Фундаментальные исследования. Фундаментальные исследования С неподвижной точкой опоры

1

Работа посвящена задаче стабилизации перевернутого маятника, которой уделяется большое внимание в теории управления, поскольку на примере данной неустойчивой системы строятся алгоритмы поддержания вертикального положения антропоморфных технических устройств. Вданной статье описана стратегия вывода обратного маятника в вертикальное неустойчивое положение, разработана опто-механическая система стабилизации обратного маятника, состоящая из лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo и устройства контроля перемещений. Показано, что после выведения маятника в крайнее верхнее положение система стабилизации удерживает маятник в этом положении путем перемещения каретки на определенное число шагов в зависимости от угла наклона маятника. Разработаны алгоритмы для выведения маятника в положение неустойчивого равновесия и последующего его удержания в этом положении, а также соответствующее программное обеспечение.

обратный маятник

равновесие

стабилизация

обратная связь

алгоритм

фотоизлучатель

микропроцессор

программное обеспечение

1. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса// ЖЭТФ. – 1951. – №21. – С.588–597.

2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом// УФН. – 1951. – №44. – С.7–20.

3. Кузнецов В.П., Иванов А.А., Кудряшов Б.П. Проектирование средств измерения параметров технологических объектов на основе волоконно-оптических преобразователей: учебное пособие. – Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2013. – 84 с.

4. Макаров А.В., Кузяков О.Н. Устройство для контроля перемещений// Патент России №2150086. – 2000. – Бюл. №15.

5. Формальский А.М. Остабилизации перевернутого маятника с неподвижной или подвижной точкой подвеса// ДАН. – 2006. – т.406, №2. – С.175–179.

6. Ashish S. Katariya Optimal state-feedback and output-feedback controllers for the wheeled inverted pendulum system; Georgia Institute of Technology, 2010. – 72 p.

7. Bradshaw A., Shao J. Swing-up control of the inverted pendulum systems// Robotica. – 1996. – Vol. 14. – Р. 397–405.

8. Bugeja M. Non-linear Swing-up and Stabilizing Control of an Inverted Pendulum System, Proc. of. EUROCON, Ljubljana. – 2003.

9. Positioning system. Smart Positioning Controller SPC200. Manual. Festo AG & Co. KG, Dept. KI-TD. – 2005. – 371 p.

10. SPC200 Smart Positioning Controller. WinPISA software package. Festo AG & Co. KG. – 2005. – 381 p.

Проблема управления объектами маятникового типа является фундаментальной для ряда областей науки, поскольку ее решение нашло отражение в теории автоматического управления, робототехнике и используется при моделировании летательных аппаратов, при решении задач стабилизации положения объектов на подвижной платформе, при разработке специальных средств передвижения - сегвеев и др.

Физический маятник - это одна из простых и наиболее распространенных физических моделей, представляющая собой груз, колеблющийся на нерастяжимой нити или жестком стержне. Частным случаем такой системы является обратный маятник, который представляет собой неустойчивый физический объект, обладающий двумя положениями равновесия: в нижней и верхней точках. При этом любое, сколь угодно малое возмущение способно вывести маятник из верхнего положения равновесия с последующим стремлением его перейти в нижнее положение равновесия. Для стабилизации маятника в верхней точке система может дополняться различными элементами, обеспечивающими обратную связь - необходимую составляющую системы управления .

Решению задачи стабилизации верхнего положения для перевернутого маятника посвящены работы . Модель системы выражается следующим уравнением:

где m - масса маятника; l - длина подвеса маятника; J - момент инерции маятника; θ - угол наклона маятника от вертикали; a - ускорение движения точки подвеса маятника (каретки); g - ускорение свободного падения. Проведя преобразования, получаем

Следовательно, на движение системы влияют следующие параметры: масса и длина подвеса маятника и ускорение движения его точки подвеса - каретки.

Описание работы системы

В данной работе была поставлена задача смоделировать процесс выведения маятника в крайнее верхнее положение с последующей стабилизацией этого положения при использовании лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo (Германия) в качестве задатчика крайнего верхнего положения маятника, а также других компонентов, используемых для созданной системы стабилизации.

1.Стратегия выведения маятника в верхнее положение равновесия

Очевидно, что возможности выведения маятника в крайнее верхнее положение равновесия ограничены параметрами (вчастности, длиной привода и максимально возможным значением ускорения движения каретки) лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo, на базе которого решается поставленная задача. Так, максимальное ускорение движения каретки a=4м/с2.

Путем математических расчетов было установлено, что пороговое значение ускорения движения маятника, определяющее необходимое количество изменения кареткой направления своего движения, является a0=13,1м/с2. Поскольку при использовании лабораторного стенда Festo ТР-802 это значение намного превышает максимально возможное значение ускорения каретки, в данной работе была использована такая стратегия вывода обратного маятника, при которой многократно изменяется направление движения каретки и увеличивается смещение каретки от текущего положения.

2. Математическое описание вывода маятника в крайнее верхнее положение

Известно, что для достижения маятником своего верхнего положения равновесия его потенциальная энергия должна достичь значения Ep=2mpgl, где mp - масса маятника; l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. При этом учитывается, что mp=0,06кг, l=0,25м, g=10м/с2. Таким образом, для решения поставленной задачи потенциальная энергия маятника должна стать равной Ep=0,3Дж.

Было решено, что раскачка маятника будет проводиться следующим образом: электромеханический привод смещает каретку относительно исходного положения на фиксированное число шагов сначала в отрицательном направлении, потом в положительном. Величина смещения от исходного положения возрастает каждый раз после того, как каретка сместилась в том и другом направлении. Для вывода маятника в крайнее верхнее положение равновесия был разработан алгоритм, представленный на рис.1. При этом принято: (1) каретка движется по оси Ox между точками X=0мм и X=300мм; (2) исходное положение каретки - координата X=150мм; (3) N - величина (в мм) смещения каретки от исходного положения, (4)K - задаваемое приращение (в мм) смещения каретки от этого положения.

Принимая во внимание, что при движении каретки с прикрепленным к ней маятником по горизонтальной оси кинетическая энергия движения каретки Eк превращается в потенциальную энергию движения маятника Ep, можно рассчитать прирост энергии маятника. Допустим, величина смещения каретки от исходного положения равна N=50мм, величина задаваемого приращения смещения каретки от исходного положения К=50мм. Тогда величина потенциальной энергии маятника после первого смещения каретки

после второго -

Таким образом, после трех движений каретки потенциальная энергия маятника должна превысить величину, требуемую для вывода его в верхнее положение равновесия.

3. Алгоритм вывода маятникав крайнее верхнее положение

На практике оказалось, что выводы, сделанные в предыдущем пункте с учетом превращения кинетической энергии каретки в потенциальную энергию маятника, не соответствуют экспериментальным данным. Большая часть энергии расходуется в окружающую среду ввиду несовершенства конструкции, трения каретки и подвеса маятника.

Таким образом, физическим объектом управления является обратный маятник, выведенный в крайнее верхнее неустойчивое положение за конечное число движений каретки электромеханического привода, приводимого в движение шаговым двигателем MTR-ST, которым управляет компьютер РС посредством координатного контроллера позиционирования SPC-200 . Начало работы системы стабилизации положения обратного маятника следует за выводом маятника в крайнее верхнее положение. Для решения этой задачи, с учетом , были разработаны алгоритм, представленный на рис.1, и соответствующая ему прикладная программа позиционирования каретки. При этом принято, что N - смещение каретки от центра оси привода, а K - задаваемое увеличение смещения каретки от центра оси привода.

Рис. 1. Алгоритм подпрограммы выведения маятника в верхнее положение

Листинг программы выведения маятника в крайнее верхнее положение, разработанной в ходе эксперимента над системой «каретка - маятник» с использованием программного приложения Festo WinPisa 4.41 , представлен ниже. Комментарии с пояснением кода программы приведены напротив соответствующих строк после знака «;».

В начале выполнения программы каретка перемещается в центр оси привода. Последующие 9строк программы соответствуют нарастающим колебаниям маятника, по окончании которых кареткой совершаются еще 2перемещения с целью недолговременной стабилизации маятника в верхней точке.

Непосредственно в момент достижения маятником верхнего положения равновесия управление движения системой «каретка - маятник» переходит к разработанной системе стабилизации.

4.Работа системы стабилизации

Одним из важных компонентов этой системы является оптическое устройство для контроля перемещений, описанное в работе . Структура системы приведена на рис.2.

На неподвижном основании1 расположена перемещающаяся по оси Х каретка3, на которой закреплен маятник7 с грузом8, содержащим излучатель9. Каретка жестко связана с шаговым двигателем4 посредством линейного электромеханического привода2. Шаговый двигатель4 управляется через контроллер двигателя5 с помощью контроллера позиционирования6. Компьютер14 управляет работой излучателя9 и дешифратора13, на входы которого поступают сигналы с фотоприемников 10, 11, 12 , содержащих устройство преобразования в величину тока, а их выходы связаны с компьютером14. При этом фотоприемник10 является центральным и формирует сигнал на своем выходе только тогда, когда обратный маятник находится в вертикальном положении (верхней точке).

Система работает следующим образом: маятник7 выводится в крайнее верхнее неустойчивое положение равновесия за конечное число движений каретки электромеханического привода, управляемого шаговым двигателем5, причем максимальное расстояние хода каретки составляет 300мм. Закрепленный на грузе маятника8 излучатель света9 включен с момента начала движения маятника7 вверх, а на фотоприемнике10 в момент вертикального положения маятника7 формируется сигнал, который через дешифратор 13 поступает на компьютер 14 и программно фиксируется, что соответствует крайнему верхнему положению маятника. Находясь под воздействием физических сил, маятник не может долго оставаться в этом положении и начинает отклоняться. При отклонении маятника от вертикали изменяется направление света фотоизлучателя, что регистрируется фотоприемниками. По тому, какой ближайший фотоприемник по отношению к фотоприемнику10 первым зарегистрировал сигнал излучателя (Лк или Пк), можно установить координаты маятника (угол отклонения маятника от вертикали) и направление отклонения. Количество фотоприемников и шаг их чередования прямо зависят от требуемой точности измерений.

Находясь под воздействием физических сил, маятник не может долго оставаться в этом положении и начинает отклоняться. При отклонении маятника от вертикали изменяется направление света фотоизлучателя, что регистрируется фотоприемниками. По тому, какой ближайший фотоприемник по отношению к фотоприемнику 10первым зарегистрировал сигнал излучателя (Лк или Пк), можно установить координаты маятника (угол отклонения маятника от вертикали) и направление отклонения. Количество фотоприемников и шаг их чередования прямо зависят от требуемой точности измерений. Информация о положении маятника7 поступает от фотоприемников в компьютер14, обрабатывается по заданной программе, на основании чего формируется управляющее воздействие для контроллера позиционирования 6: сдвинуть каретку в сторону отклонения маятника на определенное число шагов, зависящее от отклонения маятника от вертикали. Таким образом, данная система является замкнутой и позволяет стабилизировать обратный маятник в вертикальном положении. Алгоритм работы системы представлен на рис.3.

Рис. 2. Структура системы

Рис. 3. Алгоритм работы системы

Заключение

Таким образом, в данной работе были разработаны алгоритмы выведения маятника в крайнее верхнее положение равновесия с последующим его удержанием в вертикальном (неустойчивом) положении равновесия. Неидеальность конструкции маятника привела к необходимости выполнения большего числа движений каретки для вывода маятника в верхнюю точку. Также были разработаны принципы построения опто-механической системы стабилизации положения обратного маятника в верхней точке, состоящей из лабораторного электро-механического стенда ТР-802 фирмы Festo и оптического устройства контроля перемещений. Вкачестве рекомендаций предлагается использование полученных результатов для разработки систем мониторинга технологических объектов при перемещении управляемых сканирующих органов по трем координатам.

Библиографическая ссылка

Кузяков О.Н., Андреева М.А. ОПТО-МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ ПОЛОЖЕНИЯ ОБРАТНОГО МАЯТНИКА // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 5-3. – С. 480-485;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40326 (дата обращения: 23.03.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

DOI: 10.14529/mmph170306

СТАБИЛИЗАЦИЯ ОБРАТНОГО МАЯТНИКА НА ДВУХКОЛЕСНОМ ТРАНСПОРТНОМ СРЕДСТВЕ

В.И. Ряжских1, М.Е. Семенов2, А.Г. Рукавицын3, О.И. Канищева4, А.А. Демчук4, П.А. Мелешенко3

1 Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Российская Федерация

2 Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, г. Воронеж, Российская Федерация

3 Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация

4 Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Российская Федерация

E-mail: [email protected]

Рассматривается механическая система, состоящая из двухколесной тележки, на оси которой располагается обратный маятник. Задача заключается в формировании такого управляющего воздействия, формируемого по принципу обратной связи, которое, с одной стороны, обеспечивало бы заданный закон движения механического средства, а с другой, стабилизировало бы неустойчивое положение маятника.

Ключевые слова: механическая система; двухколесное транспортное средство; обратный маятник; люфт; стабилизация; управление.

Введение

Возможность управления неустойчивыми техническими системами теоретически рассматривалась уже давно, однако практическая значимость такого управления отчетливо проявилась лишь в последнее время . Оказалось, что неустойчивые объекты управления при подходящем управлении обладают рядом «полезных» качеств. Примерами таких объектов могут служить космический корабль на этапе взлета, термоядерный реактор и многие другие. В тоже время при выходе из строя автоматической системы управления неустойчивый объект может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды. В качестве катастрофического примера результатов отключения автоматического управления можно привести аварию на Чернобыльской АЭС. По мере того, как системы управления становятся все более надежными, все более широкий круг технических неустойчивых в отсутствие управления объектов применяется на практике. Одним из самых простых примеров неустойчивых объектов является классический обратный маятник. С одной стороны, задача о его стабилизации сравнительно простая и наглядная, с другой, она может найти практическое применение при создании моделей двуногих существ, а также антропоморфных устройств (роботов, киберов и др.), перемещающихся на двух опорах. В последние годы появились работы, посвященные проблемам стабилизации обратного маятника, связанного с движущимся двухколесным транспортным средством . Эти исследования имеют потенциальные перспективы применения во многих областях, таких как транспорт и разведка, в связи с компактной конструкцией, удобством эксплуатации, высокой маневренностью и низким расходом топлива таких устройств. Тем не менее, рассматриваемая задача еще далека от окончательного решения. Известно, что многие традиционные технические устройства имеют как устойчивые, так и не устойчивые состояния и режимы работы. Характерный пример - сегвей, изобретённый Дином Кейменом электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами, расположенными по обе стороны от водителя. Два колеса скутера расположены соосно. Сегвей автоматически балансируется при изменении положения корпуса водителя; для этой цели используется система индикаторной стабилизации: сигналы с гироскопических и жидкостных датчиков наклона поступают на микропроцессоры, которые вырабатывают электрические сигналы, воздействующие на двигатели и управляющие их движениями. Каждое колесо сегвея приводится во вращение своим электродвигателем, реагирующим на изменения равновесия машины. При наклоне тела ездока вперёд сегвей начинает катиться вперёд, при увеличении же угла наклона тела ездока скорость сегвея увеличивается. При отклонении корпуса назад само-

кат замедляет движение, останавливается или катится задним ходом. Руление в первой модели происходит с помощью поворотной рукоятки, в новых моделях - качанием колонки влево-вправо. Задачи управления колебательными механическими системами имеют значительный теоретический интерес и большое практическое значение.

Известно, что в процессе функционирования механических систем вследствие старения и износа деталей неизбежно возникают люфты, упоры, поэтому для описания динамики таких систем необходимо принимать во внимание влияние гистерезисных эффектов. Математические модели таких нелинейностей в соответствии с классическими представлениями сводятся к операторам, которые рассматриваются как преобразователи на соответствующих функциональных пространствах. Динамика таких преобразователей описывается отношениями «вход-состояние» и «состояние-выход» .

Постановка задачи

В настоящей работе рассматривается механическая система, состоящая из двухколесной тележки, на оси которой располагается обратный маятник. Задача заключается в формировании такого управляющего воздействия, которое, с одной стороны, обеспечивало бы заданный закон движения механического средства, а с другой, стабилизировало бы неустойчивое положение маятника. При этом учитываются гистерезисные свойства в управляющем контуре изучаемой системы. Ниже графически представлены элементы, изучаемой механической системы - двухколесного транспортного средства с закрепленным на нем обратным маятником.

Рис. 1. Основные структурные элементы рассматриваемого механического устройства

тут / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

Hr ! / / / / /1 / / /

Рис. 2. Левое и правое колеса механического устройства с управляюшим моментом

Параметры и переменные, которые описывают рассматриваемую систему: j - угол поворота транспортного средства; D - расстояние между двумя колесами вдоль центра оси; R - радиус колес; Jj - момент инерции; Tw - разность крутящих моментов левого и правого колес; v -

продольная скорость транспортного средства; в - угол отклонения маятника от вертикального положения; m - масса перевернутого маятника; l - расстояние между центром тяжести тела и

осью колеса; Ти - сумма крутящих моментов левого и правого колес; х - перемещение транспортного средства по направлению продольной скорости; М - масса шасси; М* - масса колес; И - раствор люфта.

Динамика системы

Динамику системы описывают следующие уравнения:

n = - + - Tn, W в á WR n

в = - - ml C0S в Tn,

где Т* = Ть - ТЯ; Тп = Ть + ТЯ; Мх =М + т + 2(М* + ^*); 1в = т/2 + 1С; 0.=Мх1в-т2/2 соъ2 в;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Модель, описывающую динамику изменения параметров системы, можно представить в виде двух независимых подсистем. Первая подсистема состоит из одного уравнения - р -подсистемы,

определяющего угловые движения транспортного средства:

Уравнение (5) можно переписать в виде системы из двух уравнений:

где е1 =Р-Рй, е2 =(Р-(Ра.

Вторая подсистема, описывающая радиальные движения транспортного средства, а также колебания установленного на ней маятника, состоит из двух уравнений - {у,в} -подсистемы:

U =-[ Jqml в2 sin в- m2l2 g sin в cos в] + Jq Tu W в S J WR u

в =- - ml С°*в Tv W WR

Систему (7) удобно представить в виде системы уравнений первого порядка:

¿4 = ТГ" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 +qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 +qd)] + ТЩT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +в)

где W0 = MxJq- П121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd , ¿4 = v - vd , ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Рассмотрим подсистему (6), управлять которой будем по принципу обратной связи. Для этого введем новую переменную и определим поверхность переключения в фазовом пространстве системы как ^ = 0 .

5 = в! + с1е1, (9)

где с - положительный параметр. Непосредственно из определения вытекает:

■Я = е+с1 е1 -срй + с1 е1. (10)

Для стабилизации вращательного движения определим управляющий момент следующим образом:

Т№ Р - ^ в1 - -М§П(51) - к2 (11)

где, - положительно заданные параметры.

Аналогично будем строить управление второй подсистемой (8), управлять которой, будем также по принципу обратной связи. Для этого введем новую переменную и определим поверхность переключения в фазовом пространстве системы, как ■2 = 0 .

■2 = вз + С2вз, (12)

где с2 - положительный параметр, тогда

1 . 2 2 2

■2 = е3 + с2 е3 = (в + в6) ^5 + вё) - т 1 § ^5 + вс1)С08(е5 + ва)] +

7^Т - + с2 ез

Для стабилизации радиального движения определим управляющий момент:

тт"2/2 ^ к Т =-Кт/ (вй+еб)г^т(еь + вй)+яп^ + вй)е08(е5 + вй)--0- \сг ез - +^п^)+кА ^],(14)

где к3, к4 - положительно заданные параметры.

Для того, чтобы одновременно управлять обеими подсистемами системы, введем дополнительное управляющее воздействие:

= § Хапв--[ва + с3(в-вй) - к588п(^3) - кб 53], (15)

где § - ускорение свободного

падения; с3, к5, кб - положительные параметры; 53 - поверхность переключения, определяемая соотношением:

53 = е6 + с3е5 .

Сформулируем основные результаты работы, заключающиеся в принципиальной возможности стабилизации обеих подсистем, в сделанных предположениях относительно управляющих воздействий, в окрестности нулевого положения равновесия.

Теорема 1. Система (6) с управляющим воздействием (11) абсолютно асимптотически устойчива:

Нш || е11|® 0,

Нш || е2 ||® 0. t®¥u 2

Доказательство: определим функцию Ляпунова как

где a = Dj 2 RJр.

Очевидно, что функция V > 0, тогда

V =Ш1 Si = Si. (18)

Подставив (14) в V, получим

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

Очевидно, что V1

Теорема 2. Рассмотрим подсистему (8) с управляющим воздействием (14). В сделанных предположениях эта система абсолютно асимптотически устойчива, т. е. при любых начальных условиях выполняются соотношения:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 е41|® о.

Доказательство: определим функцию Ляпунова для системы (8) посредством соотношения

где b =Wo R!Je .

Очевидно, что функция V2 > 0, и

V2 = М S2 = S2, так как возникают зоны нечувствительности по отношению к управляющему воздействию. Приведем краткое описание используемого в дальнейшем гистерезисного преобразователя - люфта, основанное на операторной трактовке. Выход преобразователя - люфта на монотонных входах описывается соотношением:

x(t0) при тех t, при которых x(t0) - h < u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) > x(t0), (24)

u(t) + h при тех t, при которых u(t) < x(t0) - h,

которое иллюстрирует рис. 3.

С помощью полугруппового тождества действие оператора распространяется на все кусочно-монотонные входы:

Г x(t) = Г [ Г x(t1), h]x(t) (25)

и с помощью специальной предельной конструкции на все непрерывные. Так как выход этого оператора не является дифференцируемым, то в дальнейшем используется аппроксимация люфта моделью Боука-Вена . Эта известная полуфизическая модель широко используется для феноменологического описания гистерезисных эффектов. Популярность модели Боука-Вена обу-

славливается ее способностью охватывать в аналитическом виде различные формы гистерезис-ных циклов. Формальное описание модели сводится к системе следующих уравнений:

Fbw (х, ^ = акх() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -р\х \\z \п-1 z -ухе | z |п). (26)

Fbw(x,t) трактуется как выход гистерезисного преобразователя, а x(t) - как вход. Здесь п > 1,

D > 0 k > 0 и 0 <а< 1.

Рис. 3. Динамика входно-выходных соответствий люфта

Рассмотрим обобщение систем (6) и (8), в которых управляющее воздействие поступает на вход гистерезисного преобразователя, а выход является управляющим воздействием на систему:

Fbw (х, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + еб)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿б = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1(A x- b\x\\z\n-1 z-gx \ z\n).

Как и ранее в рассматриваемой системе, основным являлся вопрос о стабилизации, т. е. асимптотическом поведении ее фазовых переменных. Ниже приводятся графики при одних и тех же физических параметрах системы с люфтом и без люфта. Эта система исследовалась посредством численных экспериментов. Данная задача была решена в среде программирования Wolfram Mathematica.

Значения констант и начальные условия приведены ниже:

m = 3; M = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0;x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = }