Образовательный портал. Уравнения с модулем абсолютная величина определение модуля Раздел VI

Введение

1. Абсолютная величина в курсе средней школы

1.1 Определения и основные теоремы

1.2 Геометрическая интерпритация понятия |a|

2. Методы решения уравнений и неравенств

2.1 Решение уравнений и неравенств с использованием определения абсолютной величины (модуля)

2.2 Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел

2.3 Метод интервалов

2.4 Графический метод

2.5 Метод последовательного раскрытия модуля

2.6 Виды уравнений и неравенств и их решение

3. Дополнительные способы решения уравнений и неравенств

3.1 решение уравнений и неравенств, содержащих модуль, с использованием тождеств

3.2 Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

3.3 Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

3.4 Решение уравнений переходом к следствию

3.5 Типовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

3.6 Советы учителей по последовательности изучения уравнений и неравенств с модулем в школьном курсе математики

4. Уравнения и неравенства с модулем в Едином Национальном Тестировании (ЕНТ)

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Актуальность темы связана с тем, что модуль широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики и технических науках. Например, в теории приближенных вычислений применяется понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа, понятия вектора и его длины (модуля вектора) используется в геометрии и механике, в математическом анализе понятие модуля содержится в определениях пределах, ограниченной функции. Я считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, заданий ЕНТ и экзаменов при поступлении в вузы.

В практике преподавания математики в средней школе понятие абсолютной величины числа (модуля) встречается неоднократно.

В 6 классе, в теме приближенных вычислений формируется понятие абсолютой величины числа, при уяснении абсолютной погрешности приближенного числа.

Во втором полугодии 6 класса вводится определение абсолютной величины числа (модуля) и с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами.

В 8 классе при рассмотрении свойств арифметического квадратного корня находит свое новое приложение понятие абсолютной величины числа:

; , где и другие.

В 9 классе, при изучении предела последовательности учащиеся встречаются с выражениями вида:

Понятие абсолютной величины числа получает свое дальнейшее развитие в 10 классе при изучении предела функции, при исследовании функции на ограниченность, при иучении комплексных чисел.

В 11 классее в теме «Степень с рациональным показателем» рассматриваются свойства корней n -й степени, где также используется понятие абсолютной велечины числа; так,например,

=

Таким образом, во всех классах, в соответствии с учебной программой, следует включать и рассматривать упражнения, содержащие знак абсолютной величины числа.

В 6 классе можно решать уравнения вида:

В 7 классе имеется вожможностьрссматривать решешие уравнений вида: и т.п., систем уравнений вида:

А так же пострение графиков функций: ; ; и др.

В 8 классе понятия абсолютной величины распространяются на квадратные уравнения, график квадратного трехчлена и др. можно решать уравненияя вида:; ;

Новизна дипломной работы : решили все уравнения и неравенства с моулем, встречающиеся в тестовых заданиях ЕНТ и рассмотрели основные ошибки, допускаемые учащимися при их решении.

Цель проведения нашего исследования – сделать анализ учебно-методического материала, выявить все методы решения уравнений и неравенств с модулем и объединить их в данной работе.

Для достижения поставленной необходимо решить следующие задачи :

Изучить основные теоремы и определения;

Описать основные методы решения уравнений и неравенств с модулем;

Выявить нестандартные методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Объект исследования: процесс обучения уравнениям и неравенствам в школе.

Предмет исследования: методы решения уравнений и неравенств, содержащие знак модуля, в школьном курсе математики.

Практическая значимость дипломной работы состоит в том, что в данной дипломной предтавлены все методы и приемы решения уравнений и неравенств, которые можно использовать в школьном курсе математики.

Основными методами исследовани я в дипломной работе являются:

аналитический,

сравнительный,

изучение монографических публикаций и статей,

конкретно-исторический,

метод обобщения.

Данный диплом основан на следующих работах: «Абсолютная величина» Гайдуков И.И., «Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения» Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., «Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства 10 - 11кл» Олехник, Потапов, Пасиченко.

В первой главе рассматривается теоретическая сторона проблемы, основные теоремы и понятия, необходимые для дальнейшего исследования данной темы. уравнение задача неравенство

Во второй главе дипломной работы мы объединили методы решения уравнений и неравенств с модулем, которые входят в школьную программу.

В третьей главе мы представили нестандартные приемы решения уравнений и неравенств содержащие модуль, изучаемых на дополнительных занятиях и используемых при решении олимпиадных задач. Так же здесь рассмотрены типовые задания на решение уравнений и неравенств и задания тестовых вариантов Единого Национального Тестирования (ЕНТ).

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

1. Абсолютная величина в курсе средней школы

1.1 Определения и основные теоремы

Рассмотрим понятие абсолютной велечины числа, или, что то же самое, модуля числа для действительных чисел.

Определение 1.1.1 Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чиисел а или - а.

Абсолютную величину числа а обозначают |а | и читают «абсолютная величина числа а», или «модуль числа а».

Из определения следует:

Из определения следует, что для любого действительного числа а, ≥0.

Примеры 1.1.1:

;

Теорема 1.1.1 Противоположные числа имеют равные абсолютные величины, т.е. = .

В самом деле, по определению абсолютной величины, имеем:

=

=

Следовательно,

1.2 Геометрическая интерпритация понятия

Известно, что каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображеннием данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета, иии длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке.это расстояние, или длина отрезка, рассматривается всегда как величина неотрицательная.

Вместе с этим каждой точке числовой прямой можно поставить в соответсствие направленный отрезок(вектор), который характерезуется длинной и направлением.

Множеству действительных чисел соответствует множество точек ориентированной прямой, т.е. такой прямой на которой, кроме начала отсчета и маштаба, установлено положительное направление.

Тогда можно считать, что геометрической интерпритацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающий данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпритацией абсолютной величины данного действительного числа.

Геометрическое толкование смысла наглядно потверждает, что = .

Примеры 1.2.1:

Если = 5, то а 1 =5 и а 2 =-5, или а = ±5.

Следовательно, данному равенству удовлетворяют два числа, которым на числовой прямой сответсвует две точки.

Если ˃10, то

Откуда а ˃10 и а ˂ -10, или

Следовательно, данному нераввенству удовлетворяет множество чисел двух интервалов: (-∞;-10) и (10;∞), а на числовой прямой – два промежутка соответствующие этим интервалам.

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык – удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады:

Пример 1.2.2:

Дана функция: .

Решение: Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси координат. Преобразуем выражение, задающее функцию :

Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке , график исходной функции представляет собой объединение полуокружностей указанных на рисунке.

Теперь решение задач не представляет труда:

с) При решений нет, при уравнение имеет три решения, при – четыре решения, при – два решения.

b ) Неравенство выполнено при всех из отрезка .

a ) корень уравнения есть абцисса точки пересечения прямой с графиком ффункции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренный(угловой коэффицент прямой равен -1), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс есть , а искомая абсцисса равна .

Геомет рический смысл модуля разности величин - это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х–а | -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 1.2.3: Решим уравнение |х–1|+|х–2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок .

Ответ : х 

Пример 1.2.4: Решим уравнение |х – 1| - |х – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Ответ: х  сумма расстояний d+f равна длине отрезка АВ, т.е. 7. Так же легко установить, что для точек х<2 или х>5 сумма расстояний d+f>7 . Поэтому решением уравнения является интервал .

б) Раскроем знак модуля. Для этого нанесем точки -2 и 5 на числовую прямую. Эти точки разбивают ее на три интервала. Рассмотрим знаки модулей в каждом из промежутков.

В интервале 1 (х<-2) получаем: -(х–5)–(х+2)=7 или –х+5–х–2=7 или –2х+3=7 , откуда получаем: х=-2 . Но эта точка в рассматриваемый промежуток не входит. Поэтому х=-2 не является решением.

В интервале 2: х получаем: -(х–5)+(х+2)=7 или 7=7. Так как получилось верное равенство, то любая точка из этого промежутка является решением данного уравнения.

В интервале 3 (х>5) получаем: (х-5)+(х+2)=7 или 2х-3=7 , откуда х=5 . Точка х=5 в рассматриваемый промежуток не входит и не является решением уравнения.

Итак, решение данного уравнения: -2х5.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

Занятие №3. Решение квадратных уравнений с модулем.

Рассмотрим решение квадратных уравнений с модулями на примерах:

№1. Решить уравнение

Введем замену =у , тогда при у 0 уравнение принимает вид:

y 2 –6у+8=0, откуда у 1 = 2 и у 2 = 4. а х= 2 или -2; 4 или -4.

№2. Решить уравнение:

Уравнение равносильно системе: Откуда х =1.

№3. Решить уравнение:

2х – 1.

Уравнение имеет решение при условии, что 2х –10, а равенство возможно при условии: значения выражений х 2 +х –1 и 2х –1 одинаковы либо противоположны. Т.о. имеем: х0,5. Составим уравнения: х 2 +х –1=2х –1 или х 2 +х –1=-(2х –1); решая которые, получим

№4. Найти корни уравнения: .

Представим данное уравнение в виде: = х 2 – 1, откуда:

х – 1 = х 2 – 1,

или х – 1 = - (х 2 – 1).

х 2 – 1 при х - 1 и х 1 .Решая уравнения, получим из первого: х=0 и х=1 , из второго: х=-2 и х=1.

Ответ: х=1; х=-2.

№5. Найти целые корни уравнения: = .

Используя определение модуля, прходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений х–х 2 –1 и 2х+3–х 2 равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решая совокупность, получим корни данного уравнения: х=-4;-0,5;2. Целые среди них: -4 и 2.

№6. Решить уравнение: =2х 2 –3х+1.

Обозначим выражение 3х-1-2х 2 буквой а . Тогда данное уравнение примет вид: =-а . Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству: 3х–1-2х 2 0 , решая которое, получим ответ: х0,5 и х1.

Упражнения для самостоятельной работы.

Решить уравнение:

№1.=х 2 + х–20.

№2. + 3х -5=0,

№3. =(х–1)(х+1),

№4. х 2 –6+5=0,

№5. х 2 +8=9,

№6.=х 2 –6х+6,

№7. х =-8.

Занятие №4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Рассмотрим пример: решить уравнение с параметром

Построим графики функций у=3–х и у=. График у=3–х фиксирован и от параметра не зависит. График у= получается из графика фукции у=, зависит от параметра а . Поэтому рассмотрим 3 случая:

Этот случай, как видно из рисунка, будет при а<3 . Графики этих функций пересекаются в единственной точке В. Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол А равен углу В и равен 45 0 , проведем в этом треугольнике высоту ВД. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный, то ВД также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки Д х =(а + 3)/2.

Этот случай имеет место при а =3. Тогда графики функций совпадают по отрезку АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е. х <3.

В этом случае а >3. Видно, что графики функций не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Поэтому уравнение решения не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

№3. (а–2)=а–2,

№4. а 2 х 2 +а=0.

Занятие №5. Решение линейных неравенств с модулями.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решают различными способами; рассмотрим достаточно простой пример:

№1.Решить неравенство:

Первый способ: Имеем: >4,

Геометрически выражение означает расстояние на координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х , которые удалены от точки 2,5 более чем на 2, - это точки из промежутков х<0,5 и х>4,5.

Второй способ: Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведем обе части этого неравенства в квадрат: 2 >4 2 .

(2х–5) 2 >4 2 ,

(2х–5) 2 –16>0,

(2х–5–4)(2х–5+4)>0,

2(х–4,5) 2(х–0,5)>0,

(х–4,5)(х–0,5)>0.

Применив метод интервалов, получим: х<0 ,5 и х>4,5 .

Третий способ: Выражение 2х–5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух систем:

Откуда: х<0,5 и х>4,5 .

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №2.Решить неравенство: <3.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Из первой системы получаем 2х<5 , из второй -1<х<2 . Объединяя эти два решения, получаем: -1<х<5 .

Пример №3. Решить неравенство: 3х+3 .

Данное неравенство равносильно двойному неравенству -х-33х–3х+3 или системе

Имеем: 0х3.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

№1. <3х+1,

№3. ->-2.

Занятие № 6. Решение квадратных неравенств с модулями.

Рассмотрим пример №1. Решите неравенство: +х–2<0 .

Данное неравенство можно решить методом интервалов. Рассмотрим иное решение, основанное на следующем утверждении: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств: , а неравенство равносильно совокупности неравенств .

Поэтому наше неравенство равносильно системе неравенств: решая которые, получим:

Запишем ответ: (1-;2-).

Пример №2. Найти целые решения неравенства: 2х–х 2 . Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Решим первую систему: из первого неравенства имеем: х1; х2 .

из второго: 2х 2 –5х+20 , или 0,5х2 .

Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы на координатной прямой, находим пересечение решений.

Т.о. 0,5х1 и х=2 . Это решение первой системы.

Решим вторую систему: из первого неравенства имеем: 1<х<2 , из второго: -(х 2 -3х+2)2х–х 2 , или – х 2 +3х–2–2х+ х 2 0 , или х2 .

Отметив найденные решения первого и второго неравенств второй системы на координатной прямой, получим: 1<х<2 . Это решение второй системы.

Объединив найденные решения систем неравенств 0,5x1; х=2; 1, получаем: 0,5x2 и т.о. целыми решениями будут х=1 и х=2 .

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства:

№3. <3х–3,

№4. х 2 -3+2>0,

№5. х 2 -х<3,

№6. х 2 -6х+7-<0,

№7. 3+х 2 –7>0,

№8. >.

Занятие № 7 . Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Пример. При каких значениях а верно неравенство: ах 2 +4+а+3<0 ?

При х0 имеем ах 2 +4х+а+3<0 . Старший коэффициент а должен быть отрицательным, дискриминант – меньше нуля.

а<0, Д=16–4а(а+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; а<-4 и а>1 ;

абсцисса вершины параболы х 0 =-в/2а=- 4/2а=-2/а 0 , откуда а<-4 .

При х<0 имеем ах 2 –4х+а+3<0 . Рассуждая аналогично, получим: а<-4 .

Ответ: при а<-4 данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства с параметрами:

№2. (х–а)<0,

№3. Существуют ли такие значения а, при которых неравенство ах 2 >2+5 не имеет решений?

Занятия №8 - 9 . Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения

-+3-2=х+2 .

Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:

х+1=0, х=-1; х=0; х–1=0, х=1; х–2=0, х=2.

Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений

х+1, х, х–1, х–2 на этих интервалах:

Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:

Последняя совокупность приводится к виду:

Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; х 2.

Использованный прием называется методом интервалов . Он применяется и при решении неравенств.

Решить неравенство: +х–2<0.

1) Найдем нули выражения: х 2 -3х .

х 1 =0, х 2 =3.

2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения х 2 -3х на каждом интервале:

3) Раскроем модуль:

Решение первой системы: , решение второй . Решение данного неравенства: .

Упражнения для самостоятельной работы:

№3

Занятие №10 - 11 . Решение неравенств вида , посредством равносильных переходов.

Рассмотрим неравенства вида и . Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств а неравенство равносильно совокупности неравенств

Рассмотрим пример: решить неравенство:>х+2 .

Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:

Система и неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является х .

Упражнения для самостоятельной работы:

Занятие № 12. Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.

При решении некоторых заданий находят применение свойства модуля. (При необходимости повторить их, см. занятие № 1).

Проиллюстрируем применение свойств модуля при решении следующих примеров.

Цели урока:

образовательные:

• повторение различных способов решения уравнений, содержащих знак модуля;
• решение уравнений различными способами;
• решение уравнений, предлагавшихся на вступительных экзаменах в мгу;
• решение уравнений, содержащих знак модуля и параметр;

воспитательные:

• развитие внимания;
• развитие умения правильно и чётко записывать решение;
• развитие умения слушать объяснение одноклассников;
• развитие умения проверять собственное решение;

развивающие:

• развитие умения находить наиболее рациональный способ решения;
• развитие математического мышления;
• развитие умения обосновывать своё решение;
• развитие умения обобщать полученные знания;
• развитие умения решать уравнения с параметром;

Оборудование:

• классная доска;
• раздаточный материал с условиями заданий для работы в группах;
• компьютер;
• проектор;
• экран.

Знания, умения, навыки.

В результате проведения урока учащиеся должны повторить основные приёмы решения уравнений, содержащий знак модуля, научиться решать подобные уравнения уровня школьных выпускных и конкурсных экзаменов, научиться понимать и уметь находить решение уравнений, содержащих параметр.

ХОД УРОКА

1) Повторить определение модуля числа и способы его раскрытия в зависимости от знака аргумента.

2) Повторить основные способы решения уравнений, содержащих модули выражения:

а) решение уравнений путем раскрытия модуля внешним способом;

б) решение уравнений путем раскрытия модуля изнутри;

в) решение уравнений, содержащих модули, методом замены переменной;

г) решение уравнений, содержащих несколько модулей;

д) решение уравнений, содержащих модули и параметры одновременно.

3) Решение уравнений различными методами (работа в группах).

4) Решение уравнений конкурсных экзаменов (с использованием компьютера).

5) Решение уравнений, содержащих модули и параметры одновременно (с использованием классной доски, компьютера и проектора).

6) Подведение итогов урока, выставление оценок.

Материалы к уроку:

1. К каждому из указанных уравнений подобрать метод решения и решить его (решение на доске и в тетрадях).

а) | 5 - 4х | = 1

б) | 6х2 _ 5х + 1 | = 5х - 6х2 - 1

в) х2 + 3|х+1| - 1 = 0

г) | х - 2| + |х + 4| = 8

д) 2|х + 2| + 3 = (х + 2)2

Ответы: а) 1; 1.5; б) ; в) -1; г) -5; 3; д) -5; 1.

2. Работа в группах (каждая группа получает конверт с заданием и карточку для выставления оценки и самооценки выполненной работы).

Вид карточки выставления оценок. (Приложение 2)

Критерий выставления оценки:

“5”- решил 5 уравнений различными способами самостоятельно;

“4”- решил 5 уравнений различными способами и получил одну консультацию у членов группы;

“3”- решил 5 уравнений различными способами и получил две или три консультации у членов группы;

“2”- испытывал трудности при решении уравнений и постоянно консультировался у членов группы;

Оценка выставляется группой после обсуждения и самим учеником, итоговая оценка выставляется учителем.

КАРТОЧКА №1

а) | 3х-3 | = 6;

б) | х 2 - 3х - 10 | = 3х - х 2 + 10;

в) 1/|х| + 1/(х + 1) = 2;

г) | х 2 - 9 | + | х - 2| = 5;

д) | х - 1| + | х - 2| + | х - 3| = х.

КАРТОЧКА №2

а) | 3-2х | = 4;

б) | х 2 - 3х + 2 | = 3х - х 2 - 2;

в) 2/|х - 1| + 4/(х + 3) = 3;

г) | х 2 - 8х | - 9 = 0;

д) | х - 3 | + | х + 2 | - | х - 4 | = 3.

КАРТОЧКА №3

а) | 5х-4 | = 6;

б) х 2 + 2| х - 1 | - 1 = 0;

в) | х 2 - 2х | - 3 = 0;

г) (х - 3,5) 2 + 2| х - 3,5 | = 1,25;

д) | х + 2 | - | х - 3 | + | х - 1 | = 1.

3. Решение уравнений конкурсных экзаменов.

а) Решим уравнение: |||| х -3 | - 1 | + 2 | - 3| = 1

Раскроем модуль внешним способом, получим совокупность двух уравнений:

||| х - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = 1 и ||| х - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = -1, преобразуя которые получаем:

||| х- 3 | - 1 | + 2 | = 4 и ||| х - 3 | - 1 | + 2 | = 2.

Раскроем вновь модуль внешним образом, получаем совокупность из четырех уравнений:

|| х - 3 | - 1 | + 2 = 4; || х - 3 | - 1 | + 2 = -4; || х - 3 | - 1 | + 2 = 2 и

|| х - 3 | - 1 | + 2 = -2.

Вновь преобразуем полученные уравнения:

|| х - 3 | - 1 | = 2; || х - 3 | - 1 | = -6; || х- 3 | - 1 | = 0 и || х - 3 | - 1 | = -4.

Легко видеть, что второе и четвертое из полученных уравнений решения не имеют, так как модуль не может принимать отрицательных значений.

Дальнейшее раскрытие модулей приводит к ответу: х = 0; 2; 4; 6.

б) В качестве домашнего задания предлагается решить следующие уравнения:

|| х - 2 | - 4 | = 3;

|||| х + 1| - 5 | + 1| - 2 | = 2;

|||| х + 3| - 2 | + 1 | - 3| = 3;

|| 2х - 7 | - х | = 7 - х;

|| х - 1 | - х - 3 | + х = 4;

|| 2х - 1 | - х - 3 | = 4 - х.

4. Решение уравнений с параметром.

Предлагается определить количество корней уравнения в зависимости от значения параметра а и решить данное уравнение двумя способами: аналитическим и графическим:

| х 2 - 2х - 3 | = а.

а) Графический способ решения уравнения:

Для решения данного уравнения необходимо построить графики следующих функций: у 1 = |х 2 - 2х - 3| и у 2 = а . Графиком первой функции является парабола, у которой область отрицательных значений функции отображена в область положительных значений переменной у относительно оси х . Графиком второй функции является прямая, параллельная оси х .

Легко видеть,что при а ‹0 полученный графики не пересекаются, что говорит об отсутствии решений данного уравнения. При а = 0имеем две точки пересечения графиков, а, следовательно, и два решения: х = -1 и х = 3. При 0‹а‹ 4точек пересечения графиков - четыре, а решения имеют вид:

При а = 4 решений три: х 1 = 1 – 22 и х 2 = 1 + 22 , а х 3 = х 4 = 1.

При а ›4 решений, как и точек пересечения графиков, остается два:

б) Аналитический способ решения уравнения:

Первый вывод можно сделать сразу: а > 0, поскольку модуль не может принимать отрицательные значения. Таким образом, при а‹0 решений нет. При а = 0 решаем квадратное уравнение: х 2 - 2х - 3 = 0, решением которого являются х 1 = -1 и х 2 = 3. При а ›0 решаемотдельно два уравнения:

х 2 - 2х - 3 = а (1) и х 2 - 2х - 3 = -а (2).

Уравнение (1) имеет два решения при любых значениях параметра а› 0. Уравнение (2) имеет два решения только при 0‹а ‹4, при этих значениях параметра дискриминант квадратного уравнения (2) положителен, а корни уравнения аналогичны х 3 и х 4 , найденным при графическом решении. При а = 4 дискриминант уравнения (2) равен 0, решение уравнения (2) одно и равно 1.

В результате решения любым способом получен следующий ответ:

При а ‹0 решений нет;

При а = 0х = -1; 3.

При 0‹а‹ 4:

При а = 4: х 1 = 1 - 22 и х 2 = 1 + 22 , а х 3 = х 4 = 1.

При а ›4:

в) В качестве домашнего задания предлагается определить количество корней уравнения в зависимости от значений параметра а:

1) | 5 + 2х - х 2 | = а ; 2) х 2 - 6|х| + 5 = а ; 3) х 2 - 3|х| = а .

5. Подведение итогов урока, выставление оценок.