Решение точки максимума функции онлайн. Условные экстремумы и функция лагранжа

Это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан. Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность. Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.

Исследование графика функции

Для начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола. Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0. И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.

Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.

План анализа функции

Первое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения - это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х. Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х 3 + х 2 - х + 43 область определения - множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х 2 - 2х)/х все немного иначе. Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.

Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х 2 - 2х)/х. Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х 2 - 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х - 2) = 0. В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.

Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы - это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.

Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум - это предельное значений, которое достигает функция на графике. Отсюда получается, что существует два крайних значения - максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше. На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х 5 - 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.

Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции - это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 - это точки экстремума функции, а 4 и -4 - это сами экстремумы.

Нахождение точек экстремума

Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать - найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: "Найдите точки экстремума функции y (x), x - аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х 2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше - приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 - 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями. Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1. Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает. Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 - точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 - точка максимума.

Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т.д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.

Функция и исследование ее особенностей занимает одно из ключевых глав в современной математике. Главная составляющая любой функции - это графики, изображающие не только ее свойства, но также и параметры производной данной функции. Давайте разберемся в этой непростой теме. Итак, как лучше искать точки максимума и минимума функции?

Функция: определение

Любая переменная, которая каким-то образом зависит от значений другой величины, может называться функцией. Например, функция f(x 2) является квадратичной и определяет значения для всего множества х. Допустим, что х = 9, тогда значение нашей функции будет равно 9 2 = 81.

Функции бывают самых разных видов: логические, векторные, логарифмические, тригонометрические, числовые и другие. Их изучением занимались такие выдающиеся умы, как Лакруа, Лагранж, Лейбниц и Бернулли. Их труды служат оплотом в современных способах изучения функций. Перед тем как найти точки минимума, очень важно понять сам смысл функции и ее производной.

Производная и ее роль

Все функции находятся в зависимости от их переменных величин, а это значит, что они могут в любой момент изменить свое значение. На графике это будет изображаться как кривая, которая то опускается, то поднимается по оси ординат (это все множество чисел "y" по вертикали графика). Так вот определение точки максимума и минимума функции как раз связано с этими "колебаниями". Объясним, в чем эта взаимосвязь.

Производная любой функции изображается на графике с целью изучить ее основные характеристики и вычислить, как быстро изменяется функция (т.е. меняет свое значение в зависимости от переменной "x"). В тот момент, когда функция увеличивается, график ее производной будет также возрастать, но в любую секунду функция может начать уменьшаться, и тогда график производной будет убывать. Те точки, в которых производная переходит со знака минуса на плюс, называются точками минимума. Для того чтобы знать, как найти точки минимума, следует лучше разобраться с

Как вычислять производную?

Определение и функции подразумевает под собой несколько понятий из Вообще, само определение производной можно выразить следующим образом: это та величина, которая показывает скорость изменения функции.

Математический способ ее определения для многих учеников кажется сложным, однако на самом деле все гораздо проще. Необходимо лишь следовать стандартному плану нахождения производной любой функции. Ниже описано, как можно найти точку минимума функции, не применяя правила дифференцирования и не заучивая таблицу производных.

1. Вычислить производную функции можно с помощью графика. Для этого необходимо изобразить саму функцию, затем взять на ней одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести линию к оси абсцисс (точка х 0), а в точке А провести касательную к графику функции. Ось абсцисс и касательная образуют некий угол а. Для вычисления значения того, насколько быстро возрастает функция, необходимо вычислить тангенс этого угла а.
2. Получается, что тангенс угла между касательной и направлением оси х является производной функции на маленьком участке с точкой А. Данный метод считается геометрическим способом определения производной.

Способы исследования функции

В школьной программе математики возможно нахождение точки минимума функции двумя способами. Первый метод с помощью графика мы уже разобрали, а как же определить численное значение производной? Для этого потребуется выучить несколько формул, которые описывают свойства производной и помогают преобразовать переменные величины типа "х" в числа. Следующий метод является универсальным, поэтому его можно применять практически ко всем видам функций (как к геометрическим, так и логарифмическим).

1. Необходимо приравнять функцию к функции производной, а затем упростить выражение, используя правила дифференцирования.
2. В некоторых случаях, когда дана функция, в которой переменная "х" стоит в делителе, необходимо определить область допустимых значений, исключив из нее точку "0" (по простой причине того, что в математике ни в коем случае нельзя делить на ноль).
3. После этого следует преобразовать изначальный вид функции в простое уравнение, приравняв все выражение к нулю. Например, если функция выглядела так: f(x) = 2x 3 +38x, то по правилам дифференцирования ее производная равна f"(x) = 3x 2 +1. Тогда преобразуем это выражение в уравнение следующего вида: 3x 2 +1 = 0.
4. После решения уравнения и нахождения точек "х", следует изобразить их на оси абсцисс и определить, является ли производная в этих участках между отмеченными точками положительной или отрицательной. После обозначения станет ясно, в какой точке функция начинает убывать, то есть меняет знак с минуса на противоположный. Именно таким способом можно найти как точки минимума, так и максимума.

Правила дифференцирования

Самая основная составляющая в изучении функции и ее производной - это знание правил дифференцирования. Только с их помощью можно преобразовывать громоздкие выражения и большие сложные функции. Давайте ознакомимся с ними, их достаточно много, но все они весьма просты благодаря закономерным свойствам как степенных, так и логарифмических функций.

1. Производная любой константы равна нулю (f(х) = 0). То есть производная f(х) = x 5 + х - 160 примет такой вид: f" (х) = 5x 4 +1.
2. Производная суммы двух слагаемых: (f+w)" = f"w + fw".
3. Производная логарифмической функции: (log a d)" = d/ln a*d. Эта формула применима ко всем видам логарифмов.
4. Производная степени: (x n)"= n*x n-1 . Например,(9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Производная синусоидальной функции: (sin a)" = cos a. Если sin угла а равен 0,5, то ее производная равна √3/2.

Точки экстремума

Мы уже разобрали, как найти точки минимума, однако существует понятие и точек максимума функции. Если минимум обозначает те точки, в которых функция переходит со знака минуса на плюс, то точками максимума являются те точки на оси абсцисс, на которых производная функции меняется с плюса на противоположный - минус.

Находить можно по вышеописанному способу, только следует учесть, что они обозначают те участки, на которых функция начинает убывать, то есть производная будет меньше нуля.

В математике принято обобщать оба понятия, заменяя их словосочетанием "точки экстремумов". Когда в задании просят определить эти точки, это значит, что необходимо вычислить производную данной функции и найти точки минимума и максимума.

Определение 1. Точка М(x 0 ; у 0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности выполняется неравенство:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая функция z = f(x; y) достигает экстремума в точке М(x 0 ; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.
;

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными иликритическими точками.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция z = f(x; y):

а) определена в некоторой окрестности точки (x 0 ; y 0), в которой
и
;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

;

Тогда, если  = АС  B 2 > 0, то в точке (x 0 ; y 0) функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем, если А < 0 (или С < 0) – максимум, если А > 0 (или С > 0) – минимум. В случае  = АС  В 2 < 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример 1. Найти экстремум функции z = x 2 + xy + y 2  3x  6y.

Решение . Найдем частные производные первого порядка:

Воспользуемся необходимым условием существования экстремума:

Решая систему уравнений, находим координаты x и y стационарных точек: x = 0; y = 3, т. е. М(0; 3).

Вычислим частные производные второго порядка и найдем их значения в точке М.

А =
= 2; С =
= 2;

В =
.

Составим дискриминант  = АС  В 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. Следовательно, в точке М(0; 3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке z min = 9.

Найти экстремумы функций

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 y 2  x + 6y

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

1) найти критические точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти критические точки на границе области и вычислить наибольшее и наименьшее значения функций в них;

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =
в круге x 2 + y 2  1.

Решение . Найдем координаты критических точек, расположенных внутри рассматриваемой области, для чего вычислим частные производные первого порядка функции z и приравняем их к нулю.

откуда x = 0, y = 0 и, следовательно, М(0; 0) – критическая точка.

Вычислим значение функции z в точке М(0; 0): z(0; 0) = 2.

Найдем критические точки на границе области  окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 = 1. Подставляя у 2 = 1  x 2 в функцию z = z(x; y), получим функцию одной переменной

z =
;

причем x[1; 1].

Вычислив производную
и приравняв ее нулю, получим критические точки на границе области x 1 = 0, x 2 =, x 3 =

Найдем значение функции z(x) =
в критических точках и на концах отрезка [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

Выберем наибольшее и наименьшее среди значений функции z в критических точках, расположенных внутри и на границе круга.

Итак, z наиб. = z(0; 0) = 2

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Навигация по странице.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
• если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

Функция возрастает при , убывает на интервале (0;2] .

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Другими словами:

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

• Находим область определения функции.
• Находим производную функции на области определения.
• Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
• Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
• Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6 .

То есть,

Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются , точками максимума являются .

Вычисляем соответствующие минимумы функции

Вычисляем соответствующие максимумы функции

Графическая иллюстрация.

Ответ:

.

Второй признак экстремума функции.

Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Прежде, чем научиться находить экстремумы функции, необходимо понять, что же такое экстремум. Самое общее определение экстремума гласит, что это употребляемое в математике наименьшее или наибольшее значение функции на определенном множестве числовой линии или графике. В том месте, где находится минимум, появляется экстремум минимума, а там, где максимум – экстремум максимума. Также в такой дисциплине, как математический анализ, выделяют локальные экстремумы функции. Теперь давайте рассмотрим, как найти экстремумы.

Экстремумы в математике относятся к важнейшим характеристикам функции, они показывают её самое большое и самое маленькое значение. Находятся экстремумы преимущественно в критических точках находимых функций. Стоит отметить, что именно в точке экстремума функция кардинально меняет своё направление. Если просчитать производную от точки экстремума, то она, согласно определению, должна быть равна нулю или же вовсе будет отсутствовать. Таким образом, чтобы узнать, как найти экстремум функции, необходимо выполнить две последовательные задачи:

• найти производную для той функции, которую необходимо определить заданием;
• найти корни уравнения.

Последовательность нахождения экстремума

1. Оформите в письменном виде функцию f(x), которая задана. Найдите её производную первого порядка f "(x). То выражение, которое получится, приравняйте к нулю.
2. Теперь вам предстоит решить то уравнение, которое получилось. Результирующие решения и будут корнями уравнения, а также критическими точками определяемой функции.
3. Теперь определяем, какими именно критическими точками (максимума или минимума) являются найденные корни. Следующим этапом, после того, как мы узнали, как находить точки экстремума функции, является нахождение второй производной от искомой функции f " (x). Необходимо будет подставить в конкретное неравенство значения найденных критических точек и затем посчитать, что получится. Если произойдет так, что вторая производная окажется больше нуля в критической точке, то ею и будет являться точка минимума, а в противном случае – это будет точка максимума.
4. Остаётся посчитать значение начальной функции в необходимых точках максимума и минимума функции. Чтобы это сделать, подставляем полученные значения в функцию и рассчитываем. Однако стоит отметить, что, если критическая точка оказалась максимумом, то и экстремум будет максимальным, а если минимумом, то минимальным по аналогии.

Алгоритм нахождения экстремума

Чтобы обобщить полученные знания, составим краткий алгоритм того, как находить точки экстремума.

1. Находим область определения заданной функции и её интервалы, которые точно определяют, на каких промежутках функция непрерывна.
2. Находим производную от функции f "(x).
3. Вычисляем критические точки уравнения y = f (x).
4. Анализируем изменения направления функции f (x), а также знак производной f "(x) там, где критические точки разделяют область определения данной функции.
5. Теперь определяем, является ли каждая точка на графике максимумом или минимумом.
6. Находим значения функции в тех точках, которые являются экстремумами.
7. Фиксируем результат данного исследования – экстремумы и промежутки монотонности. Вот и все. Теперь мы рассмотрели, как можно найти экстремум на любом промежутке. Если вам необходимо найти экстремум на определенном промежутке функции, то делается это аналогичным образом, только обязательно учитываются границы производимого исследования.

Итак, мы рассмотрели, как найти точки экстремума функции. При помощи несложных вычислений, а также знаний о нахождении производных, можно найти любой экстремум и вычислить его, а также графически его обозначить. Нахождение экстремумов является одним из важнейших разделов математики, как в школе, так и в Высшем учебном заведении, поэтому, если вы научитесь правильно их определять, то учиться станет намного проще и интереснее.