Hem / Relationer/ Vad innebär det att hitta det största värdet på en funktion. De minsta och största värdena för en funktion på ett segment

Vad innebär det att hitta det största värdet på en funktion. De minsta och största värdena för en funktion på ett segment

Låt funktionen $z=f(x,y)$ vara definierad och kontinuerlig i någon avgränsad sluten domän $D$. Låt den givna funktionen ha finita partiella derivator av första ordningen i denna region (med möjliga undantag för ett ändligt antal punkter). För att hitta de största och minsta värdena av en funktion av två variabler i en given sluten region krävs tre steg av en enkel algoritm.

Algoritm för att hitta de största och minsta värdena för funktionen $z=f(x,y)$ i den stängda domänen $D$.

Hitta de kritiska punkterna för funktionen $z=f(x,y)$ som hör till regionen $D$. Beräkna funktionsvärden vid kritiska punkter.
Undersök beteendet för funktionen $z=f(x,y)$ på gränsen för regionen $D$ genom att hitta punkterna för möjliga max- och minivärden. Beräkna funktionsvärdena vid de erhållna punkterna.
Från funktionsvärdena som erhållits i de två föregående styckena, välj den största och minsta.

Vad är kritiska punkter? visa gömma

Under kritiska punkter innebär punkter där båda första ordningens partiella derivator är lika med noll (dvs $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ och $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) eller åtminstone en partiell derivata existerar inte.

Ofta kallas de punkter där första ordningens partiella derivator är lika med noll stationära punkter. Stationära punkter är således en delmängd av kritiska punkter.

Exempel #1

Hitta de högsta och lägsta värdena för funktionen $z=x^2+2xy-y^2-4x$ i det stängda området avgränsat av linjerna $x=3$, $y=0$ och $y=x +1$.

Vi kommer att följa ovanstående, men först kommer vi att ta itu med ritningen av ett givet område, som vi kommer att beteckna med bokstaven $D$. Vi får ekvationerna för tre räta linjer, som begränsar detta område. Den räta linjen $x=3$ går genom punkten $(3;0)$ parallellt med y-axeln (axel Oy). Den räta linjen $y=0$ är ekvationen för abskissaxeln (Ox-axeln). Tja, för att konstruera en rät linje $y=x+1$ låt oss hitta två punkter genom vilka vi drar denna räta linje. Du kan naturligtvis ersätta ett par godtyckliga värden istället för $x$. Om vi till exempel ersätter $x=10$ får vi: $y=x+1=10+1=11$. Vi har hittat punkten $(10;11)$ liggande på linjen $y=x+1$. Det är dock bättre att hitta de punkter där linjen $y=x+1$ skär linjerna $x=3$ och $y=0$. Varför är det bättre? Eftersom vi kommer att lägga ner ett par fåglar i en smäll: vi får två punkter för att konstruera den räta linjen $y=x+1$ och samtidigt ta reda på vid vilka punkter denna räta linje skär andra linjer som gränsar den givna område. Linjen $y=x+1$ skär linjen $x=3$ i punkten $(3;4)$ och linjen $y=0$ - i punkten $(-1;0)$. För att inte belamra lösningens gång med hjälpförklaringar kommer jag att lägga upp frågan om att få fram dessa två punkter i en not.

Hur erhölls poängen $(3;4)$ och $(-1;0)$? visa gömma

Låt oss börja från skärningspunkten mellan linjerna $y=x+1$ och $x=3$. Koordinaterna för den önskade punkten tillhör både den första och andra linjen, så för att hitta okända koordinater måste du lösa ekvationssystemet:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Lösningen för ett sådant system är trivial: att ersätta $x=3$ i den första ekvationen får vi: $y=3+1=4$. Punkten $(3;4)$ är den önskade skärningspunkten för linjerna $y=x+1$ och $x=3$.

Låt oss nu hitta skärningspunkten för linjerna $y=x+1$ och $y=0$. Återigen komponerar vi och löser ekvationssystemet:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Genom att ersätta $y=0$ i den första ekvationen får vi: $0=x+1$, $x=-1$. Punkten $(-1;0)$ är den önskade skärningspunkten för linjerna $y=x+1$ och $y=0$ (abskissaxel).

Allt är klart för att bygga en ritning som kommer att se ut så här:

Frågan om lappen verkar uppenbar, eftersom allt kan ses från figuren. Det är dock värt att komma ihåg att ritningen inte kan tjäna som bevis. Figuren är bara en illustration för tydlighetens skull.

Vårt område sattes med hjälp av linjeekvationerna som begränsar det. Det är uppenbart att dessa linjer definierar en triangel, eller hur? Eller inte helt självklart? Eller så kanske vi får ett annat område, avgränsat av samma linjer:

Naturligtvis säger villkoret att området är avstängt, så bilden som visas är fel. Men för att undvika sådana oklarheter är det bättre att definiera regioner med ojämlikheter. Vi är intresserade av den del av planet som ligger under linjen $y=x+1$? Okej, alltså $y ≤ x+1$. Vårt område ska ligga ovanför linjen $y=0$? Bra, så $y ≥ 0$. Förresten, de två sista ojämlikheterna kombineras enkelt till en: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Dessa ojämlikheter definierar domänen $D$, och definierar den unikt, utan några tvetydigheter. Men hur hjälper detta oss i frågan i början av fotnoten? Det kommer också att hjälpa :) Vi måste kontrollera om punkten $M_1(1;1)$ tillhör regionen $D$. Låt oss ersätta $x=1$ och $y=1$ i systemet av ojämlikheter som definierar denna region. Om båda ojämlikheterna är uppfyllda, ligger poängen inom regionen. Om åtminstone en av ojämlikheterna inte är uppfyllda, så tillhör inte punkten regionen. Så:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Båda ojämlikheterna är sanna. Punkten $M_1(1;1)$ tillhör regionen $D$.

Nu är det turen att undersöka funktionens beteende på domänens gräns, d.v.s. gå till. Låt oss börja med den raka linjen $y=0$.

Den räta linjen $y=0$ (abskissaxeln) begränsar området $D$ under villkoret $-1 ≤ x ≤ 3$. Ersätt $y=0$ i given funktion$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Den resulterande ersättningsfunktionen för en variabel $x$ kommer att betecknas som $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nu för funktionen $f_1(x)$ måste vi hitta de största och minsta värdena på intervallet $-1 ≤ x ≤ 3$. Hitta derivatan av denna funktion och likställ den med noll:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Värdet $x=2$ tillhör segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, så vi lägger också till $M_2(2;0)$ till poänglistan. Dessutom beräknar vi värdena för funktionen $z$ i ändarna av segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, dvs. vid punkterna $M_3(-1;0)$ och $M_4(3;0)$. Förresten, om punkten $M_2$ inte tillhörde det aktuella segmentet, skulle det naturligtvis inte finnas något behov av att beräkna värdet på funktionen $z$ i den.

Så låt oss beräkna värdena för funktionen $z$ vid punkterna $M_2$, $M_3$, $M_4$. Du kan naturligtvis ersätta koordinaterna för dessa punkter i det ursprungliga uttrycket $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Till exempel, för punkten $M_2$ får vi:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Beräkningarna kan dock förenklas en aning. För att göra detta är det värt att komma ihåg att på segmentet $M_3M_4$ har vi $z(x,y)=f_1(x)$. Jag ska beskriva det i detalj:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(justerad)

Naturligtvis finns det vanligtvis inget behov av sådana detaljerade poster, och i framtiden kommer vi att börja skriva ner alla beräkningar på ett kortare sätt:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Låt oss nu vända oss till den raka linjen $x=3$. Denna linje avgränsar domänen $D$ under villkoret $0 ≤ y ≤ 4$. Ersätt $x=3$ i den givna funktionen $z$. Som ett resultat av en sådan substitution får vi funktionen $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

För funktionen $f_2(y)$ måste du hitta de största och minsta värdena på intervallet $0 ≤ y ≤ 4$. Hitta derivatan av denna funktion och likställ den med noll:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Värdet $y=3$ tillhör segmentet $0 ≤ y ≤ 4$, så vi lägger till $M_5(3;3)$ till punkterna som hittats tidigare. Dessutom är det nödvändigt att beräkna värdet av funktionen $z$ vid punkterna i ändarna av segmentet $0 ≤ y ≤ 4$, dvs. vid punkterna $M_4(3;0)$ och $M_6(3;4)$. Vid punkten $M_4(3;0)$ har vi redan beräknat värdet på $z$. Låt oss beräkna värdet av funktionen $z$ vid punkterna $M_5$ och $M_6$. Låt mig påminna dig om att på segmentet $M_4M_6$ har vi $z(x,y)=f_2(y)$, därför:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(justerad)

Och, slutligen, betrakta den sista gränsen för $D$, dvs. rad $y=x+1$. Denna linje avgränsar regionen $D$ under villkoret $-1 ≤ x ≤ 3$. Genom att ersätta $y=x+1$ i funktionen $z$ kommer vi att ha:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Återigen har vi en funktion av en variabel $x$. Och återigen måste du hitta de största och minsta värdena för denna funktion på segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$. Hitta derivatan av funktionen $f_(3)(x)$ och likställ den med noll:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Värdet $x=1$ tillhör intervallet $-1 ≤ x ≤ 3$. Om $x=1$, då $y=x+1=2$. Låt oss lägga till $M_7(1;2)$ till listan över punkter och ta reda på vad värdet av funktionen $z$ är vid denna tidpunkt. Punkterna i ändarna av segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, dvs. poäng $M_3(-1;0)$ och $M_6(3;4)$ övervägdes tidigare, vi har redan hittat värdet på funktionen i dem.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Det andra steget i lösningen är avslutat. Vi har sju värden:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Låt oss vända oss till. Genom att välja de största och minsta värdena från de siffror som erhölls i tredje stycket kommer vi att ha:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6,$$

Problemet är löst, det återstår bara att skriva ner svaret.

Svar: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Exempel #2

Hitta de högsta och lägsta värdena för funktionen $z=x^2+y^2-12x+16y$ i området $x^2+y^2 ≤ 25$.

Låt oss bygga en ritning först. Ekvationen $x^2+y^2=25$ (detta är gränslinjen för det givna området) definierar en cirkel med ett centrum i origo (dvs i punkten $(0;0)$) och en radie på 5. Olikheten $x^2 +y^2 ≤ 25$ uppfyller alla punkter inuti och på den nämnda cirkeln.

Vi kommer att agera på. Låt oss hitta partiella derivator och ta reda på de kritiska punkterna.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Det finns inga punkter där de hittade partiella derivaten inte existerar. Låt oss ta reda på vid vilka punkter båda partiella derivatorna samtidigt är lika med noll, dvs. hitta stationära punkter.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(justerad) \right.$$

Vi fick en stationär poäng $(6;-8)$. Den hittade punkten tillhör dock inte regionen $D$. Detta är lätt att visa utan att ens behöva rita. Låt oss kontrollera om olikheten $x^2+y^2 ≤ 25$, som definierar vår domän $D$, håller. Om $x=6$, $y=-8$, då $x^2+y^2=36+64=100$, dvs. ojämlikheten $x^2+y^2 ≤ 25$ är inte uppfylld. Slutsats: punkten $(6;-8)$ tillhör inte regionen $D$.

Det finns alltså inga kritiska punkter inuti $D$. Låt oss gå vidare till. Vi behöver undersöka funktionens beteende på gränsen för det givna området, d.v.s. på cirkeln $x^2+y^2=25$. Du kan naturligtvis uttrycka $y$ i termer av $x$ och sedan ersätta det resulterande uttrycket med vår funktion $z$. Från cirkelekvationen får vi: $y=\sqrt(25-x^2)$ eller $y=-\sqrt(25-x^2)$. Genom att till exempel ersätta $y=\sqrt(25-x^2)$ i den givna funktionen kommer vi att ha:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Den ytterligare lösningen kommer att vara helt identisk med studien av beteendet hos funktionen på gränsen av regionen i föregående exempel nr 1. Det förefaller mig dock mer rimligt i denna situation att tillämpa Lagrangemetoden. Vi är bara intresserade av den första delen av denna metod. Efter att ha tillämpat den första delen av Lagrange-metoden kommer vi att få poäng vid vilka och undersöka funktionen $z$ för minimi- och maximivärden.

Vi komponerar Lagrange-funktionen:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Vi hittar de partiella derivatorna av Lagrange-funktionen och sammanställer motsvarande ekvationssystem:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (justerad) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aligned) \ höger. \;\; \vänster \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( justerad)\höger.$$

För att lösa detta system, låt oss omedelbart indikera att $\lambda\neq -1$. Varför $\lambda\neq -1$? Låt oss försöka ersätta $\lambda=-1$ i den första ekvationen:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Den resulterande motsägelsen $0=6$ säger att värdet $\lambda=-1$ är ogiltigt. Utdata: $\lambda\neq -1$. Låt oss uttrycka $x$ och $y$ i termer av $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(justerad)

Jag tror att det blir uppenbart här varför vi specifikt stipulerade $\lambda\neq -1$-villkoret. Detta gjordes för att passa in uttrycket $1+\lambda$ i nämnarna utan störningar. Det vill säga att vara säker på att nämnaren är $1+\lambda\neq 0$.

Låt oss ersätta de erhållna uttrycken för $x$ och $y$ i systemets tredje ekvation, dvs. i $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Det följer av den resulterande jämlikheten att $1+\lambda=2$ eller $1+\lambda=-2$. Därför har vi två värden för parametern $\lambda$, nämligen: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Följaktligen får vi två par av värden $x$ och $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(justerad)

Så vi har två möjligheter villkorligt extremum, dvs. $M_1(3;-4)$ och $M_2(-3;4)$. Hitta värdena för funktionen $z$ vid punkterna $M_1$ och $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(justerad)

Vi bör välja de största och minsta värdena från de som vi fick i det första och andra steget. Men i det här fallet är valet litet :) Vi har:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Svar: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

Standardalgoritmen för att lösa sådana uppgifter involverar, efter att ha hittat funktionens nollor, bestämning av derivatans tecken på intervallen. Sedan beräkningen av värdena vid de hittade punkterna för maximum (eller minimum) och på gränsen för intervallet, beroende på vilken fråga som finns i tillståndet.

Jag råder dig att göra saker lite annorlunda. Varför? Skrev om det.

Jag föreslår att lösa sådana uppgifter enligt följande:

1. Hitta derivatan.
2. Hitta nollorna för derivatan.
3. Bestäm vilka av dem som tillhör det givna intervallet.
4. Vi beräknar värdena för funktionen på gränserna för intervallet och punkterna för punkt 3.
5. Vi drar en slutsats (vi svarar på frågan).

Under lösningen av de presenterade exemplen övervägdes inte lösningen i detalj. Kvadratisk ekvation, du borde kunna göra detta. De borde också veta.

Tänk på exempel:

77422. Hitta det största värdet på funktionen y=x 3 –3x+4 på segmentet [–2;0].

Låt oss hitta nollorna för derivatan:

Punkten x = –1 tillhör det intervall som anges i villkoret.

Vi beräknar funktionsvärdena vid punkterna –2, –1 och 0:

Funktionens största värde är 6.

Svar: 6

77425. Hitta det minsta värdet av funktionen y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 på segmentet.

Hitta derivatan av den givna funktionen:

Låt oss hitta nollorna för derivatan:

Punkten x = 2 tillhör det intervall som anges i villkoret.

Vi beräknar funktionsvärdena vid punkterna 1, 2 och 4:

Funktionens minsta värde är -2.

Svar: -2

77426. Hitta det största värdet för funktionen y \u003d x 3 - 6x 2 på segmentet [-3; 3].

Hitta derivatan av den givna funktionen:

Låt oss hitta nollorna för derivatan:

Punkten x = 0 tillhör det intervall som anges i villkoret.

Vi beräknar funktionsvärdena vid punkterna –3, 0 och 3:

Funktionens minsta värde är 0.

Svar: 0

77429. Hitta det minsta värdet av funktionen y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 på segmentet.

Hitta derivatan av den givna funktionen:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Vi får rötterna: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Endast x = 1 hör till det intervall som anges i villkoret.

Hitta funktionsvärdena vid punkterna 1 och 4:

Vi fann att det minsta värdet på funktionen är 3.

Svar: 3

77430. Hitta det största värdet av funktionen y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 på segmentet [- 4; -ett].

Hitta derivatan av den givna funktionen:

Hitta nollorna för derivatan, lös andragradsekvationen:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Låt oss få rötterna:

Roten х = –1 tillhör det intervall som anges i villkoret.

Hitta funktionsvärdena vid punkterna –4, –1, –1/3 och 1:

Vi fann att det största värdet på funktionen är 3.

Svar: 3

77433. Hitta det minsta värdet av funktionen y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 på segmentet.

Hitta derivatan av den givna funktionen:

Hitta nollorna för derivatan, lös andragradsekvationen:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Låt oss få rötterna:

Roten x = 4 tillhör det intervall som anges i villkoret.

Vi hittar värdena för funktionen vid punkterna 0 och 4:

Vi fann att det minsta värdet på funktionen är -109.

Svar: -109

Överväg en metod för att bestämma de största och minsta värdena av funktioner utan en derivata. Detta tillvägagångssätt kan användas om du har stora problem med definitionen av derivatan. Principen är enkel - vi ersätter alla heltalsvärden från intervallet till funktionen (faktum är att i alla sådana prototyper är svaret ett heltal).

77437. Hitta det minsta värdet av funktionen y \u003d 7 + 12x - x 3 på segmentet [-2; 2].

Vi ersätter poäng från -2 till 2: Visa lösning

77434. Hitta det största värdet för funktionen y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 på segmentet [-2; 0].

Det är allt. Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om sidan i sociala nätverk.

Funktionens största (minsta) värde är det största (minsta) accepterade värdet på ordinatan i det betraktade intervallet.

För att hitta det största eller minsta värdet på en funktion måste du:

Kontrollera vilka stationära punkter som ingår i det givna segmentet.
Beräkna värdet på funktionen i ändarna av segmentet och vid stationära punkter från steg 3
Välj bland de erhållna resultaten det största eller minsta värdet.

För att hitta högsta eller lägsta poäng måste du:

Hitta derivatan av funktionen $f"(x)$
Hitta stationära punkter genom att lösa ekvationen $f"(x)=0$
Faktorisera derivatan av en funktion.
Rita en koordinatlinje, placera stationära punkter på den och bestäm tecknen för derivatan i de erhållna intervallen, med hjälp av beteckningen i klausul 3.
Hitta max- eller minimumpoäng enligt regeln: om derivatan vid en punkt ändrar tecken från plus till minus, kommer detta att vara maxpoängen (om från minus till plus, så kommer detta att vara minimipunkten). I praktiken är det bekvämt att använda bilden av pilar på intervallen: på intervallet där derivatan är positiv, dras pilen uppåt och vice versa.

Tabell över derivator av några elementära funktioner:

Fungera	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundläggande regler för differentiering

1. Derivatan av summan och skillnaden är lika med derivatan av varje term

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Hitta derivatan av funktionen $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivatan av summan och skillnaden är lika med derivatan av varje term

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat av en produkt.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Hitta derivatan $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivat av kvoten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Hitta derivatan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av den externa funktionen och derivatan av den interna funktionen

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Hitta minimipunkten för funktionen $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Hitta ODZ för funktionen: $x+11>0; x>-11$

2. Hitta derivatan av funktionen $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Hitta stationära punkter genom att likställa derivatan med noll

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ett bråk är noll om täljaren är noll och nämnaren inte är noll

$2x+21=0; x≠-11$

4. Rita en koordinatlinje, placera stationära punkter på den och bestäm tecknen för derivatan i de erhållna intervallen. För att göra detta, ersätter vi till derivatan vilket tal som helst från den extrema högra regionen, till exempel noll.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Vid minimipunkten ändrar derivatan tecken från minus till plus, därför är $-10,5$ poängen minimipunkten.

Svar: $-10,5$

Hitta maxvärdet för funktionen $y=6x^5-90x^3-5$ på segmentet $[-5;1]$

1. Hitta derivatan av funktionen $y′=30x^4-270x^2$

2. Jämför derivatan med noll och hitta stationära punkter

$30x^4-270x^2=0$

Låt oss ta den gemensamma faktorn $30x^2$ från parentes

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Ställ in varje faktor lika med noll

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Välj stationära punkter som tillhör det givna segmentet $[-5;1]$

Stationära punkter $x=0$ och $x=-3$ är lämpliga för oss

4. Beräkna värdet på funktionen i ändarna av segmentet och vid stationära punkter från punkt 3

I uppgift B14 från USE i matematik måste du hitta det minsta eller största värdet på en funktion av en variabel. Detta är en ganska trivial uppgift från matematisk analys, och det är av denna anledning som varje akademiker kan och bör lära sig att lösa det normalt. gymnasium. Låt oss analysera några exempel som skolbarn löste vid diagnostikarbetet i matematik, som ägde rum i Moskva den 7 december 2011.

Beroende på vilket intervall du vill hitta max- eller minimivärdet för funktionen används en av följande standardalgoritmer för att lösa detta problem.

I. Algoritm för att hitta det största eller minsta värdet av en funktion i ett segment:

Hitta derivatan av en funktion.
Välj bland de punkter som misstänks för ett extremum de som hör till ett givet segment och funktionens domän.
Beräkna värden funktioner(inte en derivata!) vid dessa punkter.
Bland de erhållna värdena, välj den största eller minsta, det kommer att vara den önskade.

Exempel 1 Hitta det minsta värdet på en funktion
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 på segmentet .

Lösning: vi agerar enligt algoritmen för att hitta det minsta värdet av en funktion på ett segment:

Funktionens omfattning är inte begränsad: D(y) = R.
Funktionens derivata är: y' = 3x 2 – 36x+ 81. Omfattningen av derivatan av en funktion är inte heller begränsad: D(y') = R.
Nollor av derivatan: y' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, alltså x 2 – 12x+ 27 = 0, varifrån x= 3 och x= 9, vårt intervall inkluderar endast x= 9 (en poäng misstänkt för ett extremum).
Vi finner värdet av funktionen i en punkt som är misstänkt för ett extremum och vid kanterna av intervallet. För att underlätta beräkningarna representerar vi funktionen i formen: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
- y(9) = 9 (9-9) 2+23 = 23;
- y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Så från de erhållna värdena är den minsta 23. Svar: 23.

II. Algoritmen för att hitta det största eller minsta värdet av en funktion:

Hitta funktionens omfattning.
Hitta derivatan av en funktion.
Bestäm de punkter som är misstänkta för ett extremum (de punkter där derivatan av funktionen försvinner, och de punkter där det inte finns någon tvåsidig finit derivata).
Markera dessa punkter och funktionens domän på tallinjen och bestäm tecknen derivat(inte funktioner!) på de resulterande intervallen.
Definiera värden funktioner(inte en derivata!) vid minimipunkterna (de punkter där tecknet för derivatan ändras från minus till plus), kommer det minsta av dessa värden att vara det minsta värdet av funktionen. Om det inte finns några minimipoäng har funktionen inget minimivärde.
Definiera värden funktioner(inte en derivata!) vid maxpunkterna (de punkter där derivatans tecken ändras från plus till minus), kommer det största av dessa värden att vara det största värdet på funktionen. Om det inte finns några maxpoäng har funktionen inget maxvärde.

Exempel 2 Hitta det största värdet på funktionen.

Algoritmen för att hitta de största och minsta värdena av en kontinuerlig funktion på ett segment:

1) Hitta alla kritiska punkter för funktionen som hör till intervallet;

2) Beräkna värdena för funktionen vid dessa punkter och i slutet av segmentet;

3) Från de erhållna värdena, välj den största och minsta.

Exempel 8.1. Hitta de största och minsta värdena för en funktion
på segmentet
.

Lösning. 1) Hitta de kritiska punkterna för funktionen.

,




.

På segmentet
nämnaren försvinner inte. Därför är ett bråk noll om och endast om täljaren är noll:




.

Betyder att,
är den kritiska punkten för funktionen. Den tillhör detta segment.

Hitta värdet på funktionen vid den kritiska punkten:

2) Hitta värdena för funktionen i slutet av segmentet:

, .

3) Från de erhållna värdena väljer vi den största och minsta:

,
.

9. Problem med att hitta de största och minsta värdena av kvantiteter

När du löser problem för att beräkna de minsta och största värdena av kvantiteter, är det nödvändigt att först och främst bestämma vilken kvantitet i problemet som krävs för att hitta det minsta eller största värdet. Detta värde kommer att vara den funktion som studeras. Då bör en av storheterna, på vars förändring tillämpningen av funktionen beror, tas som en oberoende variabel och funktionen bör uttryckas genom den. I det här fallet är det nödvändigt att välja som en oberoende variabel det värde genom vilket funktionen som studeras uttrycks enklast. Därefter löses problemet för att hitta de minsta och största värdena för den erhållna funktionen i ett visst förändringsintervall för den oberoende variabeln, som vanligtvis sätts från själva kärnan av problemet.

Exempel 9.1. Hitta höjden på den största konen som kan skrivas in i en sfär med radie .

R lösning. Betecknar radien för basen, höjden och volymen av konen, respektive ,och , skriv
. Denna likhet uttrycker beroendet av två variabler och ; Låt oss utesluta en av dessa kvantiteter, nämligen . För att göra detta, från en rätvinklig triangel
vi härleder (genom satsen på kvadraten på den vinkelräta som faller från spetsen av rät vinkel till hypotenusan):

Figur 6 - Illustration till exempel 9.1.

eller
.

Ersätter värdet i formeln för volymen av en kon får vi:

Vi ser att volymen kon inskriven i en kula med radie , är en funktion av höjden på denna kon . För att hitta den höjd på vilken den inskrivna konen har stor volym, betyder det att hitta en sådan , för vilken funktionen har ett maximum. Vi letar efter maximal funktion:

1)
,

2)
,
,
, var
eller
,

3)
.

Ersätter istället för först
, och då
, vi får:

I det första fallet har vi ett minimum (
på
), i den andra, det önskade maximala (sedan
på
).

Därför, när
kon inskriven i en sfär med radie , har störst volym.

P Exempel 9.2. Krävs inhägnad med trådnätslängd 60 m ett rektangulärt område i anslutning till husets vägg (fig. 7). Vilken längd och bredd ska tomten vara så att den får störst yta?

Lösning. Låt tomten bredd m, och området m 2 , sedan:

Figur 7 - Illustration till exempel 9.2.

Värderingar och kan inte vara negativ, så multiplikatorn
, a
.

Fyrkant det finns en funktion , definierar vi intervallen för dess ökning och minskning:

.
, och funktionen ökar när
;
, och funktionen minskar när
. Därav poängen
är maxpoängen. Eftersom detta är den enda punkten som hör till intervallet
, sedan vid punkten
funktion har det högsta värdet.