильность переходов 10-14

7. ОДЗ в ЕГЭ 15-16

8. Заключение 17

9. Литература 18

1. Введение

Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.

Цель: уметь анализировать ситуацию и делать логически корректные выводы в примерах, где нужно учесть ОДЗ.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал;

2. Прорешать множество уравнений, неравенств: а) дробно-рациональных; б) иррациональных; в) логарифмических; г) содержащих обратные тригонометрические функции;

3. Применить изученные материалы в ситуации, которая отличается от стандартной;

4. Создать работу по теме «Область допустимых значений: теория и практика»

Работа над проектом: работу над проектом я начала с повторения известных мне функций. Область определения многих из них имеет ограничения.

ОДЗ встречается:

1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств

2. При решении иррациональных уравнений и неравенств

3. При решении логарифмических уравнений и неравенств

4. При решении уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ЕГЭ, учебников, справочников), я систематизировала решение примеров по следующим принципам:

· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)

· можно решить пример, не учитывая ОДЗ

· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению.

Методы, использованные в работе: 1) анализ; 2) статистический анализ; 3) дедукция; 4) классификация; 5) прогнозирование.

Изучила анализ результатов ЕГЭ за прошедшие годы. Много ошибок было допущено в примерах, в которых нужно учитывать ОДЗ. Это ещё раз подчёркивает актуальность моей темы.

2. Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция - это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797-1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x , содержащимся между 0 и какой-либо величиной x ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

Областью определения (допустимых значений) функции у называется совокупность значений независимой переменной х, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (аргумента).

3. «Место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств

1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств знаменатель не должен равняться нулю.

2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width="107" height="27 src="> является система:

Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

3.1. Схема решения логарифмического уравнения

Но проверить достаточно только одно условие ОДЗ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометрические уравнения вида равносильны системе (вместо неравенства в систему можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> равносильны уравнению

4. Особенности и опасность области допустимых значений

На уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и все это без какого бы то ни бы­ло ущерба для решения примера. С другой стороны, часто случается такое, что решив пример, школьники забывают учесть ОДЗ, записывают её как конечный ответ, учитывают лишь некоторые условия. Обстоятельство это хорошо из­вестно, но «война» продолжается каждый год и, похоже, будет идти еще долго.

Рассмотрим, к примеру, такое неравенство:

Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при реше­нии этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия

В самом деле, для получения верного ответа необходимо учесть и неравенство , и .

А вот, например, решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя - достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух.

Напомню, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду . ОДЗ - это просто область определения функции в левой части. То, что за этой об­ластью надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым - из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему..gif" width="20" height="21 src="> имеет областью опреде­ления множество положительных чисел (это, конечно, договоренность - рассматривать функцию при, , но разум­ная), а тогда -1 не является корнем.

5. Область допустимых значений – есть решение

И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.

1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исход­ный пример не имеет решений.

1) 2) 3)

2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

1) , х=3

2) Здесь в ОДЗ находится только число 1, и после подстановки видно, что оно не является корнем.

3) В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3, и оба подходят.

4) > В ОДЗ находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1.

Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анали­зом самого выражения.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) Из ОДЗ следует, что, откуда имеем ..gif" width="143" height="24"> Из ОДЗ имеем: . Но тогда и . Так как, то решений нет.

Из ОДЗ имеем:https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, а значит, . Решая по­следнее неравенство, получим х<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ОДЗ: . Так как, то

С другой стороны,https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ОДЗ:. Рассмотрим уравнение на промежутке [-1; 0).

На нем выполняются такие неравенства https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и решений нет. При функции и https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ОДЗ: х>2..gif" width="233" height="45 src="> Найдём ОДЗ:

Целочисленное решение возможно лишь при х=3 и х=5. Проверкой находим, что корень х=3 не подходит, а значит ответ: х=5.

6. Нахождение области допустимых значений – лишняя работа. Равносильность переходов.

Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахож­дения ОДЗ.

1.

Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выраже­ния большее должно получатся отрицательное число.

2. .

Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицатель­ной.

Приведу также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно.

И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем са­мым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому я выберу только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносиль­ные преобразования при переходе от одного уравнения (нера­венства, системы) к другому.

1.. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х, при которых х2=1, мы не можем получить х=0.

2. . ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положи­тельному числу.

3. . ОДЗ не нужна по тем же сооб­ражениям, что и в предыдущем примере.

4.

ОДЗ не нуж­на, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функ­ции, а потому не может быть отрицательным.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Для решения до­статочно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.

8. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

9. ОДЗ не нужна, так как достаточно, чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего.

10. .gif" width="357" height="51"> ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

Стоит, однако, заметить, что при решении способом равно­сильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функ­ций).

Вот несколько примеров.

1. . ОД3 , откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, рав­носильное данному, в таком виде https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width="112" height="27"> ОДЗ: . Но тогда , и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0.

3. . Из ОДЗ следует, что , а потому случай, когда https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Переход в общем виде выглядит так:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Возможны два случая: 0>1.

Значит, исходное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств:

Первая система не имеет решений, а из второй получаем: x<-1 – решение неравенства.

Понимание условий равносильности требует знания некоторых тонкостей. Например, почему равносильны такие уравнения:

Или

И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совер­шаются какие-то преобразования самого уравнения, но не исполь­зуется при преобразованиях только в одной из частей. Сокращение, использование различных формул в одной из частей не попадают под действие теорем о равносильности. Некоторые примеры такого вида я уже приводила. Рассмотрим еще примеры.

1. Такое решение естественно. В ле­вой части по свойству логарифмической функции перейдём к выражению ..gif" width="111" height="48">

Решив эту систему, мы получим результат (-2 и 2), который, однако, не является ответом, так как число -2 не входит в ОДЗ. Так что же, нам необходимо установить ОДЗ? Нет, конечно. Но раз мы в решении использовали некое свойство логарифмической функции, то мы обязаны обеспечить те условия, при кото­рых оно выполняется. Таким условием является положительность выражений под знаком логарифма..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> таким способом подстановке подлежат числа . Кому охота делать такие нудные выкладки?.gif" width="12" height="23 src="> добавить условие , и сразу видно, что этому условию отвечает только число https://pandia.ru/text/78/083/images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) продемонстрировали 52% сдающих. Одной из причин таких низких показателей является тот факт, что многие выпускники не произвели отбор корней, полученных из уравнения после его возведения в квадрат.

3) Рассмотрим, например, решение одной из задач С1: "Найдите все значения x, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции ". Задание сводится к решению дробного неравенства, содержащего логарифмическое выражение. Приемы решения таких неравенств нам известны. Самым распространенным из них является метод интервалов. Однако при его применении сдающие допускают разнообразные ошибки. Рассмотрим наиболее распространенные ошибки на примере неравенства:

X < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Заключение

Подводя некоторый итог, можно сказать, что уни­версального метода решения уравнения и неравенств нет. Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, возникает дилемма: а какой способ решения выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Я думаю, что полученный мною опыт поможет мне решить эту дилемму. Я перестану делать ошибки, научившись правильно использовать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.

9. Литература

И др. «Алгебра и начала анализа 10-11» задачник и учебник, М.: «Просвещение», 2002. «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966. Газета «Математика» №46,Газета «Математика» №Газета «Математика» № «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982. и др. «Самое полное издание вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009/ФИПИ» - М.: «Астрель», 2009. и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009. и др. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: «Просвещение», 2007. , «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976. «25000 уроков математики». М.: «Просвещение», 1993. «Готовимся к олимпиадам по математике». М.: «Экзамен», 2006. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. Материалы сайтов www. *****, www. *****.

В уравнениях и неравенствах вида , , , , пересечение областей определения функций и называют областью допустимых значений (ОДЗ) переменной, а также ОДЗ уравнения или неравенства соответственно.

При решении уравнений (неравенств) с одной переменной, когда встает вопрос – находить ли ОДЗ, часто можно услышать категоричное «да» и не менее категоричное «нет». «Сначала нужно найти ОДЗ, а затем приступать к решению уравнения (неравенства)», - утверждают одни. «Незачем тратить время на ОДЗ, по ходу решения будем переходить к равносильному уравнению (неравенству) или к равносильной системе уравнений и неравенств или только неравенств. В конце концов, если это уравнение, то можно сделать проверку», - утверждают другие.

Так находить ли ОДЗ?

Конечно, однозначного ответа на этот вопрос не существует. Нахождение ОДЗ уравнения или неравенства не является обязательным элементом решения. В каждом конкретном примере этот вопрос решается индивидуально.

В одних случаях нахождение ОДЗ упрощает решение уравнения или неравенства (примеры 1-5), а в ряде случаев даже является необходимым этапом решения (примеры 1, 2, 4).

В других случаях (примеры 6, 7) от предварительного нахождения ОДЗ стоит отказаться, так как оно делает решение более громоздким.

Пример 1. Решить уравнение .

Возведение обеих частей уравнения в квадрат не упростит, а усложнит его и не позволит избавиться от радикалов. Нужно искать другой способ решения.

Найдем ОДЗ уравнения:

Таким образом, ОДЗ содержит только одно значение , а, следовательно, корнем исходного уравнения может служить только число 4. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – единственный корень уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Наличие в уравнении радикалов различных степеней – второй, третьей и шестой – делает решение сложным. Поэтому, прежде всего, найдем ОДЗ уравнения:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что является корнем исходного уравнения.

Пример 3. Решить неравенство .

Конечно, можно решать это неравенство, рассматривая случаи: , , но нахождение ОДЗ сразу же упрощает это решение.

ОДЗ:

Подставляя это единственное значение в исходное неравенство, получим ложное числовое неравенство . Следовательно, исходное неравенство не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 4. Решить уравнение .

Запишем уравнение в виде .

Уравнение вида равносильно смешанной системе т.е.

Конечно, здесь нахождение ОДЗ излишне.

В нашем случае получим равносильную систему т.е.

Уравнение равносильно совокупности Уравнение рациональных корней не имеет, но оно может иметь иррациональные корни, нахождение которых вызовет у учащихся затруднения. Поэтому поищем другой способ решения.

Вернемся к первоначальному уравнению, запишем его в виде .

Найдем ОДЗ: .

При правая часть уравнения , а левая часть . Следовательно, исходное уравнение в области допустимых значений переменной х равносильно системе уравнений решением которой является только одно значение .

Таким образом, в данном примере именно нахождение ОДЗ позволило решить исходное уравнение.

Пример 5. Решить уравнение .

Так как , а , то при решении исходного уравнения нужно будет избавляться от модулей (раскрывать их).

Поэтому, сначала имеет смысл найти ОДЗ уравнения:

Итак, ОДЗ:

Упростим исходное уравнение, воспользовавшись свойствами логарифмов.

Так как в области допустимых значений переменной х и , то , а , тогда получим равносильное уравнение:

Учитывая, что в ОДЗ , перейдем к равносильному уравнению и решим его, разделив обе части на 3.

Ответ: − 4,75.

Замечание.

Если не находить ОДЗ, то при решении уравнения необходимо было бы рассмотреть четыре случая: , , , . На каждом из этих промежутков знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля, нужно было бы раскрыть модули и решить полученное уравнение. Кроме того еще и выполнить проверку. Мы видим, что нахождение ОДЗ исходного уравнения значительно упрощает его решение.

Пример 7. Решить неравенство .

Так как переменная х входит и в основание логарифма, то при решении этого неравенства необходимо будет рассмотреть два случая: и . Поэтому отдельно находить ОДЗ нецелесообразно.

Итак, представим исходное неравенство в виде и оно будет равносильно совокупности двух систем:

Ответ: .

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1: а, если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

Определение 1

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Определение 2

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Определение 3

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Пример 1

Для примера рассмотрим выражение вида 1 x - y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид (0 , 1 , 2) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что (1 , 1 , 2) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Определение 4

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Пример 2

Если имеем выражение вида 5 z - 3 , тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 3) ∪ (3 , + ∞) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.

Если имеется выражения вида z x - y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.

Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f (x) .

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

• если имеется деление на ноль;
• извлечение корня из отрицательного числа;
• наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
• вычисление логарифма отрицательного числа;
• область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
• нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ - 1 ; 1 ] .

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Пример 3

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Пример 4

Найти ОДЗ выражения 1 3 - x + 1 0 .

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: ∅ .

Пример 5

Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 - 5 · x .

Решение

Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.

Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

Пример 6

Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Решение

По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 - 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Ответ: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

Тождественные преобразования:

• могут не влиять на ОДЗ;
• могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
• могут сузить ОДЗ.

Рассмотрим на примере.

Пример 7

Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

Пример 8

Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Пример 9

Если имеется x - 1 · x - 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После преобразования x - 1 · x - 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Пример 10

Рассмотрим пример выражения x - 1 · x - 3 , когда х = - 1 . При подстановке получим, что - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x - 1 · x - 3 , тогда при вычислении получим, что 2 - 1 · 2 - 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

Пример 11

Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

Пример 12

Если имеется выражение вида ln x + ln (x + 3) , его заменяют на ln (x · (x + 3)) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Поэтому для определения ОДЗ ln (x · (x + 3)) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть (0 , + ∞) множества.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить тождественные преобразования выражений . Но бывает, что какое-то преобразование в одних случаях допустимо, а в других – нет. Существенную помощь в плане контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОДЗ. Остановимся на этом подробнее.

Суть подхода состоит в следующем: сравниваются ОДЗ переменных для исходного выражения с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения тождественных преобразований, и на основании результатов сравнения делаются соответствующие выводы.

Вообще, тождественные преобразования могут

• не влиять на ОДЗ;
• приводить к расширению ОДЗ;
• приводить к сужению ОДЗ.

Давайте поясним каждый случай примером.

Рассмотрим выражение x 2 +x+3·x , ОДЗ переменной x для этого выражения есть множество R . Теперь проделаем с этим выражением следующее тождественное преобразование – приведем подобные слагаемые , в результате оно примет вид x 2 +4·x . Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R . Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.

Переходим дальше. Возьмем выражение x+3/x−3/x . В этом случае ОДЗ определяется условием x≠0 , которое отвечает множеству (−∞, 0)∪(0, +∞) . Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых приходим к выражению x , для которого ОДЗ есть R . Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).

Осталось рассмотреть пример сужения области допустимых значений после проведения преобразований. Возьмем выражение . ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−1)·(x−3)≥0 , для его решения подходит, например, в результате имеем (−∞, 1]∪∪; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М. : Просвещение, 2010.- 368 с. : ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.

ОДЗ в логарифмических уравнениях.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется расширение ОДЗ.

И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем... Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так.

Перед решением любого логарифмического уравнения записываем ОДЗ. После этого с уравнением можно делать всё, что угодно. В смысле - решать...) Получив ответ, надо просто выяснить, входят ли корни в ОДЗ. Те что входят - это полноценные, правильные решения. Те что не входят - безжалостно выкидываем. Эти корни образовались в процессе решения самостоятельно, они лишние. Их так иногда и называют: посторонние корни.

Как записывать ОДЗ?

Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем , и именно исходный! Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это деление на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени из выражения с иксом и логарифмы с иксами.

Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся. Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё.

На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Осматриваем пример, выясняем что деления - нет, корней - нет, но в уравнении имеются выражения с иксом внутри логарифма. Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть всегда больше нуля. Вот так прямо и пишем:

Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.

Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?

Что делать с ОДЗ?

Итак, ОДЗ записали. Половина дела - сделана). Что дальше с этой записью делать? Вот тут у нас возникают варианты.

Вариант первый, универсальный:

Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ.

Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ:

Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх!

Всё, соломки подстелили. Теперь можно браться и за сам пример. Смело убирать логарифмы и всякие другие преобразования делать - исходные ограничения мы записали и сохранили.

Решив само уравнение и получив ответы х 1 = 3; х 2 = -1, легко увидеть, что в качестве ответа годится только х 1 = 3. Корень х 2 = -1 меньше, чем корень из трёх, он - посторонний. Его мы просто отбрасываем. Вот и всё.

Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?)

А если с решением систем неравенств, того... не очень? Как быть?! Как быть, как быть... Научиться! Но если уж совсем прижало... Ладно, только для вас! Способ-лайт.)

Вариант второй, только для нехитрых уравнений.

Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так:

А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.

Для х 1 = 3:

Просто считаем, получаем:

Всё отлично. Оба неравенства - верные. Значит, тройка проходит по ОДЗ и идёт прямиком в ответ.

Подставляем второй корень х 2 = -1:

Считаем и получаем:

Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.

Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему?

Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал. Т.е. бесконечный набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения... Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да...

Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений.

Ну вот, с ОДЗ - главной ловушкой в логарифмических уравнениях - мы разобрались. Самые внимательные могут спросить, почему в предыдущем уроке мы прекрасно обошлись без ОДЗ? Да просто там ОДЗ никак не сказалось на ответе! Можете проверить самостоятельно. Такое бывает. Решали, про ОДЗ - не вспомнили (или вообще не знали...), а получили-таки правильный ответ. Значит - повезло. Я же говорю - лотерея, если без ОДЗ решать...)

А теперь - внимание!

Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове:

Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части решаются независимо друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения.

Ключевое слово здесь - "независимо" . Решая ОДЗ, можно не вспоминать про уравнение. И наоборот. Главное - в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить, да верный ответ записать.)

Подведём итоги в практических советах.

Практические советы:

1. Прежде всего - записываем условия ОДЗ по исходному примеру.

2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно - с условий ОДЗ. Выбираем то, что решается полегче.

3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.

4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.

Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз! Я не шучу.

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:

log 2 (х 2 +5х-6) = log 2 (4х)

ln(х 3 -7х+2sinx+3) = ln(х 3 -7х+2sinx-4)

Ответы (в беспорядке): 2; решений нет; 1; -5.

Ну, как оно? Замечу, что страшный внешний вид некоторых примеров - обманчив. Решаются они легко.) Если у вас всё получилось быстро и правильно - можно заняться заданиями посложнее.

Если не получилось, или решалось долго - посетите раздел 555. Там эти примеры разобраны детально. Даны приёмы правильного и быстрого решения. Иногда в логарифмических уравнениях половину, а то и больше, вообще решать не надо. Ответ всё равно правильный будет. Да-да! В разделе 555 на этом особый акцент сделан.

Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да...)

А уж как сводить сложные уравнения к простейшим, как использовать на всю катушку свойства логарифмов и замену переменной, как не попасть в засаду под названием "Сужение ОДЗ" - всё это будет в следующих уроках.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.