Что значит найти наибольшее значение функции. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области $D$. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить три шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции $z=f(x,y)$ в замкнутой области $D$.

1. Найти критические точки функции $z=f(x,y)$, принадлежащие области $D$. Вычислить значения функции в критических точках.
2. Исследовать поведение функции $z=f(x,y)$ на границе области $D$, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений. Вычислить значения функции в полученных точках.
3. Из значений функции, полученных в предыдущих двух пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Что такое критические точки? показать\скрыть

Под критическими точками подразумевают такие точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю (т.е. $\frac{\partial z}{\partial x}=0$ и $\frac{\partial z}{\partial y}=0$) или хотя бы одна частная производная не существует.

Часто точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, именуют стационарными точками . Таким образом, стационарные точки - есть подмножество критических точек.

Пример №1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=x^2+2xy-y^2-4x$ в замкнутой области, ограниченной линиями $x=3$, $y=0$ и $y=x+1$.

Будем следовать указанному выше , но для начала разберёмся с чертежом заданной области, которую обозначим буквой $D$. Нам заданы уравнения трёх прямых, кои эту область ограничивают. Прямая $x=3$ проходит через точку $(3;0)$ параллельно оси ординат (оси Oy). Прямая $y=0$ - это уравнение оси абсцисс (оси Ox). Ну, а для построения прямой $y=x+1$ найдём две точки, через которые и проведём данную прямую. Можно, конечно, подставить вместо $x$ парочку произвольных значений. Например, подставляя $x=10$, получим: $y=x+1=10+1=11$. Мы нашли точку $(10;11)$, лежащую на прямой $y=x+1$. Однако лучше отыщем те точки, в которых прямая $y=x+1$ пересекается с линиями $x=3$ и $y=0$. Почему это лучше? Потому, что мы одним выстрелом уложим пару зайцев: получим две точки для построения прямой $y=x+1$ и заодно выясним, в каких точках эта прямая пересекает иные линии, ограничивающие заданную область. Прямая $y=x+1$ пересекает прямую $x=3$ в точке $(3;4)$, а прямую $y=0$ - в точке $(-1;0)$. Дабы не загромождать ход решения вспомогательными пояснениями, то вопрос о получении этих двух точек вынесу в примечание.

Как были получены точки $(3;4)$ и $(-1;0)$? показать\скрыть

Начнём с точки пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$. Координаты искомой точки принадлежат и первой, и второй прямой, поэтому для нахождения неизвестных координат нужно решить систему уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & y=x+1;\\ & x=3. \end{aligned} \right. $$

Решение такой системы тривиально: подставляя $x=3$ в первое уравнение будем иметь: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$.

Теперь отыщем точку пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$. Вновь составим и решим систему уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & y=x+1;\\ & y=0. \end{aligned} \right. $$

Подставляя $y=0$ в первое уравнение, получим: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$ (оси абсцисс).

Всё готово для построения чертежа, который будет иметь такой вид:

Вопрос примечания кажется очевидным, ведь всё видно по рисунку. Однако стоит помнить, что рисунок не может служить доказательством. Рисунок - лишь иллюстрация для наглядности.

Наша область была задана с помощью уравнений прямых, которые её ограничивают. Очевидно, что эти прямые определяют треугольник, не так ли? Или не совсем очевидно? А может, нам задана иная область, ограниченная теми же прямыми:

Конечно, в условии сказано, что область замкнута, поэтому показанный рисунок неверен. Но чтобы избегать подобных двусмысленностей, области лучше задавать неравенствами. Нас интересует часть плоскости, расположенная под прямой $y=x+1$? Ок, значит, $y ≤ x+1$. Наша область должна располагаться над прямой $y=0$? Отлично, значит $y ≥ 0$. Кстати, два последних неравенства легко объединяются в одно: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \{ \begin{aligned} & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end{aligned} \right. $$

Эти неравенства и задают область $D$, причём задают её однозначно, не допуская никаких двусмысленностей. Но как это поможет нам в том вопросе, что указан в начале примечания? Ещё как поможет:) Нам нужно проверить, принадлежит ли точка $M_1(1;1)$ области $D$. Подставим $x=1$ и $y=1$ в систему неравенств, которые эту область определяют. Если оба неравенства будут выполнены, то точка лежит внутри области. Если хотя бы одно из неравенств будет не выполнено, то точка области не принадлежит. Итак:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end{aligned} \right. \;\; \left \{ \begin{aligned} & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end{aligned} \right. $$

Оба неравенства справедливы. Точка $M_1(1;1)$ приналежит области $D$.

Теперь настал черёд исследовать поведение функции на границе области, т.е. переходим ко . Начнём с прямой $y=0$.

Прямая $y=0$ (ось абсцисс) ограничивает область $D$ при условии $-1 ≤ x ≤ 3$. Подставим $y=0$ в заданную функцию $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Полученную в результате подстановки функцию одной переменной $x$ обозначим как $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Теперь для функции $f_1(x)$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке $-1 ≤ x ≤ 3$. Отыщем производную этой функции и приравняем её к нулю:

$$ f_{1}^{"}(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Значение $x=2$ принадлежит отрезку $-1 ≤ x ≤ 3$, поэтому к списку точек добавим ещё и $M_2(2;0)$. Кроме того, вычислим значения функции $z$ на концах отрезка $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. в точках $M_3(-1;0)$ и $M_4(3;0)$. Кстати, если бы точка $M_2$ не принадлежала рассматриваемому отрезку, то, разумеется, значение функции $z$ в ней вычислять не было бы надобности.

Итак, вычислим значения функции $z$ в точках $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можно, конечно, подставлять координаты данных точек в исходное выражение $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Например, для точки $M_2$ получим:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Однако вычисления можно немного упростить. Для этого стоит вспомнить, что на отрезке $M_3M_4$ имеем $z(x,y)=f_1(x)$. Распишу это подробно:

\begin{aligned} & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(-1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3. \end{aligned}

Разумеется, что в столь подробных записях обычно нет нужды, и все вычисления в дальнейшем станем записывать покороче:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Теперь обратимся к прямой $x=3$. Эта прямая ограничивает область $D$ при условии $0 ≤ y ≤ 4$. Подставим $x=3$ в заданную функцию $z$. В результате такой подстановки мы получим функцию $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Для функции $f_2(y)$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке $0 ≤ y ≤ 4$. Отыщем производную этой функции и приравняем её к нулю:

$$ f_{2}^{"}(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Значение $y=3$ принадлежит отрезку $0 ≤ y ≤ 4$, поэтому к найденным ранее точкам добавим ещё и $M_5(3;3)$. Кроме того, нужно вычислить значение функции $z$ в точках на концах отрезка $0 ≤ y ≤ 4$, т.е. в точках $M_4(3;0)$ и $M_6(3;4)$. В точке $M_4(3;0)$ мы уже вычисляли значение $z$. Вычислим значение функции $z$ в точках $M_5$ и $M_6$. Напомню, что на отрезке $M_4M_6$ имеем $z(x,y)=f_2(y)$, поэтому:

\begin{aligned} & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end{aligned}

И, наконец, рассмотрим последнюю границу области $D$, т.е. прямую $y=x+1$. Эта прямая ограничивает область $D$ при условии $-1 ≤ x ≤ 3$. Подставляя $y=x+1$ в функцию $z$, будем иметь:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Вновь мы получили функцию одной переменной $x$. И вновь нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке $-1 ≤ x ≤ 3$. Отыщем производную функции $f_{3}(x)$ и приравняем её к нулю:

$$ f_{3}^{"}(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Значение $x=1$ принадлежит отрезку $-1 ≤ x ≤ 3$. Если $x=1$, то $y=x+1=2$. Добавим к списку точек ещё и $M_7(1;2)$ и выясним, чему равно значение функции $z$ в этой точке. Точки на концах отрезка $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. точки $M_3(-1;0)$ и $M_6(3;4)$, были рассмотрены ранее, значение функции в них мы уже находили.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Второй шаг решения закончен. Мы получили семь значений:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Обратимся к . Выбирая наибольшее и наименьшее значения из тех чисел, что были получены в третьем пункте, будем иметь:

$$z_{min}=-4; \; z_{max}=6.$$

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : $z_{min}=-4; \; z_{max}=6$.

Пример №2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=x^2+y^2-12x+16y$ в области $x^2+y^2 ≤ 25$.

Сначала построим чертёж. Уравнение $x^2+y^2=25$ (это граничная линия заданной области) определяет окружность с центром в начале координат (т.е. в точке $(0;0)$) и радиусом 5. Неравенству $x^2+y^2 ≤ 25$ удовлетворяют все точки внутри и на упомянутой окружности.

Будем действовать по . Найдем частные производные и выясним критические точки.

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=2x-12; \frac{\partial z}{\partial y}=2y+16. $$

Точек, в которых найденные частные производные не существуют, нет. Выясним, в каких точках обе частные производные одновременно равны нулю, т.е. найдём стационарные точки.

$$ \left \{ \begin{aligned} & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end{aligned} \right. \;\; \left \{ \begin{aligned} & x=6;\\ & y=-8. \end{aligned} \right. $$

Мы получили стационарную точку $(6;-8)$. Однако найденная точка не принадлежит области $D$. Это легко показать, даже не прибегая к помощи рисунка. Проверим, выполняется ли неравенство $x^2+y^2 ≤ 25$, которое определяет нашу область $D$. Если $x=6$, $y=-8$, то $x^2+y^2=36+64=100$, т.е. неравенство $x^2+y^2 ≤ 25$ не выполнено. Вывод: точка $(6;-8)$ не принадлежит области $D$.

Итак, внутри области $D$ нет критических точек. Переходим дальше, ко . Нам нужно исследовать поведение функции на границе заданной области, т.е. на окружности $x^2+y^2=25$. Можно, конечно, выразить $y$ через $x$, а потом подставить полученное выражение в нашу функцию $z$. Из уравнения окружности получим: $y=\sqrt{25-x^2}$ или $y=-\sqrt{25-x^2}$. Подставляя, например, $y=\sqrt{25-x^2}$ в заданную функцию, будем иметь:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt{25-x^2}=25-12x+16\sqrt{25-x^2}; \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Дальнейшее решение будет полностью идентично исследованию поведения функции на границе области в предыдущем примере №1. Однако мне кажется более разумным в этой ситуации применить метод Лагранжа . Нас будет интересовать лишь первая часть этого метода. После применения первой части метода Лагранжа мы получим точки, в которых и исследуем функцию $z$ на предмет минимального и максимального значений.

Составляем функцию Лагранжа:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2-25). $$

Находим частные производные функции Лагранжа и составляем соответствующую систему уравнений:

$$ F_{x}^{"}=2x-12+2\lambda x; \;\; F_{y}^{"}=2y+16+2\lambda y.\\ \left \{ \begin{aligned} & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end{aligned} \right. \;\; \left \{ \begin{aligned} & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end{aligned} \right. $$

Для решения этой системы давайте сразу укажем, что $\lambda\neq -1$. Почему $\lambda\neq -1$? Попробуем подставить $\lambda=-1$ в первое уравнение:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Полученное противоречие $0=6$ говорит о том, что значение $\lambda=-1$ недопустимо. Вывод: $\lambda\neq -1$. Выразим $x$ и $y$ через $\lambda$:

\begin{aligned} & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac{6}{1+\lambda}. \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac{-8}{1+\lambda}. \end{aligned}

Полагаю, что тут становится очевидным, зачем мы специально оговаривали условие $\lambda\neq -1$. Это было сделано, чтобы без помех поместить выражение $1+\lambda$ в знаменатели. Т.е., чтобы быть уверенным, что знаменатель $1+\lambda\neq 0$.

Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ в третье уравнение системы, т.е. в $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac{6}{1+\lambda} \right)^2+\left(\frac{-8}{1+\lambda} \right)^2=25;\\ \frac{36}{(1+\lambda)^2}+\frac{64}{(1+\lambda)^2}=25;\\ \frac{100}{(1+\lambda)^2}=25; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Из полученного равенства следует, что $1+\lambda=2$ или $1+\lambda=-2$. Отсюда имеем два значения параметра $\lambda$, а именно: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Соответственно, получим и две пары значений $x$ и $y$:

\begin{aligned} & x_1=\frac{6}{1+\lambda_1}=\frac{6}{2}=3; \; y_1=\frac{-8}{1+\lambda_1}=\frac{-8}{2}=-4. \\ & x_2=\frac{6}{1+\lambda_2}=\frac{6}{-2}=-3; \; y_2=\frac{-8}{1+\lambda_2}=\frac{-8}{-2}=4. \end{aligned}

Итак, мы получили две точки возможного условного экстремума, т.е. $M_1(3;-4)$ и $M_2(-3;4)$. Найдём значения функции $z$ в точках $M_1$ и $M_2$:

\begin{aligned} & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end{aligned}

На следует выбрать наибольшее и наименьшее значения из тех, что мы получили на первом и втором шагах. Но в данном случае выбор невелик:) Имеем:

$$ z_{min}=-75; \; z_{max}=125. $$

Ответ : $z_{min}=-75; \; z_{max}=125$.

Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии.

Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом .

Предлагаю решать такие задания следующим образом:

1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.
4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3.
5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).

В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать .

Рассмотрим примеры:

77422. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 –3х+4 на отрезке [–2;0].

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.

Вычисляем значения функции в точках –2, –1 и 0:

Наибольшее значение функции равно 6.

Ответ: 6

77425. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 3х 2 + 2 на отрезке .

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.

Вычисляем значения функции в точках 1, 2 и 4:

Наименьшее значение функции равно –2.

Ответ: –2

77426. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 – 6х 2 на отрезке [–3;3].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.

Вычисляем значения функции в точках –3, 0 и 3:

Наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 0

77429. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 2х 2 + х +3 на отрезке .

Найдём производную заданной функции:

3х 2 – 4х + 1 = 0

Получим корни: х 1 = 1 х 1 = 1/3.

Указанному в условии интервалу принадлежит только х = 1.

Найдём значения функции в точках 1 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77430. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 + 2х 2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

3х 2 + 4х + 1 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = –1.

Находим значения функции в точках –4, –1, –1/3 и 1:

Получили, что наибольшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77433. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – х 2 – 40х +3 на отрезке .

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

3х 2 – 2х – 40 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = 4.

Находим значения функции в точках 0 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно –109.

Ответ: –109

Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).

77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х 3 на отрезке [–2;2].

Подставляем точки от –2 до 2: Посмотреть решение

77434. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 + 2х 2 – 4х + 4 на отрезке [–2;0].

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

1. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
2. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
3. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

1. Найти производную функции $f"(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f"(х)=0$
3. Разложить производную функции на множители.
4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})"=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})"={f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)"}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f"(x)={(5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y"=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y"(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ - это точка минимума.

Ответ: $-10,5$

Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

$30x^4-270x^2=0$

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

$х=0;х=3;х=-3$

3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

• Найти производную функции.
• Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
• Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
• Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

• Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
• Производная функции равна: y’ = 3x 2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
• Нули производной: y’ = 3x 2 – 36x + 81 = 0, значит x 2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
• Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x (x -9) 2 +23:
  • y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

• Найти область определения функции.
• Найти производную функции.
• Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
• Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
• Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
• Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке:

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку ;

2) Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 8.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.

Решение. 1) Найдем критические точки функции.

,




.

На отрезке
знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:




.

Значит,
– критическая точка функции. Она принадлежит данному отрезку.

Найдем значение функции в критической точке:

2) Найдем значения функции на концах отрезка:

, .

3) Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

,
.

9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

При решении задач на вычисление наименьших и наибольших значений величин надо прежде всего определить, для какой величины в задаче требуется найти наименьшее или наибольшее значение. Эта величина и будет исследуемой функцией. Затем одну из величин, от изменения которых зависит применение функции, следует взять за независимую переменную и выразить через неё функцию. При этом нужно в качестве независимой переменной выбрать ту величину, через которую исследуемая функция выражается проще всего. После этого решается задача на нахождение наименьшего и наибольшего значения полученной функции в некотором промежутке изменения независимой переменной, которое обычно устанавливается из самого существа задачи.

Пример 9.1. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса .

Решение. Обозначив радиус основания, высоту и объём конуса соответственно ,и, запишем
. Это равенство выражает зависимость от двух переменныхи; исключим одну из этих величин, а именно. Для этого из прямоугольного треугольника
выводим (по теореме о квадрате перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу):

Рисунок 6 – Иллюстрация к примеру 9.1.

или
.

Подставив значение в формулу объёма конуса, получим:

.

Мы видим, что объём конуса, вписанного в шар радиуса,есть функция от высоты этого конуса. Найти высоту при которой вписанный конус имеет большой объём, это значит найти такое, при котором функцияимеет максимум. Ищем максимум функции:

1)
,

2)
,
,
, откуда
или
,

3)
.

Подставив вместо сначала
, а потом
, получим:

В первом случае имеем минимум (
при
), во втором искомый максимум (так как
при
).

Следовательно, при
конус, вписанный в шар радиуса, имеет наибольший объём.

Пример 9.2 . Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома (рис. 7). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка м , а площадь м 2 , тогда:

Рисунок 7 – Иллюстрация к пр. 9.2.

Значения ине могут быть отрицательными, поэтому множитель
, а
.

Площадь есть функция, определим промежутки ее возрастания и убывания:

.
, и функция возрастает, когда
;
, и функция убывает, когда
. Следовательно, точка
является точкой максимума. Так как это единственная точка, принадлежащая интервалу
, то в точке
функция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина
м, а длина м .

Пример 9.3. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 м 2 , чтобы периметр ее был наименьший?

Решение . Пусть длина равна м, тогда ширина прямоугольника м , а периметр:

.

Периметр есть функция длины , определенная для всех положительных значений:
.

Определим промежутки ее возрастания и убывания:

Знак производной определяется знаком разности
. В промежутке

, а в промежутке

.

Следовательно, точка
является точкой минимума. Так как это единственная точка, принадлежащая интервалу:
, то в точке
функция имеет наименьшее значение.

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина м = 6 м, т. е. когда он квадрат.